Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Arbeitsblatt 52/kontrolle

Übungsaufgaben

Wenn in den folgenden Aufgaben nach Extrema gefragt wird, so ist damit gemeint, dass man die Funktionen auf (isolierte) lokale und globale Extrema untersuchen soll. Zugleich soll man, im differenzierbaren Fall, die kritischen Punkte bestimmen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die Addition

$+\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x+y,$

und die Multiplikation

$\cdot \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$

auf kritische Punkte und auf Extrema.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y^{2},$

auf Extrema.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y^{4},$

auf Extrema.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 2x^{2}+3y^{2}+5xy,$

auf Extrema.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 2x^{2}+3y^{2}+4xy,$

auf Extrema.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 3x^{2}-2xy-y^{2}+5x,$

und entscheide, ob in diesen kritischen Punkten ein lokales Extremum vorliegt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto {\frac {xz}{x^{2}+y^{2}}},$

(es ist also ${}y>0$).

a) Berechne die partiellen Ableitungen von ${}f$ und stelle den Gradienten zu ${}f$ auf.

b) Bestimme die isolierten lokalen Extrema von ${}f$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto -3x^{2}+2xy-7y^{2}+x,$

auf Extrema.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man untersuche die Funktion

$\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{y},$

auf Extrema (vergleiche Beispiel 52.4), indem man die Funktion als Hintereinanderschaltung

$\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}(x,y)\mapsto (\ln x,y)$, ${}(u,v)\mapsto (uv)$, ${}z\mapsto e^{z}$ auffasst und Aufgabe 51.1 und Aufgabe 51.2 heranzieht.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Typ der Hesse-Form zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y-xy^{2}+x^{2}-y^{3},$

in jedem Punkt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Determinante für ${}2\times 2$- Matrizen als Funktion

$\det \colon \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {R} )=\mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}\longmapsto xw-zy.$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}\det$ und die kritischen Punkte.
2. Untersuche ${}\det$ auf lokale Extrema. Bestimme insbesondere den Typ der Hesse-Matrix im Nullpunkt.
3. Finde einen zweidimensionalen Untervektorraum

   ${}U\subseteq \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {R} )\,,$

   auf dem die (Einschränkung der) Determinante ein lokales Minimum besitzt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Man gebe für vorgegebene natürliche Zahlen ${}p,q,n$ mit ${}p+q\leq n$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,$

deren Hesse-Form im Nullpunkt den Typ ${}(p,q)$ besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ ein kritischer Punkt. Es sei ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Eigenvektor zur Hesse-Matrix in ${}P$ mit einem positiven Eigenwert. Zeige, dass ${}f$ in ${}P$ kein lokales Maximum besitzt.

Kommentar:

Die Hesse-Matrix ist eine symmetrische ${}n\times n$ Matrix und repräsentiert die Hesse-Form, welche eine symmetrische Bilinearform ist. Genauer gesagt ist sie die Gramsche Matrix der Hesse-Form. Die im Vorhinein vielleicht sehr abstrakt erscheinende Vorlesung 44 zu Bilinearformen bekommt nun im Zusammenhang mit Extrema und der Hesse-Form eine praktische Bedeutung.

Damit die Funktion ${}f$ kein lokales Maximum im Punkt ${}P$ hat, wäre es wegen Satz 52.2 gut, wenn die Hesse-Form positiv definit oder indefinit wäre. Dann würde entweder ein lokales Minimum vorliegen oder gar kein Extremum.

Die einzige Information, die wir haben, ist, dass die Hesse-Matrix in ${}P$ mindestens einen positiven Eigenwert besitzt (dieser hat auch mindestens Eigenraumdimension 1). Ein Satz, den wir kennengelernt haben, der Rückschlüsse von der Grammatrix (hier Hesse-Matrix) auf die Definitheit der zugehörigen symmetrischen Bilinearform (hier die Hesse-Form) zulässt, ist das Eigenwertkriterium Satz 44.14.

Da wir einen positiven Eigenwert mit mindestens Eigenraumdimension 1 haben, ist die Summe der Dimseionen zu positiven Eigenräumen mindestens 1 und deshalb hat die Hesse-Form Typ ${}(p,q)$ mit ${}p\geq 1$. Nach Definition des Typs existiert ein Unterraum von ${}\mathbb {R} ^{n}$, der mindestens Dimension 1 hat und auf dem die Hesse-Form positiv definit ist.

Kann die Hesse-Form jetzt überhaupt noch negativ definit sein? Wie müsste der Typ sein, damit die Hesse-Form positiv definit und wie, damit sie indefinit ist?

 

Aufgabe * Aufgabe 50.14 ändern

Es sei

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, wobei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge sei. Zeige, dass für ${}P\in G$ und ${}v\in V$ die Beziehung

${}\sum _{r\in \mathbb {N} ^{n},\,\vert {\,r\,}\vert =2}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}={\frac {1}{2}}\operatorname {Hess} _{P}\,f(v,v)\,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy^{2}-x^{3}y,$

auf Extrema.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+xy-6y^{2}-y,$

auf kritische Punkte und Extrema.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion mit

${}f(P)=f(-P)\,$

für alle ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$.

a) Zeige, dass ${}f$ in ${}0$ einen kritischen Punkt besitzt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in ${}0$ ein isoliertes lokales Maximum besitzt.

c) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in ${}0$ kein Extremum besitzt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der auf der abgeschlossenen Kreisscheibe ${}B\left(0,1\right)={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}$ definierten Funktion

$f\colon B\left(0,1\right)\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{3}-y^{2}-y.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für die Funktion

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy{\sqrt {3-x^{2}-y^{2}}},$

den maximalen Definitionsbereich ${}D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ und untersuche die Funktion auf Extrema.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto 1-t^{2}.$

Für welches ${}x\in [0,1]$ besitzt die zugehörige zweistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu ${}f$ den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?

Kommentar:

Für die Aufgabe ist auch mit Blick auf die Lösung der Aufgabe 52.21 wichtig ein kleines Detail zu sehen. Es soll eine maximale untere Treppenfunktion bei gebenen Sprungstellen (hier nur eine) konstruiert werden. Das ist für eine beliebige Funktion ersteinmal keine leichte Aufgabe, denn wegen der Maximalität der Treppenfunktion, müsste über jedes Intervallstück der minimale Wert der Funktion gefunden werden, damit die Stufen mit eben diesem Wert als Höhe, so groß wie möglich unterhalb der Funktion sind. Doch wir haben es hier mit einer Funktion zu tun, die ein spezielles Verhalten über dem Intervall hat, welches ist das?

 

Aufgabe * Aufgabe 52.21 ändern

Wir betrachten die Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto 1-t^{2}.$

Für welche ${}x,y\in [0,1]$, ${}x<y$, besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu ${}f$ den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ offen, und ${}P\in G$. Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen

$f,g\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in ${}P$ übereinstimmen, und die eine Funktion ein Extremum in ${}P$ besitzt, die andere nicht.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}\dim _{\!}{\left(V\right)}\geq 2$, ${}G\subseteq V$ offen, und ${}P\in G$. Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen

$f,g\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in ${}P$ übereinstimmen, und die eine Funktion ein Extremum in ${}P$ besitzt, die andere nicht.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+9y^{2}+6xy,$

auf Extrema.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}I={]{-{\frac {\pi }{2}}},{\frac {\pi }{2}}[}$. Untersuche die Funktion

$f\colon I\times I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {\cos x}{\cos y}},$

auf Extrema.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto t^{2}.$

Für welche ${}x,y\in {]0,1[}$, ${}x<y$, besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu ${}f$ den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei

$h\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion und betrachte

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto h(x^{2}+y^{2}).$

Zeige, dass ${}f$ allenfalls im Nullpunkt ${}(0,0)$ ein isoliertes lokales Extremum besitzen kann, und dass dies genau dann der Fall ist, wenn ${}h$ in ${}0$ ein isoliertes lokales Extremum besitzt.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion und es sei ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ ein isolierter Punkt, d.h. es gebe eine offene Umgebung ${}P\in U$ derart, dass ${}\varphi (Q)\neq \varphi (P)$ ist für alle ${}Q\in U$, ${}Q\neq P$. Zeige, dass dann ${}\varphi$ in ${}P$ ein isoliertes lokales Extremum besitzt.