Die lineare Operation von einer endlichen Gruppe auf einem
-
Vektorraum
bzw. auf dem zugehörigen Polynomring
induziert eine -lineare Operation
in jeder Stufe und der
Invariantenring
ist selbst graduiert. Dies ermöglicht folgende Definition.
Die
endliche Gruppe
operiere linear
auf dem
Polynomring
. Dann nennt man die
Potenzreihe
-
die
Hilbert-Reihe
(oder
Molien-Reihe)
zu dieser Operation.
Die Dimensionen der homogenen Stufen sind endlich und daher ist diese Definition sinnvoll. Die Hilbert-Reihe zur Operation ist einfach die Hilbert-Reihe des Invariantenringes.
Die Dimension des
Fixraumes
zu einer linearen Operation kann man über die
Spur
der einzelnen Automorphismen berechnen.
Der folgende Satz berechnet die Hilbert-Reihe
(Formel von Molien).
Der lineare Automorphismus ist
nach Fakt *****
diagonalisierbar,
da er
endliche Ordnung
hat. In einer geeigneten Basis besitzt die
duale Abbildung
die Gestalt
-
Auf der -ten Stufe induziert dies den linearen Automorphismus
-
mit . Die
Eigenvektoren
von sind die verschiedenen Monome
-
(es sei )
mit
mit den
Eigenwerten
. Die Spur von ist daher
-
Nach
Fakt *****
ergibt sich
-
mit
-
Damit ist unter Verwendung der
geometrischen Reihe
Die Formel besagt insbesondere, dass diese Potenzreihe eine rationale Funktion
(also ein Quotient aus zwei Polynomen)
ist und daher nur endlich viele Polstellen hat. Die Nennerpolynome in den Summanden erinnern an die
charakteristischen Polynome
der Gruppenelemente, doch steht hier die Variable bei der linearen Abbildung, nicht bei der Identität.
Die Hilbert-Reihe eines Polynomringes, wobei die Variablen positiven Grad besitzen, hat folgende Gestalt.
Die Monome vom Gesamtgrad
bilden eine
-
Basis
von . Die
Dimension
der -ten Stufe ist also die Anzahl der Elemente in der Menge
-
Die Behauptung folgt somit aus
wobei wir im letzten Schritt die Formel für die
geometrische Reihe
verwendet haben.
Wir wenden uns nun der Charakterisierung derjenigen linearen Operationen auf dem Polynomring zu, die zu einem Invariantenring führen, der selbst ein Polynomring ist.
Ein
linearer Automorphismus auf einem
endlichdimensionalen
-
Vektorraum
heißt
Pseudoreflektion
(oder Pseudospiegelung),
wenn er in einer geeigneten Basis durch eine Matrix der Form
-
wobei eine
Einheitswurzel
ist, beschrieben werden kann.
Eine Pseudoreflektion besitzt also eine Hyperebene
(einen -dimensionalen Untervektorraum), auf der sie fix ist
(der
Eigenraum zum
Eigenwert )
und einen weiteren dazu linear unabhängigen Eigenvektor zum Eigenwert . Die Ordnung der Einheitswurzel bestimmt auch die Ordnung der Pseudoreflektion. Das Inverse einer Pseudoreflektion ist wieder eine Pseudoreflektion.
Man beachte, dass dies keine Eigenschaft der
(abstrakten)
Gruppe ist, sondern eine Eigenschaft der Untergruppe . In einer Reflektionsgruppe kann man jedes Element als ein Produkt
mit Pseudoreflektionen schreiben.
Die Bedeutung von Reflektionsgruppen in der Invariantentheorie kommt im folgenden wichtigen Satz, dem Satz von Chevalley-Shephard-Todd, zum Ausdruck.
Aus Dimensionsgründen ist klar, dass wenn der Invariantenring ein Polynomring ist, dieser Variablen besitzt. Der Beweis dieses Satzes benutzt verschiedene Lemmata und verwendet die Theorie der Hilbert-Reihen. Hierbei werden verschiedene elementare Hilfsmittel aus der Theorie der Potenzreihen verwendet.
Für ist
-
Das Polynom verschwindet also auf der
Nullstellenmenge von . Wir können zu einer Variablenmenge ergänzen und
-
schreiben. Das Polynom verschwindet auf und ist somit die Nullfunktion, also muss es auch das Nullpolynom sein, da der Körper unendlich ist.
Es sei ein
algebraisch abgeschlossener Körper
der
Charakteristik
und eine
Reflektionsgruppe.
Es sei das
Ideal
in , das durch die homogenen Invarianten von einem positiven
Grad
erzeugt
wird. Es gelte
-
wobei die homogene Polynome und die invariante Polynome seien.
Dann ist
oder .
Wir führen Induktion über den Grad von . Bei
gehört natürlich zu . Für
und
ist . Es sei also
und die Aussage für kleineren Grad bewiesen. Es sei vorausgesetzt und es sei eine
Pseudoreflektion.
Dann ist
-
Nach
Fakt *****
kann man
-
schreiben, wobei eine beschreibende Linearform des Fixraumes zu ist und einen kleineren Grad als besitzt. Wir schreiben die obige Gleichung als
-
Daher ist die Summe rechts gleich und nach Induktionsvoraussetzung ist , also auch .
Es sei nun ein Produkt von Pseudoreflektionen. Dann ist
Da zu gehört und unter invariant ist, gehört auch zu . Mit dem
Reynolds-Operator
ist
-
Dies gehört zu und wegen ist auch .