Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 5

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Aufgabe

Skizziere die folgenden Nullstellengebilde in .

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Aufgabe

Skizziere die folgenden Nullstellengebilde in .

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. .


Aufgabe

Bestimme die Nullstellenmenge der binomialen Gleichung über .


Aufgabe

Es sei ein Körper, seien teilerfremde Zahlen und sei das zugehörige binomiale Polynom. Zeige die folgenden Eigenschaften.

  1. Das Polynom ist irreduzibel.
  2. Es gibt eine bijektive polynomiale Abbildung
  3. Bei besitzt eine isolierte Singularität im Nullpunkt.


Aufgabe

Betrachte die durch

definierte algebraische Kurve (). Zeige, dass man folgendermaßen, ausgehend von der Geraden , eine Parametrisierung von erhält: Zu einem Punkt bestimmt man die Verbindungsgerade von und dem Nullpunkt und den einzigen (?) vom Nullpunkt verschiedenen Punkt von . Zeige, dass die Abbildung, die auf diesen Punkt abbildet, algebraisch ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, seien teilerfremde Zahlen und sei das zugehörige binomiale Polynom.

  1. Zeige, dass der durch , , gegebene -Algebrahomomorphismus

    injektiv ist.

  2. Zeige, dass dieser Homomorphismus einen Isomorphismus

    induziert.

  3. Man folgere, dass für jedes , , ein Isomorphismus von lokalen Ringen

    vorliegt.

  4. Zeige, dass der induzierte Homomorphismus

    kein Isomorphismus ist.


Ein wichtiger und suggestiver Ansatz, um die lokale Dimension einer (eingebetteten) Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper in einem Punkt zu erfassen, ist es, mit affin-linearen Unterräumen unterschiedlicher Dimension, die durch den Punkt verlaufen, zu schneiden, und zu schauen, ob der Durchschnitt den Punkt isoliert, ob also in einer offenen Umgebung des Punktes gilt. Die lokale Dimension im Punkt ist dann definiert durch die Eigenschaft, dass es -dimensionale lineare Räume durch den Punkt gibt, die den Punkt isolieren, aber keine -dimensionale Räume mit dieser Eigenschaft. Beispielsweise ist

zweidimensional, wenn es Geraden gibt, die den Punkt herausschneiden, aber der Schnitt mit jeder Ebene den Punkt nicht herausschneidet.


Dieser Ansatz wird in Korollar 22.10 begründet. Einige der folgenden Aufgaben beruhen auf dieser Sichtweise. Man überprüfe diesen Ansatz auch für die Achsenraumkonfigurationen.

Aufgabe

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und .

  1. Zeige, dass der Durchschnitt von mit jeder Ebene durch den Nullpunkt nicht nur aus endlich vielen Punkten besteht.
  2. Zeige, dass es Geraden durch den Nullpunkt derart gibt, dass der Durchschnitt nur aus endlich vielen Punkten besteht.


Aufgabe

Es sei

der reelle Standardkegel. Zeige, dass es eine Ebene durch den Nullpunkt mit

gibt.


Aufgabe

Es sei

Zeige, dass es eine Ebene durch den Nullpunkt mit

gibt.


Aufgabe *

Sei

und setze

Zeige, dass

eine Homöomorphie ist.


Aufgabe

Zeige, dass die -Algebren und isomorph sind, aber nicht, wenn man auf abbildet.


Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und die algebraische Hyperfläche zu einem nichtkonstanten Polynom . Sei ein Punkt. Zeige, dass es Geraden durch den Punkt gibt, deren Durchschnitt mit endlich ist. Zeige, dass der Durchschnitt von mit jeder Ebene durch den Punkt nicht endlich ist (und dass kein isolierter Punkt des Durchschnitts ist).


Aufgabe

Bestimme die singulären Punkte der durch gegebenen Hyperfläche im


Wir besprechen eine andere Sichtweise auf Beispiel 5.7.

Aufgabe

  1. Zeige, dass der Restklassenring

    zum Restklassenring

    isomorph ist.

  2. Bestimme die irreduziblen Komponenten von
  3. Bestimme die singulären Punkte von .


Aufgabe

Bestimme die irreduziblen Komponenten von


Aufgabe

Betrachte das Ideal

und das zugehörige Nullstellengebilde . Zeige, dass zum Radikal von gehört. Zeige damit, dass isomorph zu einer ebenen algebraischen Kurve ist.


Aufgabe

Zeige, dass in jedes Ideal durch maximal zwei Erzeuger gegeben ist.


Aufgabe

Wir betrachten die beiden Abbildungen

Zeige, dass das Bild der beiden Abbildungen die gleiche algebraische Gleichung erfüllt. Untersuche die Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität (als Abbildung nach ). Welche Abbildung liefert eine „bessere“ Beschreibung von ?


Aufgabe

Zeige, dass die Nullstellenmenge

wegzusammenhängend ist.


Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und

  1. Zeige, dass der Durchschnitt mit dreidimensionalen Untervektorräumen nicht nur aus endlich vielen Punkten besteht.
  2. Zeige, dass es zweidimensionale Untervektorräume derart gibt, dass der Durchschnitt nur aus endlich vielen Punkten besteht.


Aufgabe

Zeige, dass der -Algebrahomomorphismus mit

das Ideal zum Kern gehört. Zeige, dass der induzierte Ringhomomorphismus

ein Isomorphismus ist.


Aufgabe

Zeige, dass das Ideal

ein Primideal ist.


Aufgabe

Zeige, dass die in Beispiel 5.1 beschriebene Abbildung

ein Gruppenisomorphismus (bezüglich der multiplikativen Strukturen) ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei mit zugehöriger Nenneraufnahme . Beweise die -Algebraisomorphie



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