Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 53/kontrolle

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Betragsfunktion

Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante ist.


Es sei

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und . Dann heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ein gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle mit ist .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und , die Lipschitz-stetig sei. Zeige, dass auch gleichmäßig stetig ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

eine Polynomfunktion vom Grad . Zeige, dass nicht gleichmäßig stetig ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Funktion

mit

stetig, aber nicht gleichmäßig stetig ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei

ein stetiges Vektorfeld, das auf einer offenen Menge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums definiert sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. Es sei ein Untervektorraum mit der Eigenschaft, dass für alle und die Beziehung gilt. Zeige, dass eine Lösung des Anfangswertproblems

ganz in verläuft.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

derart, dass das Bild von beschränkt ist und nicht gleichmäßig stetig ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung und .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten das Vektorfeld

Bestimme für jedes die nicht-regulären Punkte des Vektorfeldes
Welche Ortspunkte sind zu keinem Zeitpunkt regulär?


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde für das zeitunabhängige Differentialgleichungssystem

Lösungen mit und , wobei sind.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das Anfangswertproblem

zum ortsunabhängigen Vektorfeld


Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme in Beispiel 53.7 eine explizite Formel für die Iterationen .


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung und .


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten das zeitunabhängige Vektorfeld

Zeige direkt, dass dieses Vektorfeld stetig ist, aber nicht lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.




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