Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 6

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Aufgabe

Es sei ein Monoidhomomorphismus zwischen kommutativen Monoiden und sei die Äquivalenzrelation auf durch , falls ist, definiert. Zeige, dass mit der Verknüpfung verträglich ist.


Aufgabe *

Es sei eine kommutative Gruppe und eine Äquivalenzrelation auf . Zeige, dass genau dann mit der Verknüpfung verträglich ist, wenn es eine Untergruppe derart gibt, dass genau dann gilt, wenn ist.


Aufgabe

Es sei eine Relation auf einem kommutativen Monoid . Zeige, dass es eine kleinste, mit der Verknüpfung verträgliche Äquivalenzrelation auf gibt, die umfasst.


Aufgabe

Es sei ein kommutatives Monoid. Zeige, dass die von einer einzigen Relation erzeugte mit der Verknüpfung verträgliche Äquivalenzrelation auf folgendermaßen gegeben ist: Es ist genau dann, wenn es eine Kette

gibt, wobei es für jedes ein und ein mit und (oder umgekehrt) ist.


Aufgabe

Es sei eine mit der Verknüpfung verträgliche Äquivalenzrelation auf einem kommutativen Monoid. Zeige, dass es auf der Quotientenmenge eine eindeutig bestimmte Verknüpfung derart gibt, dass die kanonische Projektion ein Monoidhomomorphismus ist.


Aufgabe

Finde eine Realisierung des Monoids als Untermonoid von .


Aufgabe

Seien kommutative Monoide. Zeige, dass durch

ein Untermonoid von gegeben ist, das umfasst.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines Untermonoids , das nicht endlich erzeugt ist.


Aufgabe

Berechne

im Monoidring .


Aufgabe

Berechne

im Monoidring .


Aufgabe

Zeige, dass die Multiplikation auf einem Monoidring zu einem kommutativen Monoid das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz erfüllt.


Aufgabe

Es sei ein kommutatives Monoid und es sei ein Element mit . Es sei ein Körper und es sei der zugehörige Monoidring. Zeige, dass ein idempotentes Element in ist.


Aufgabe

Es sei eine endliche Gruppe . Zeige, dass der Monoidring nicht zusammenhängend ist, obwohl es in der Gruppe außer kein Element gibt, das die Gleichung erfüllt.


Aufgabe

Es sei

eine endlich erzeugte kommutative Gruppe (mit ) und sei ein Körper. Beschreibe den Gruppenring durch Variablen und Relationen. Zeige, dass (unter gewissen Voraussetzungen an den Körper) das entsprechende Nullstellengebilde glatt ist.


Aufgabe

Zeige, dass man den Koordinatenring zum Standardkegel über als einen Monoidring realisieren kann.


Aufgabe

Sei ein Körper. Finde ein kommutatives Monoid derart, dass eine Isomorphie

vorliegt.


Die invertierbaren Elemente in einem Monoid nennt man auch Einheiten des Monoids. Sie bilden die Einheitengruppe des Monoids.

Aufgabe *

Sei ein kommutatives Monoid und ein Körper. Es sei und . Zeige, dass genau dann eine Einheit in ist, wenn eine Einheit in ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und kommutative Monoide. Zu einem Monoidhomomorphismus werde der zugehörige -Algebrahomomorphismus

im Sinne von Korollar 6.8 mit bezeichnet. Zeige die folgenden Eigenschaften.

  1. Zur Identität ist auch die Identität.
  2. Für eine Hintereinanderschaltung von Monoidhomomorphismen ist


Aufgabe

Sei ein kommutatives Monoid und ein kommutativer Ring. Charakterisiere, für welche Teilmengen die Teilmenge

ein Ideal in ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring. Beweise die -Algebraisomorphie

mit Hilfe der universellen Eigenschaften von Monoidringen und Nenneraufnahmen.


Aufgabe

Sei ein kommutatives Monoid und sei . Wir betrachten die Menge

wobei die Relation

genau dann gilt, wenn es ein derart gibt, dass

in gilt.

  1. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
  2. Definiere auf eine Monoidstruktur.
  3. Es sei ein kommutativer Ring und sei das Monom zu im Monoidring. Zeige


Aufgabe

Seien endlich erzeugte kommutative Monoide. Zeige, dass für einen Körper der Ringhomomorphismus genau dann endlich ist, wenn es zu jedem ein mit gibt.


Die folgenden Aufgaben besprechen Monoidringe zu Monoiden, die nicht endlich erzeugt sind.

Aufgabe

Berechne in das Produkt


Aufgabe

Zeige, dass man jedes Element ( ein Körper) als ein Polynom in mit einem schreiben kann, dass es also ein derart gibt, dass gilt. Welches Polynom kann man bei

nehmen?


Aufgabe

Zeige, dass in das Element keine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzt.


Aufgabe

Zeige, dass in das Element nicht irreduzibel ist.


Aufgabe

Zeige, dass es in keine irreduziblen Elemente gibt.


Aufgabe *

Bestimme sämtliche Teiler von im Ring , wobei ein Körper ist.


Aufgabe *

Bestimme die Einheiten im Ring , wobei ein Körper ist.


Die folgenden Aufgaben mit dem -Spektrum eines kommutativen Monoids , also der Menge aller Monoidhomomorphismen von nach (mit der multiplikativen Struktur).

Aufgabe

Wir betrachten das kommutative Monoid , das durch die drei Erzeuger und die einzige Relation gegeben ist. Bestimme das -Spektrum zu für verschiedene Körper .


Aufgabe

Es sei ein endliches kommutatives Monoid. Zeige, dass das -Spektrum zu auch endlich ist.


Aufgabe

Betrachte den Monoidhomomorphismus

Beschreibe die zugehörige Abbildung zwischen den Monoidringen (für einen Körper ) und den zugehörigen -Spektren.


Aufgabe

Wir betrachten Monoide der Form . Beschreibe allgemein sowie für die Körper . Finde die idempotenten Elemente von .


Aufgabe

Diskutiere Beispiel 5.6 im Kontext von Monoidringen.


Aufgabe

Seien endlich erzeugte kommutative Monoide mit den -Spektren und . Zeige, dass man für einen Monoidhomomorphismus die zugehörige Spektrumsabbildung auf zwei verschiedene Weisen definieren kann, die aber inhaltlich übereinstimmen.


Aufgabe

Sei die additive Gruppe der rationalen Zahlen. Bestimme . Wie sieht es aus, wenn man durch ersetzt?


Aufgabe

Wir betrachten die kommutativen Monoide und . Zeige, dass ein Monoidhomomorphismus von nach eindeutig durch eine Matrix (mit Spalten und Zeilen) mit Einträgen aus bestimmt ist.

Wie sieht die zugehörige Spektrumsabbildung aus?

Aufgabe

Es sei eine quadratische -Matrix mit Einträgen aus mit der zugehörigen Monoidabbildung und der zugehörigen Spektrumsabbildung

wobei ein unendlicher Körper sei. Zeige, dass genau dann ist, wenn surjektiv auf eine offene Menge aus abbildet.


Aufgabe

Es sei ein Homomorphismus von kommutativen Monoiden. Zeige, dass die Menge aller Punkte aus , die unter der Spektrumsabbildung auf den Einspunkt   (das ist der Punkt, der der konstanten Abbildung entspricht) abgebildet werden, selbst die Struktur eines -Spektrums eines geeigneten Monoids besitzt.


Aufgabe

Seien und kommutative Monoide und sei ein Körper. In welcher Beziehung steht zu und ?



Die folgenden Aufgaben haben mit der Differenzengruppe eines Monoids zu tun.

Aufgabe

Zeige, dass die Differenzengruppe zu einem kommutativen Monoid in der Tat eine Gruppe ist.


Aufgabe

Sei ein kommutatives Monoid. Zeige, dass die zugehörige Differenzengruppe eine kommutative Gruppe ist, und dass sie folgende universelle Eigenschaft besitzt: Zu jedem Monoidhomomorphismus

in eine Gruppe gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

der fortsetzt.


Aufgabe

Sei ein kommutatives Monoid mit zugehöriger Differenzengruppe . Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. ist ein Monoid mit Kürzungsregel.
  2. Die kanonische Abbildung ist injektiv.
  3. lässt sich als Untermonoid einer Gruppe realisieren.



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