Kurs:Algebraische Kurven/Test 1/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 4 3 4 4 2 3 6 10 5 2 3 4 8 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine affin-algebraische Menge.
  2. Eine affin-lineare Variablentransformation.
  3. Ein Radikal.
  4. Eine Nenneraufnahme zu einem multiplikativen System in einem kommutativen Ring .
  5. Der Koordinatenring zu einer affin-algebraischen Menge .
  6. Sei ein Punkt in einer offenen Menge im -Spektrum von . Sei eine Funktion. Was bedeutet es, dass diese Funktion algebraisch ist?


Lösung

  1. Eine Teilmenge im affinen Raum heißt affin-algebraisch, wenn sie die Nullstellenmenge zu einer Familie , , von Polynomen ist.
  2. Man nennt eine Abbildung der Form

    wobei eine invertierbare Matrix ist, eine affin-lineare Variablentransformation.

  3. Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt Radikal, wenn folgendes gilt: Falls ist für ein , so ist bereits .
  4. Man nennt den Unterring

    die Nenneraufnahme zu .

  5. Zu mit Verschwindungsideal nennt man den Koordinatenring von .
  6. Algebraisch im Punkt bedeutet, dass es Elemente gibt mit und mit


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über den Zariski-Abschluss zu einer Teilmenge .
  2. Der Satz über die Restklassenringe zu affin-linear äquivalenten affin-algebraischen Teilmengen .
  3. Die algebraische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes.


Lösung

  1. Sei eine Teilmenge. Dann ist der Zariski-Abschluss von gleich
  2. Sei ein Körper und seien zwei [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|affin-algebraische Teilmengen]], die affin-linear äquivalent seien. Es seien die zugehörigen [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|Verschwindungsideale]]. Dann sind die [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|Restklassenringe]] (als -Algebren) isomorph, also
  3. Sei ein Körper und sei eine Körpererweiterung, die (als -Algebra) endlich erzeugt sei. Dann ist endlich über .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte und verläuft.


Lösung

Der Richtungsvektor der Geraden ist . Somit besitzt die Geradengleichung die Form

Einsetzen eines Punkt ergibt . Somit ist

Dies setzen wir in die Kreisgleichung

ein und erhalten

oder

Die Normierung davon ist

Somit ist

und

Die Schnittpunkte sind also


Aufgabe (3 Punkte)

Finde auf der ebenen algebraischen Kurve

einen Punkt.


Lösung

Wir betrachten den Schnitt der Kurve mit der Geraden , also die zusätzliche Bedingung, dass ist. In die Kurvengleichung setzen wir also ein und erhalten die Bedingung

Die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung liefert

Daher ist

ein Punkt der Kurve.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine affin-algebraische Menge. Zeige, dass unter der Identifizierung

die Teilmenge auch eine affin-algebraische Menge des ist. Zeige, dass die Umkehrung nicht gilt.


Lösung Komplexer affiner Raum/Affin-algebraisch/Reell/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine polynomiale Abbildung

derart, dass das Urbild von einem Punkt reduzibel ist, das Urbild von allen anderen Punkten aber irreduzibel.


Lösung

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Wir betrachten die Abbildung

Die Faser über dem Nullpunkt ist das Achsenkreuz , das nicht irreduzibel. Die Faser über einem Punkt , , ist . Es genügt zu zeigen, dass ein Primpolynom ist. Dies folgt aber aus der Isomorphie

mit der Umkehrabbildung . Die universellen Eigenschaften von Restklassenbildung und Nenneraufnahme sichern dabei, dass wirklich eine Bijektion vorliegt.


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

  1. Homogenisiere das Polynom

    bezüglich der neuen Variablen .

  2. Dehomogenisiere das Polynom

    bezüglich der Variablen .


Lösung

  1. Die Homogenisierung von

    ist

  2. Die Dehomogenisierung von

    bezüglich der Variablen ist


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es eine rationale Parametrisierung der Hyperbel gibt, aber keine polynomiale Parametrisierung dafür. Erläutere dabei die verwendeten Begriffe.


Lösung

Eine rationale Parametrisierung einer ebenen Kurve ist eine nichtkonstante, durch rationale Polynome auf einer offenen Teilmenge der affinen Geraden gegebene Abbildung . Im Fall der Hyperbel wird eine rationale Parametrisierung am einfachsten gegeben durch

die für definiert ist.

Eine polynomiale Parametrisierung muss auf der ganzen affinen Gerade definiert sein, sie ist also durch zwei nichtkonstante Polynome gegeben. Für eine solche Parametrisierung der Hyperbel muss es also Polynome in einer Variablen mit geben. Die einzigen Einheiten im Polynomring sind aber die Konstanten .


Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme für die Abbildung

eine algebraische Gleichung der Bildkurve. Führe eine Probe durch.


Lösung

Wir arbeiten mit den gleichgradigen Homogenisierungen , und . Daraus ergeben sich sechs Monome vom Grad (bezogen auf ). Da es insgesamt nur Monome vom Grad gibt, muss dort eine lineare Abhängigkeit bestehen. Es ist

und

Da nur in vorkommt, muss es eine lineare Relation zwischen geben. Da ein Monom ist, konzentrieren wir uns auf die relvanten Monome und Es ist

Also ist

eine lineare Relation. Somit ist

ein Polynom vom Grad , das ergibt, wenn man die Variablen durch die ersetzt. Wir dividieren durch und erhalten

Wenn man darin einsetzt und dann durch ersetzt, kommt nach wir vor raus. Die entstehenden Ersetzungen für bzw. sind aber die ursprünglichen rationalen Funktionen. Ein annullierendes Polynom ist demnach

Als Probe betrachten wir


Aufgabe (10 Punkte)

Beweise den Hilbertschen Basissatz.


Lösung

Sei ein Ideal im Polynomring . Zu definieren wir ein Ideal in durch

Das Menge besteht also aus allen Leitkoeffizienten von Polynomen vom Grad aus . Es handelt sich dabei offensichtlich um Ideale in (wobei wir hier als Leitkoeffizient zulassen). Ferner ist , da man ja ein Polynom vom Grad mit Leitkoeffizient mit der Variablen multiplizieren kann, um ein Polynom vom Grad zu erhalten, das wieder als Leitkoeffizienten besitzt. Da noethersch ist, muss diese aufsteigende Idealkette stationär werden; sei so, dass ist.

Zu jedem sei nun ein endliches Erzeugendensystem, und es seien

zugehörige Polynome aus (die es nach Definition der geben muss).

Wir behaupten, dass von allen erzeugt wird. Dazu beweisen wir für jedes durch Induktion über den Grad von , dass es als Linearkombination mit diesen darstellbar ist. Für konstant, also , ist dies klar. Sei nun der Grad von gleich und die Aussage sei für kleineren Grad bewiesen. Wir schreiben

Es ist und damit kann man als -Linearkombination der , schreiben. Bei kann man sogar als -Linearkombination der , schreiben, sagen wir . Dann ist und hat einen kleineren Grad, so dass man darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden kann. Bei ist

Damit gehört

ebenfalls zu und hat einen kleineren Grad, so dass man wieder die Induktionsvoraussetzung anwenden kann.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein Modul über dem kommutativen Ring . Es seien und . Zeige


Lösung

Wir beweisen die Aussage durch eine Doppelinduktion über . Die Fälle

sind unmittelbar klar bzw. folgen direkt aus den Modulaxiomen.

Die Aussage für und beliebige beweisen für durch Induktion nach , wobei der Induktionsanfang durch die Vorbemerkung gesichert ist. Sei die Aussage für ein schon bewiesen, und seien Vektoren gegeben. Dann ist unter Verwendung des Falles und der Induktionsvoraussetzung

Wir betrachten nun die Aussage für ein festes und beliebige . Für ist diese Aussage bereits bewiesen. Sei diese Aussage nun für ein festes schon bewiesen Es seien Skalare und Vektoren gegeben. Dann ist unter Verwendung der Fälle und der Induktionsvoraussetzung


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass ein Ideal in einem kommutativen Ring genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring reduziert ist.


Lösung

Sei ein Radikal und nilpotent. Dann ist in . Zurückübersetzt nach bedeutet dies . Da ein Radikal vorliegt, ist und damit im Restklassenring. Also ist dieser reduziert.

Sei umgekehrt ein Ideal

mit reduziertem Restklassenring gegeben. Sei . Dann ist die Restklasse von gleich . Wegen der Reduziertheit ist bereits . Dies bedeutet , also ist das Ideal ein Radikal.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Beweise den Hilbertschen Nullstellensatz direkt für den Polynomring in einer Variablen.


Lösung Hilbertscher Nullstellensatz/Eindimensional/Direkt/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die beiden Polynome und und die zugehörigen algebraischen Kurven über den Körpern und .

  1. Gilt in ?
  2. Gilt in ?
  3. Gehört zum Radikal von in ?
  4. Gehört zum Radikal von in ?


Lösung

  1. Der einzige reelle Punkt von ist der Nullpunkt , und dieser liegt auf . Also gilt .
  2. Im Komplexen gilt die entsprechende Inklusion nicht, da beispielsweise zu gehört, aber wegen nicht zu .
  3. Würde zum Radikal von in gehören, so würde dies unmittelbar auch in gelten. Dies ist aber nach dem folgenden Punkt nicht der Fall.
  4. Nach (der einfachen Richtung des) Hilbertschen Nullstellensatzes folgt aus (2), dass nicht zum Radikal von in gehört.


Aufgabe (8 Punkte)

Sei ein Körper und sei eine endlich erzeugte kommutative -Algebra mit -Spektrum . Es sei eine Restklassendarstellung von mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus

und dem Nullstellengebilde . Zeige, dass die die Abbildung

eine Bijektion zwischen und stiftet, die bezüglich der Zariski-Topologie ein Homöomorphismus ist.


Lösung

Zunächst ist die angegebene Abbildung wohldefiniert, da die Hintereinanderschaltung

einen -Algebrahomomorphismus vom Polynomring nach definiert, der nach Lemma 12.3 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) der Einsetzungshomomorphismus zu ist und mit dem entsprechenden Punkt des affinen Raumes identifiziert werden kann (und zwar ist ).

Da der Homomorphismus durch faktorisiert, wird das Ideal auf abgebildet. D.h. der Bildpunkt liegt in , und es liegt eine Abbildung

vor, die wir als bijektiv nachweisen müssen.

Seien dazu zwei verschiedene Punkte. Es liegen also zwei verschiedene -Algebrahomomorphismen vor, und da ein -Algebrahomomorphismus auf einem -Algebra-Erzeugendensystem festgelegt ist, müssen sich die beiden auf mindestens einer Variablen unterscheiden. Dann ist aber auch der Wert der zugehörigen Koordinate verschieden, d.h. , und die Abbildung ist injektiv.

Zur Surjektivität sei ein Punkt vorgegeben. Der zugehörige -Algebrahomomorphismus

annulliert daher jedes , so dass dieser Ringhomomorphismus durch faktorisiert. Dieser Ringhomomorphismus ist das gesuchte Urbild aus .

Zur Topologie muss man einfach nur beachten, dass für und ein Urbild und einen Punkt mit Bildpunkt gilt:

so dass auch die Nullstellen übereinstimmen.