Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 4

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Aufgaben

Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Zeige, dass ein multiplikatives System in ist.


Aufgabe *

Es sei ein kommutativer Ring, ein multiplikatives System und ein Ideal. Zeige, dass

ein Ideal in ist, dass umfasst.


Aufgabe

Es sei eine fixierte Teilmenge. Zeige, dass die Menge

ein multiplikatives System im Ring der stetigen Funktionen auf ist.


Ein multiplikatives System in einem kommutativen Ring heißt saturiert, wenn folgendes gilt: Ist und gibt es ein , das von geteilt wird, so ist auch .


Sei ein kommutativer Ring. Ein multiplikatives System nennt man einen Ultrafilter, wenn ist und wenn maximal mit dieser Eigenschaft ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Menge der Nichtnullteiler in ein saturiertes multiplikatives System bilden.


Aufgabe

Seien kommutative Ringe und sei ein Ringhomomorphismus . Zeige, dass das Urbild der Einheitengruppe ein saturiertes multiplikatives System in ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und sei ein multiplikatives System mit . Zeige, dass genau dann ein Ultrafilter ist, wenn es zu jedem , , ein und eine natürliche Zahl mit gibt.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Ultrafilter. Zeige, dass das Komplement von ein minimales Primideal in ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, ein Ideal und ein multiplikatives System mit . Zeige mit dem Lemma von Zorn, dass es dann auch ein Primideal mit und mit gibt.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein multiplikatives System. Zeige, dass die Überkreuzrelation auf der Produktmenge eine Äquivalenzrelation ist, und dass für die Äquivalenzklassen durch

eine wohldefinierte Addition und durch

eine wohldefinierte Multiplikation gegeben ist, derart, dass die Quotientenmenge ein kommutativer Ring wird.


Aufgabe

Es sei ein Integritätsbereich und sei ein multiplikatives System, .

  1. Zeige, dass die Nenneraufnahme zu , also mit

    ein Unterring von ist.

  2. Zeige, dass nicht jeder Unterring von eine Nenneraufnahme ist.


Aufgabe

Es sei eine Teilmenge der Primzahlen. Zeige, dass die Menge

ein Unterring von ist. Was ergibt sich bei , , , ?


Aufgabe

Es sei der von und erzeugte Unterring von . Zeige, dass alle rationalen Zahlen enthält, die sich mit einer Potenz von im Nenner schreiben lassen.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei mit zugehöriger Nenneraufnahme . Beweise die -Algebraisomorphie


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und Elemente. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. Es ist (im Spektrum von ).
  2. Es ist .
  3. Es ist .
  4. Es gibt mit
  5. Das Element teilt eine Potenz von .
  6. Es ist eine Einheit in .
  7. Es gibt einen -Algebrahomomorphismus .


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring, ein Element und die zugehörige Nenneraufnahme. Zeige, dass genau dann nilpotent ist, wenn der Nullring ist.


Aufgabe

Es sei ein Hauptidealbereich mit Quotientenkörper . Zeige, dass jeder Zwischenring , , eine Nenneraufnahme ist.


Aufgabe

Zeige, dass keine Algebra von endlichem Typ über ist.


Aufgabe

Sei ein Integritätsbereich und ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in genau denjenigen Primidealen in entsprechen, die mit einen leeren Durchschnitt haben.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring, sei und sei ein Ideal. Zeige, dass genau dann gilt, wenn für alle Lokalisierungen gilt, dass ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, ein Ideal und ein multiplikatives System. Zeige, dass es eine natürliche Ringisomorphie

gibt, wobei links die Nenneraufnahme am Bild des multiplikativen Systems in bezeichnet.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, ein Ideal und ein multiplikatives System. In der Nenneraufnahme gelte

Zeige, dass es ein und Elemente mit

gibt.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer integren, endlich erzeugten -Algebra und eines multiplikativen Systems , , an derart, dass die Nenneraufnahme kein Körper ist, aber jedes maximale Ideal aus zum Einheitsideal in wird.


Aufgabe

Bestimme die Unterringe der rationalen Zahlen , die lokal sind.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen.

  1. hat genau ein maximales Ideal
  2. Die Menge der Nichteinheiten bildet ein Ideal in .


Aufgabe

Sei ein lokaler Ring mit Restekörper . Zeige, dass und genau dann die gleiche Charakteristik haben, wenn einen Körper enthält.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und

ein Ringhomomorphismus in einen Körper . Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Faktorisierung

mit einem Restekörper zu einem Primideal gibt.


Aufgabe *

Es sei ein lokaler Ring und ein Ideal von . Zeige, dass

surjektiv ist.


Aufgabe

Es sei

ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen und und es sei ein Primideal. Zeige, dass es natürliche Ringhomomorphismen

(zwischen den Lokalisierungen) und

(zwischen den Restekörpern) gibt.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring, ein multiplikatives System und ein -Modul. Definiere die „Nenneraufnahme“

und zeige, dass sie ein -Modul ist.



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