Lösung
- Zu zwei Vektoren nennt man
-
den Abstand zwischen
und .
- Man sagt, dass die Folge konvergiert, wenn es ein gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt:
Zu jedem
, ,
gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung
-
gilt.
- Es sei ein
reelles Intervall,
eine
offene Menge
und
-
ein
Vektorfeld
auf . Es sei gegeben. Dann nennt man
-
das Anfangswertproblem zur
gewöhnlichen Differentialgleichung
mit der Anfangsbedingung .
- Ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten ist eine
Differentialgleichung
der Form
-
wobei
-
eine
Matrix
mit Einträgen ist.
- Zur differenzierbaren Funktion
-
heißt
ein kritischer Punkt, wenn
-
ist.
- Der Schwerpunkt von ist der Punkt mit den Koordinaten
-
Formuliere die folgenden Sätze.
- Das Lösungsverfahren für homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen.
- Die Mittelwertabschätzung für eine differenzierbare Kurve
-
- Der Satz über stetige partielle Ableitungen und totale Differenzierbarkeit für eine Funktion
.
Lösung
- Es sei
-
eine
homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit einer
stetigen Funktion
-
die auf einem
Intervall
definiert sei. Es sei eine
Stammfunktion
zu auf . Dann sind die
Lösungen
der Differentialgleichung gleich
-
- Es gibt ein mit
-
- Wenn alle partiellen Ableitungen von existieren und stetig sind, so ist total differenzierbar.
a) Finde alle
Lösungen
der
inhomogenen linearen Differentialgleichung
-
für
.
b) Löse das Anfangswertproblem
-
Lösung
a) Wir berechnen zuerst die Lösungen der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung
-
Eine Stammfunktion zu ist . Daher sind
(mit )
-
die Lösungen der homogenen Gleichung.
Zur Bestimmung einer Lösung der inhomogenen Gleichung müssen wir eine Stammfunktion zu
-
bestimmen. Eine solche ist
. Somit sind die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung gleich
-
b) Zur Lösung des Anfangswertproblems müssen wir das aus Teil a) bestimmen. Die Anfangsbedingung führt auf
-
also ist und
-
ist die Lösung des Anfangswertproblems.
Lösung
Beweise den Satz über die Stetigkeit linearer Abbildungen.
Lösung
Eine komplex-lineare Abbildung ist auch reell-linear, und die euklidische Metrik hängt nur von der reellen Struktur ab. Wir können also
annehmen. Aufgrund von
[[Stetigkeit/K/Metrischer_Raum/Funktionen_und_Produktraum/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Stetigkeit/K/Metrischer Raum/Funktionen und Produktraum/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
können wir
annehmen. Die Abbildung sei durch
-
mit
gegeben. Die Nullabbildung ist konstant und daher stetig, also sei
.
Es sei
und ein
vorgegeben. Für alle
mit
ist insbesondere
für alle und daher ist
Wir betrachten die reelle Ebene ohne den offenen Kreis mit Mittelpunkt und Radius , also
-
Eine Person befindet sich im Punkt und möchte zum Punkt , wobei sie sich nur in bewegen darf.
a) Zeige, dass die Person von nach entlang von zwei geraden Strecken kommen kann, deren Gesamtlänge ist.
b) Zeige, dass die Person von nach entlang eines stetigen Weges kommen kann, dessen Gesamtlänge maximal ist.
Lösung
a) Wir betrachten die
(obere)
Tangente an den Kreis durch . Es sei der Schnittpunkt des Kreises mit dieser Tangente. Diese steht senkrecht auf dem Ortsvektor zu . Nach dem Satz des Pythagoras, angewendet auf das rechtwinklige Dreieck , besitzt die Verbindungsstrecke von nach die Länge . Es sei der Schnittpunkt der Tangente mit der -Achse. Wir betrachten das
(rechtwinklige)
Dreieck . Der Winkel dieses Dreiecks an stimmt mit dem Winkel des zuerst betrachteten Dreiecks an überein. Daher sind die beiden Dreiecke ähnlich
(d.h. es gelten die gleichen Längenverhältnisse)
und daher besteht, wenn die Länge von nach bezeichnet, die Beziehung
-
Also ist . Daher ist die Strecke von nach gleich
-
Man kann also auf dieser Tangente von nach und von dort mit der gespiegelten Tangente von nach gelangen und legt dabei einen Weg der Länge zurück.
b) Die Person bewegt sich nun von nach längs der Tangenten, folgt dann dem Kreis bis zu dem gegenüberliegenden Punkt und läuft dann längs der gespiegelten Tangenten von nach . Dieser Weg ist offenbar stetig. Es sei der Winkel des Dreiecks an . In diesem rechtwinkligen Dreieck besteht die Beziehung
(„Gegenkathete durch Hypotenuse“)
-
Daher ist im Bogenmaß. Wie unter a) bemerkt, tritt dieser Winkel auch im Dreieck an auf und beschreibt daher den Winkel, der den zugehörigen Kreisbogen bestimmt, entlang dem sich die Person bewegt. Da der Radius ist, ist der zugehörige Bogen maximal gleich
-
Daher ist die Gesamtlänge dieses Weges gleich
-
Bestimme die
Ableitung
der Kurve
-
in jedem Punkt
.
Lösung
Die Ableitung rechnet man komponentenweise aus, sie ist
-
Bestimme die Lösung des
Anfangswertproblems
für das
Zentralfeld
-
mit
.
Lösung
Es handelt sich um ein Zentralfeld, das auf die eindimensionale Differentialgleichung
-
mit führt. Dies ist eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen. Es ist
-
und somit
-
Also ist
-
und wegen der Anfangsbedingung muss sein, also ist
-
Die Lösung für das Zentralfeld ist somit
-
Löse das
Anfangswertproblem
-
durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung .
Lösung
Wir machen den Potenzreihenansatz
und .
Aufgrund der Anfangsbedingung ist
-
Das Differentialgleichungssystem führt auf die beiden Potenreihengleichungen
-
und
-
die wir gradweise auswerten. Für den Grad
(der Potenzreihengleichungen)
ergeben sich daraus die beiden Gleichungen
-
Für den Grad ergeben sich daraus die beiden Gleichungen
-
also ist
und .
Für den Grad ergeben sich daraus die beiden Gleichungen
-
also ist
und .
Für den Grad ergeben sich daraus die beiden Gleichungen
-
also ist
und .
Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung ist demnach
-
Es sei eine
Bilinearform
auf einem zweidimensionalen reellen
Vektorraum,
die bezüglich einer Basis durch die
Gramsche Matrix
-
beschrieben werde. Bestimme den
Typ
der Form in Abhängigkeit von .
Lösung
Bestätige die Kettenregel für für die beiden differenzierbaren Abbildungen
-
und
-
Lösung
Die zusammengesetzte Abbildung ist durch
gegeben, ihre Ableitung ist
-
Die Jacobi-Matrix zu ist
-
und die Jacobi-Matrix zu ist
-
Daher ist die Jacobi-Matrix zu in einem Punkt gleich
-
Das zu bildende Matrixprodukt dieser beiden Matrizen ist
Dies stimmt natürlich mit der direkt bestimmten Ableitung überein.
Es sei
-
eine
stetig differenzierbare Funktion
mit
-
für alle .
a) Zeige, dass in einen kritischen Punkt besitzt.
b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in ein isoliertes lokales Maximum besitzt.
c) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in kein Extremum besitzt.
Lösung
a) Wir zeigen, dass im Nullpunkt sämtliche Richtungsableitungen verschwinden. Dazu sei , und die zugehörige Gerade durch den Nullpunkt. Die Richtungsableitung in Richtung kann man allein auf dieser Geraden bestimmen. Mit ist auch . Die Voraussetzung überträgt sich also auf die Gerade und wir können annehmen, dass eine differenzierbare Funktion
-
mit der gegebenen Symmetrieeigenschaft vorliegt. Nach der eindimensionalen Kettenregel ist
-
Für
ist somit
-
und daher ist
-
b) Sei
-
Diese Funktion hat überall negative Werte und nur im Nullpunkt den Wert , es liegt also ein isoliertes globales Maximum vor. Offenbar ist
.
c) Sei
-
Diese Funktion hat auf der durch
gegebenen Diagonalen ein isoliertes Minimum und auf der durch
gegebenen Nebendiagonalen ein isoliertes Maximum. Insgesamt liegt also kein Extremum vor. Auch hier ist
.
Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion
-
im Punkt .
Lösung
Die relevanten Ableitungen sind
-
-
-
-
-
Somit sind die Werte der relevanten Ableitungen im Punkt gleich
-
-
-
-
-
-
Daher ist das Taylor-Polynom der Ordnung zwei gleich
-
Wir betrachten die Abbildung
-
a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.
b) Zeige, dass im Nullpunkt nicht regulär ist.
c) Zeige, dass in regulär ist.
Lösung
a) Die Jacobi-Matrix ist
-
b) Die Jacobi-Matrix im Nullpunkt ist
-
Diese Matrix hat den Rang , sodass der Nullpunkt nicht regulär ist.
c) Die Jacobi-Matrix in ist
-
Die Determinante der vorderen -Untermatrix ist , sodass die ersten vier Spaltenvektoren linear unabhängig sind und daher der Rang der Matrix gleich ist. Daher handelt es sich um einen regulären Punkt.
Beweise den Satz über die Additivität des Volumens für zwei disjunkte Teilmengen.
Lösung
Die Abschätzung folgt aus
[[R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Monotonie und endliche Vereinigung/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Monotonie und endliche Vereinigung/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) (2)]].
Für die andere Abschätzung sei eine Überpflasterung von gegeben. Aufgrund der Disjunktheit und der Kompaktheit gibt es einen positiven Abstand zwischen den beiden Mengen, d.h. es gibt ein
derart, dass
für alle
, ,
ist. Einen Quader aus der Überpflasterung, der beide Teilmengen schneidet, kann man dann in endlich viele Quader unterteilen, sodass diese zu
(mindestens)
einer der beiden Mengen disjunkt sind. So erreicht man eine Verfeinerung der Überpflasterung mit der gleichen Quadervolumensumme, deren Quader jeweils nur eine Teilmenge treffen. Daher ist die Volumensumme dieser Überpflasterung gleich der Summe der Volumensumme der beiden Teilüberpflasterungen und damit mindestens so groß wie .