Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/50/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 2 2 2 4 4 3 2 8 4 5 2 4 3 3 1 1 3 5 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Binomialkoeffizient .
  2. Der Betrag einer reellen Zahl.
  3. Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
  4. Die höheren Ableitungen zu einer Funktion

    (rekursive Definition).

  5. Die durch eine Matrix festgelegte lineare Abbildung.
  6. Eine diagonalisierbare lineare Abbildung

    auf einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Der Binomialkoeffizient ist durch

    definiert.

  2. Für eine reelle Zahl ist der Betrag folgendermaßen definiert.
  3. Die Menge

    mit und , mit der komponentenweisen Addition und der durch

    definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen.

  4. Die Funktion heißt -mal differenzierbar, wenn sie -mal differenzierbar ist und die -te Ableitung, also , differenzierbar ist. Die Ableitung

    nennt man dann die -te Ableitung von .

  5. Es sei ein Körper und sei ein -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis und sei ein -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis . Zu einer Matrix heißt die durch

    gemäß Satz 24.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) definierte lineare Abbildung die durch festgelegte lineare Abbildung.

  6. Der Endomorphismus heißt diagonalisierbar, wenn eine Basis aus Eigenvektoren zu besitzt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
  2. Die Summenregel für reelle Folgen.
  3. Der Satz über die Existenz von Stammfunktionen.


Lösung

  1. Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Dann gibt es ein Polynom vom Grad derart, dass für alle ist.
  2. Es seien und konvergente Folgen in . Dann ist die Folge ebenfalls konvergent und es gilt
  3. Sei ein reelles Intervall und sei
    eine stetige Funktion. Dann besitzt eine Stammfunktion.


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten den Satz „Nachts sind alle Katzen grau“.

  1. Negiere diesen Satz durch eine Existenzausssage, wenn der Satz sich auf eine bestimmte Nacht bezieht.
  2. Negiere diesen Satz durch eine Existenzausssage, wenn der Satz sich auf jede Nacht bezieht.


Lösung

  1. In dieser Nacht gibt es eine Katze, die nicht grau ist.
  2. Es gibt eine Nacht und eine Katze, die in dieser besagten Nacht nicht grau ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Mustafa Müller beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Schokolade seiner Lieblingssorte „Gaumenfreude“ zu ernähren. Eine Tafel besitzt einen Energiewert von kJ und sein Tagesbedarf an Energie ist kJ. Wie viele Tafeln muss er am Tag (gerundet auf zwei Nachkommastellen) und wie viele Tafeln muss er in der Woche essen?


Lösung

Er muss pro Tag ca.

Tafeln essen, in der Woche also

Tafeln.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien und Mengen. Beweise die Identität


Lösung

Sei . Das bedeutet und . Dies wiederum bedeutet oder . Somit ist insgesamt .

Sei nun umgekehrt . Bei ist und und somit ist insbesondere . Ist hingegen , so ist bei die Zugehörigkeit zur linken Menge schon erwiesen. Also müssen wir nur noch den Fall betrachten. In diesem Fall ist und somit ist ebenfalls .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, welche der folgenden Wertetabellen Abbildungen zwischen den angegebenen Mengen festlegen. Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv?

  1. , ,
  2. , ,
  3. , ,
  4. , ,


Lösung

  1. Das ist keine Abbildung, da laut Wertetabelle auf abgebildet werden soll, aber nicht zur Wertemenge gehört.
  2. Das ist keine Abbildung, da laut Wertetabelle einerseits auf und andererseits auf abgebildet werden soll.
  3. Das ist keine Abbildung, da die Wertetabelle keinen Wert für festlegt.
  4. Das ist eine Abbildung. Sie ist injektiv und surjektiv, also auch bijektiv.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Sei ein Polynom und . Zeige, dass genau dann eine Nullstelle von ist, wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.


Lösung

Wenn ein Vielfaches von ist, so kann man

mit einem weiteren Polynom schreiben. Einsetzen ergibt

Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung

wobei oder aber den Grad besitzt, also eine Konstante ist. Einsetzen ergibt

Wenn also ist, so muss der Rest sein, und das bedeutet, dass ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Vergleiche


Lösung

Wir fragen uns, ob

ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu

Dies ist durch Subtraktion mit äquivalent zu

was stimmt wegen der Monotonie der Wurzel. Also ist


Aufgabe (2 Punkte)

In sei eine Folge gegeben, deren Anfangsglieder durch , , , gegeben sind. Muss die Folge in konvergieren? Muss die Folge in konvergieren? Kann die Folge in konvergieren? Kann die Folge in konvergieren?


Lösung

Es sind nur die ersten Folgenglieder vorgegeben, die Folge kann beliebig weitergehen. Wenn beispielsweise für ist, so konvergiert die Folge weder in noch in . Die Folge muss also nicht konvergieren. Wenn hingegen für ist, so konvergiert die Folge sowohl in als auch in gegen . Die Folge kann also konvergieren.


Aufgabe (8 (5+3) Punkte)

Wir betrachten die durch

definierte Folge (). Zeige folgende Aussagen.

  1. Für ist die Folge monoton fallend.
  2. Die Folge konvergiert gegen .


Lösung

Wir schreiben

1. Wir erlauben auch reelle Argumente, d.h. wir betrachten die Funktion

und zeigen, dass diese Funktion für fallend ist; dies gilt dann insbesondere für die natürlichen Zahlen . Da die Exponentialfunktion monoton wachsend ist, genügt es zu zeigen, dass

für fallend ist. Dazu ziehen wir Satz 15.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) heran und betrachten die Ableitung der differenzierbaren Funktion . Diese ist

Für ist und somit ist der Zähler negativ, also ist die Funktion negativ.

2. Wir zeigen, dass für gegen konvergiert. Wegen der Monotonie aus Teil 1 kann man statt auch einsetzen, was zur Folge führt. Für diese Folge gilt

ihr Grenzwert ist nach dem Quetschkriterium also . Da die Exponentialfunktion stetig ist, konvergiert somit gegen .


Aufgabe (4 Punkte)

Finde für die Funktion

eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .


Lösung

ungefähr


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die durch

definierte Funktion

Zeige, dass es zu jedem , eine Nullfolge derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten

gegen konvergiert.


Lösung

Zu jedem gibt es ein mit . Wir setzen

Dies ist offenbar eine Nullfolge in . Die zugehörigen Differenzenquotienten sind

Also ist die Folge dieser Differenzenquotienten konstant gleich .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Kettenregel für differenzierbare Funktionen.


Lösung

Aufgrund von Satz 14.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) kann man

und

schreiben. Daher ergibt sich

Die hier ablesbare Restfunktion

ist stetig in mit dem Wert .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige mit Hilfe der harmonischen Reihe, dass es für das bestimmte Integral keine von unabhängige obere Schranke gibt.


Lösung

Für mit ist . Deshalb ist auf (mit ) diejenige Funktion, die auf dem ganzzahligen Intervall den Wert besitzt, eine untere Treppenfunktion zu . Das zugehörige Treppenintegral hat den Wert

und damit ist diese Summe eine Untersumme von auf . Jede obere Schranke zu liegt oberhalb dieses Treppenintegrals. Da die harmonische Reihe divergiert, gibt es keine gemeinsame Schranke unabhängig von .


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Matrizenprodukt


Lösung

Es ist


Aufgabe (1 Punkt)

Erläutere, warum das Achsenkreuz im kein Untervektorraum ist


Lösung

Offensichtlich gehören die Vektoren zum Achsenkreuz, die Summe dieser beiden Vektoren jedoch nicht. Folglich ist das Achsenkreuz kein Untervektorraum


Aufgabe (1 Punkt)

Beweise den Satz über die Dimension des Standardraumes.


Lösung

Die Standardbasis , , besteht aus Vektoren, also ist die Dimension .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte mit Vielfachheiten und die Eigenräume zur reellen Matrix


Lösung

Das charakteristische Polynom ist

Dabei ist eine Nullstelle, daher haben wir (Division mit Rest)

Somit ist ein Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit und ein Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit .

Der Kern von ist

Daher ist die geometrische Vielfachheit zu ebenfalls . Der Kern von ist

und die geometrische Vielfachheit zu ist .