Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/37/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 1 2 5 6 4 2 4 2 3 3 5 4 5 3 1 5 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
  2. Eine rationale Funktion (in einer Variablen über ).
  3. Das Minimum der Funktion

    wird im Punkt angenommen.

  4. Die höheren Ableitungen zu einer Funktion

    (rekursive Definition).

  5. Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
  6. Die inverse Matrix zu einer invertierbaren Matrix über einem Körper .


Lösung

  1. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird.
  2. Eine rationale Funktion ist eine Funktion , die man als Quotient aus zwei Polynomen mit darstellen kann, also (sie ist außerhalb der Nullstellen von definiert).
  3. Man sagt, dass in einem Punkt das Minimum annimmt, wenn
  4. Die Funktion heißt -mal differenzierbar, wenn sie -mal differenzierbar ist und die -te Ableitung, also , differenzierbar ist. Die Ableitung

    nennt man dann die -te Ableitung von .

  5. Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu über heißt bestimmtes Integral.
  6. Die Matrix mit

    heißt die inverse Matrix von .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Konvergenz und absolute Konvergenz von reellen Reihen.
  2. Der Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis .
  3. Der Satz über lineare Abbildungen zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen.


Lösung

  1. Eine absolut konvergente Reihe von reellen Zahlen konvergiert.
  2. Die Exponentialfunktion

    zur Basis ist differenzierbar mit

  3. Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der gleichen Dimension . Es sei
    eine lineare Abbildung. Dann ist genau dann injektiv, wenn surjektiv ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

w w f
w f w
f w f
f f w


Lösung

.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass eine natürliche Zahl genau dann die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen ist, wenn sie ungerade ist.


Lösung

Zwei aufeinander folgende Quadratzahlen haben die Form und mit . Ihre Differenz ist

Dies ist eine ungerade Zahl. Umgekehrt kann man eine ungerade Zahl als mit schreiben, und die Gleichungskette zeigt, dass die Differenz von zwei aufeinander folgenden Quadratzahlen ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien Geraden in der Ebene gegeben. Formuliere und beweise eine Formel (in Abhängigkeit von ) für die maximale Anzahl von Schnittpunkten der Geraden.


Lösung

Die maximale Anzahl der Schnittpunkte ist . Dies beweisen wir durch Induktion über . Bei keiner oder einer Geraden gibt es keinen Schnittpunkt, die Formel ist also richtig, und dies sichert den Induktionsanfang. Sei die Aussage nun für Geraden bewiesen, und es komme eine neue Gerade hinzu. Diese neue Gerade hat mit jeder der vorgegebenen Geraden höchstens einen Schnittpunkt. Wenn die neue Gerade einen Richtungsvektor besitzt, der von allen Richtungsvektoren der Geraden verschieden ist, so besitzt die neue Gerade mit jeder alten Geraden einen Schnittpunkt. Da es unendlich viele Richtungsvektoren gibt, kann man stets eine neue Richtung für die neue Gerade wählen. Indem man die neue Gerade parallel verschiebt, kann man auch erreichen, dass die neuen Schnittpunkte von den alten Schnittpunkten verschieden sind. Es kann also erreicht werden, dass genau Schnittpunkte hinzukommen. Wenn die Geraden die maximale mögliche Anzahl von Schnittpunkten haben, so hat die neue Geradenkonfiguration genau

Schnittpunkte (und wenn die Geraden weniger als Schnittpunkte haben, so hat auch die neue Geradenkonfiguration weniger als Schnittpunkte), was den Induktionsschritt beweist.


Aufgabe (6 (1+1+1+1+2) Punkte)

Wir definieren die Folge (der sogenannten Bernoulli-Zahlen) , , durch und für durch die rekursive Bedingung

  1. Berechne .
  2. Berechne .
  3. Berechne .
  4. Berechne .
  5. Zeige, dass alle rationale Zahlen sind.


Lösung

  1. Für ist die rekursive Bedingung gleich
    also ist .
  2. Für ist die rekursive Bedingung gleich
    also ist .
  3. Für ist die rekursive Bedingung gleich
    also ist .
  4. Für ist die rekursive Bedingung gleich
    also ist .
  5. Wir zeigen die Aussage durch Induktion nach , wobei der Induktionsanfang bereits erledigt ist. Zum Beweis des Induktionsschrittes nehmen wir an, das die Rationalität von bereits bekannt sei. Die Rekursionsbedingung

    schreiben wir als

    bzw. als

    Da die Binomialkoeffizienten natürliche Zahlen sind, steht hier wieder eine rationale Zahl.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Sei ein Polynom und . Zeige, dass genau dann eine Nullstelle von ist, wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.


Lösung

Wenn ein Vielfaches von ist, so kann man

mit einem weiteren Polynom schreiben. Einsetzen ergibt

Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung

wobei oder aber den Grad besitzt, also eine Konstante ist. Einsetzen ergibt

Wenn also ist, so muss der Rest sein, und das bedeutet, dass ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien natürliche Zahlen und

und

die zugehörigen Potenzfunktionen. Bestimme , und .


Lösung

Es ist

das Produkt der beiden Funktionen ist also durch gegeben.

Es ist

die Hintereinanderschaltung und ebenso ist also durch gegeben.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Zeige, dass der Durchschnitt

aus genau einem Punkt besteht.


Lösung

Es sei beliebig gewählt. Wir behaupten, dass dies eine Cauchy-Folge ist. Zu gegebenem sei derart, dass

Für ist dann

da ja ist. Es sei der Limes dieser Cauchy-Folge. Wäre für ein , so wäre

(oder ), doch wegen der Konvergenz der Folge gegen würden dann auch die Folgenglieder für hinreichend groß echt unterhalb von und damit von liegen, im Widerspruch zu . Also ist . Würden zwei Zahlen zum Durchschnitt aller Intervalle gehören, so wäre

für alle im Widerspruch dazu, dass die Intervalllängen gegen konvergieren.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von nach nicht gelten muss.


Lösung

Die Funktion
ist

stetig und es ist und . Wenn der Zwischenwertsatz auch rational gelten würde, müsste es im rationalen Intervall eine Nullstelle geben, also ein mit . Dies kann es aber nicht geben, da die Quadratwurzel aus irrational ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktion.


Lösung

Aufgrund von Satz 16.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ist


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Lösung

Es ist


Aufgabe (5 Punkte)

Zu einem Startwert sei eine Folge rekursiv durch

definiert. Entscheide, ob konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Lösung

Wir betrachten die Funktion

auf . Wegen

ist dies positiv für und gleich für . Daher ist streng wachsend und es gilt

für und . Daher ist die Folge zu jedem Startwert fallend und konvergiert gegen einen Grenzwert, da alle Folgenglieder nichtnegativ sind. Es sei der Grenzwert, der wieder zu gehören muss. Wegen der rekursiven Beziehung

und der Stetigkeit des Sinus folgt

Nach den bisherigen Überlegungen muss sein. Die Folge konvergiert also bei jedem Startwert gegen .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine differenzierbare Funktion mit und mit für alle und ein . Zeige, dass die Funktionalgleichung

für alle erfüllt.


Lösung

Wir betrachten die zusammengesetzte Funktion , die wohldefiniert ist, da nur positive Werte annimmt. Die Funktion ist differenzierbar mit

Die Ableitung ist also konstant gleich , daher ist . Somit ist

und wegen ist . Daher ist


Aufgabe (5 (1+4) Punkte)

  1. Bestimme die Taylorreihe zur Funktion

    im Entwicklungspunkt .

  2. Es sei

    und es sei

    die Taylorreihe zu im Entwicklungspunkt . Bestimme die Koeffizienten aus der Gleichung


Lösung

  1. Es ist

    daher ist dies die Taylorreihe zur Quadratfunktion im Entwicklungspunkt .

  2. Mit

    ist

    wobei wir zur Vereinfachung gesetzt haben. Die Bedingung

    lautet somit ausgeschrieben

    Daraus können die sukzessive durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden, da in der unendlichen Summe nur endlich viele Terme die Koeffizienten bestimmen. Zunächst ergibt sich

    Aus (Koeffizient vor )

    ergibt sich

    Aus (Koeffizient vor )

    ergibt sich

    Aus (Koeffizient vor )

    ergibt sich

    Aus (Koeffizient vor )

    ergibt sich


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von


Lösung

Die Funktion hat die Gestalt

deshalb ist nach der Kettenregel (für drei Funktionen) eine Stammfunktion dieser Funktion, wobei eine Stammfunktion von bezeichnet. Also ist

eine Stammfunktion.


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die inverse Matrix von


Lösung

Die inverse Matrix ist


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine -Matrix über dem Körper mit dem Rang . Zeige, dass es eine -Matrix und eine -Matrix , beide mit dem Rang , mit gibt.


Lösung

Wir fassen die Matrix als lineare Abbildung

Nach Lemma 26.2 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ist der Rang dieser Abbildung gleich , d.h. das Bild besitzt die Dimension . Es gibt also eine Faktorisierung

wobei die erste Abbildung die durch gegebene Abbildung mit dem Bild ist und die zweite Abbildung die Inklusion . Mit einer Basis von und den Standardbasen links und rechts werden diese beiden linearen Abbildungen durch eine -Matrix und eine -Matrix beschrieben. Somit gilt

Da die durch beschriebene lineare Abbildung surjektiv auf abbildet, ist ihr Rang gleich . Da das Bild der durch beschriebenen linearen Abbildung wegen der Injektivität ebenfalls die Dimension besitzt, ist ihr Rang auch .


Aufgabe (3 (2+0.5+0.5) Punkte)

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum

eine lineare Abbildung und . Zeige folgende Aussagen.

  1. Der Eigenraum

    ist ein Untervektorraum von .

  2. ist genau dann ein Eigenwert zu , wenn der Eigenraum nicht der Nullraum ist.
  3. Ein Vektor , ist genau dann ein Eigenvektor zu , wenn ist.


Lösung

(1). Seien und sei . Dann ist

(2) und (3) folgen direkt aus den Definitionen.