Invariantentheorie (Bochum 2003)/Vorlesung 5

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Definition  

Es sei ein Körper und eine positiv-graduierte kommutative -Algebra mit der Eigenschaft, dass für jedes die Stufe endlichdimensional ist. Dann nennt man die Potenzreihe

die Hilbert-Reihe von .

Die lineare Operation von einer endlichen Gruppe auf einem -Vektorraum bzw. auf dem zugehörigen Polynomring induziert eine -lineare Operation in jeder Stufe und der Invariantenring ist selbst graduiert. Dies ermöglicht folgende Definition.


Definition  

Die endliche Gruppe operiere linear auf dem Polynomring . Dann nennt man die Potenzreihe

die Hilbert-Reihe (oder Molien-Reihe) zu dieser Operation.

Die Dimensionen der homogenen Stufen sind endlich und daher ist diese Definition sinnvoll. Die Hilbert-Reihe zur Operation ist einfach die Hilbert-Reihe des Invariantenringes.

Die Dimension des Fixraumes zu einer linearen Operation kann man über die Spur der einzelnen Automorphismen berechnen.



Lemma  

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum, auf dem eine endliche Gruppe linear und treu operiere. Die Gruppenordnung sei kein Vielfaches der Charakteristik von .

Dann besitzt der Fixraum der Operation (also der gemeinsame Eigenraum zum Eigenwert ) die Dimension

Beweis  

Wir betrachten die lineare Abbildung

Zu ist -invariant und für ist . Daher ist eine lineare Projektion

Eine lineare Projektion wird in einer geeigneten Basis durch eine Diagonalmatrix beschrieben, in der Einsen und sonst Nullen stehen. Also ist . Die Behauptung folgt daraus, dass die Spur additiv ist.


Der folgende Satz berechnet die Hilbert-Reihe (Formel von Molien).



Satz  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik . Die endliche Gruppe operiere linear auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .

Dann ist

Beweis  

Der lineare Automorphismus ist nach Fakt diagonalisierbar, da er endliche Ordnung hat. In einer geeigneten Basis besitzt die duale Abbildung die Gestalt

Auf der -ten Stufe induziert dies den linearen Automorphismus

mit . Die Eigenvektoren von sind die verschiedenen Monome

(es sei ) mit mit den Eigenwerten . Die Spur von ist daher

Nach Fakt ergibt sich

mit

Damit ist unter Verwendung der geometrischen Reihe


Die Formel besagt insbesondere, dass diese Potenzreihe eine rationale Funktion (also ein Quotient aus zwei Polynomen) ist und daher nur endlich viele Polstellen hat. Die Nennerpolynome in den Summanden erinnern an die charakteristischen Polynome der Gruppenelemente, doch steht hier die Variable bei der linearen Abbildung, nicht bei der Identität.

Die Hilbert-Reihe eines Polynomringes, wobei die Variablen positiven Grad besitzen, hat folgende Gestalt.



Lemma  

Es sei ein Körper und es sei der Polynomring über , wobei die den positiven Grad haben mögen.

Dann ist die Hilbert-Reihe dieses Ringes gleich

Beweis  

Die Monome vom Gesamtgrad bilden eine -Basis von . Die Dimension der -ten Stufe ist also die Anzahl der Elemente in der Menge

Die Behauptung folgt somit aus

wobei wir im letzten Schritt die Formel für die geometrische Reihe verwendet haben.


Wir wenden uns nun der Charakterisierung derjenigen linearen Operationen auf dem Polynomring zu, die zu einem Invariantenring führen, der selbst ein Polynomring ist.


Definition  

Ein linearer Automorphismus auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum heißt Pseudoreflektion (oder Pseudospiegelung), wenn er in einer geeigneten Basis durch eine Matrix der Form

wobei eine Einheitswurzel ist, beschrieben werden kann.

Eine Pseudoreflektion besitzt also eine Hyperebene (einen -dimensionalen Untervektorraum), auf der sie fix ist (der Eigenraum zum Eigenwert ) und einen weiteren dazu linear unabhängigen Eigenvektor zum Eigenwert . Die Ordnung der Einheitswurzel bestimmt auch die Ordnung der Pseudoreflektion. Das Inverse einer Pseudoreflektion ist wieder eine Pseudoreflektion.


Definition  

Eine endliche Untergruppe heißt Reflektionsgruppe (oder Spiegelungsgruppe), wenn sie durch Pseudoreflektionen erzeugt wird.

Man beachte, dass dies keine Eigenschaft der (abstrakten) Gruppe ist, sondern eine Eigenschaft der Untergruppe . In einer Reflektionsgruppe kann man jedes Element als ein Produkt mit Pseudoreflektionen schreiben.

Die Bedeutung von Reflektionsgruppen in der Invariantentheorie kommt im folgenden wichigen Satz, dem Satz von Chevalley-Shephard-Todd, zum Ausdruck.


Satz

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik null. Die endliche Gruppe operiere linear und treu auf dem -Vektorraum . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist eine Reflektionsgruppe.
  2. Der Invariantenring ist (isomorph zu einem) ein Polynomring (in Variablen).

Aus Dimensionsgründen ist klar, dass wenn der Invariantenring ein Polynomring ist, dieser Variablen besitzt. Der Beweis dieses Satzes benutzt verschiedene Lemmata und verwendet die Theorie der Hilbert-Reihen. Hierbei werden verschiedene elementare Hilfsmittel aus der Theorie der Potenzreihen verwendet.



Lemma  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und eine Pseudoreflektion. Es sei der Fixraum zu und eine Linearform , die auf verschwindet.

Dann ist für jedes Polynom ein Teiler von .

Beweis  

Für ist

Das Polynom verschwindet also auf der Nullstellenmenge von . Wir können zu einer Variablenmenge ergänzen und

schreiben. Das Polynom verschwindet auf und ist somit die Nullfunktion, also muss es auch das Nullpolynom sein, da der Körper unendlich ist.




Lemma  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik und eine Reflektionsgruppe. Es sei das Ideal in , das durch die homogenen Invarianten von einem positiven Grad erzeugt wird. Es gelte

wobei die homogene Polynome und die invariante Polynome seien.

Dann ist oder .

Beweis  

Wir führen Induktion über den Grad von . Bei gehört natürlich zu . Für und ist . Sei also und die Aussage für kleineren Grad bewiesen. Es sei vorausgesetzt und es sei eine Pseudoreflektion. Dann ist

Nach Fakt kann man

schreiben, wobei eine beschreibende Linearform des Fixraumes zu ist und einen kleineren Grad als besitzt. Wir schreiben die obige Gleichung als

Daher ist die Summe rechts gleich und nach Induktionsvoraussetzung ist , also auch .

Sei nun ein Produkt von Pseudoreflektionen. Dann ist

Da zu gehört und unter invariant ist, gehört auch zu . Mit dem Reynolds-Operator ist

Dies gehört zu und wegen ist auch .