Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 4

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I$ ein Ideal. Zeige, dass ${}{\left\{1+x\mid x\in I\right\}}$ ein multiplikatives System in ${}R$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System und ${}I\subseteq R$ ein Ideal. Zeige, dass

${}J:={\left\{f\in R\mid {\text{Es gibt ein }}s\in S{\text{ mit }}sf\in I\right\}}\,$

ein Ideal in ${}R$ ist, dass ${}I$ umfasst.

Aufgabe

Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R}$ eine fixierte Teilmenge. Zeige, dass die Menge

${}S={\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}},\,f{\text{ besitzt in }}T{\text{ keine Nullstelle}}\right\}}\,$

ein multiplikatives System im Ring der stetigen Funktionen auf ${}\mathbb {R}$ ist.

Ein multiplikatives System ${}S$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt saturiert, wenn folgendes gilt: Ist ${}g\in R$ und gibt es ein ${}f\in S$, das von ${}g$ geteilt wird, so ist auch ${}g\in S$.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Ein multiplikatives System ${}F\subseteq R$ nennt man einen Ultrafilter, wenn ${}0\not \in F$ ist und wenn ${}F$ maximal mit dieser Eigenschaft ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Menge der Nichtnullteiler in ${}R$ ein saturiertes multiplikatives System bilden.

Aufgabe

Es seien ${}A,B$ kommutative Ringe und sei ${}\varphi :A\rightarrow B$ ein Ringhomomorphismus . Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}(B^{\times })$ der Einheitengruppe ein saturiertes multiplikatives System in ${}A$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}F\subseteq R$ ein multiplikatives System mit ${}0\notin F$. Zeige, dass ${}F$ genau dann ein Ultrafilter ist, wenn es zu jedem ${}g\in R$, ${}g\notin F$, ein ${}f\in F$ und eine natürliche Zahl ${}n$ mit ${}fg^{n}=0$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}F\subset R$ ein Ultrafilter. Zeige, dass das Komplement von ${}F$ ein minimales Primideal in ${}R$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und ${}M\subseteq R$ ein multiplikatives System mit ${}{\mathfrak {a}}\cap M=\emptyset$. Zeige mit dem Lemma von Zorn, dass es dann auch ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ mit ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}$ und mit ${}{\mathfrak {p}}\cap M=\emptyset$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass die Überkreuzrelation auf der Produktmenge ${}R\times S$ eine Äquivalenzrelation ist, und dass für die Äquivalenzklassen ${}{\frac {r}{s}}:=[(r,s)]$ durch

${}{\frac {r}{s}}+{\frac {r'}{s'}}:={\frac {rs'+r's}{ss'}}\,$

eine wohldefinierte Addition und durch

${}{\frac {r}{s}}\cdot {\frac {r'}{s'}}:={\frac {rr'}{ss'}}\,$

eine wohldefinierte Multiplikation gegeben ist, derart, dass die Quotientenmenge ein kommutativer Ring wird.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System, ${}0\notin S$.

1. Zeige, dass die Nenneraufnahme zu ${}S$, also ${}R_{S}$ mit

   ${}R_{S}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}}\subseteq Q(R)\,$

   ein Unterring von ${}Q(R)$ ist.

2. Zeige, dass nicht jeder Unterring von ${}Q(R)$ eine Nenneraufnahme ist.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {P} }$ eine Teilmenge der Primzahlen. Zeige, dass die Menge

$R_{T}={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q{\text{ lässt sich mit einem Nenner schreiben, in dem nur Primzahlen aus }}T{\text{ vorkommen}}\right\}}$

ein Unterring von ${}\mathbb {Q}$ ist. Was ergibt sich bei ${}T=\emptyset$, ${}T=\{3\}$, ${}T=\{2,5\}$, ${}T={\mathbb {P} }$?

Aufgabe

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [{\frac {2}{3}}]$ der von ${}\mathbb {Z}$ und ${}2/3$ erzeugte Unterring von ${}\mathbb {Q}$. Zeige, dass ${}R$ alle rationalen Zahlen enthält, die sich mit einer Potenz von ${}3$ im Nenner schreiben lassen.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}f\in R$ mit zugehöriger Nenneraufnahme ${}R_{f}$. Beweise die ${}R$- Algebraisomorphie

${}R_{f}\cong R[T]/(Tf-1)\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f,g\in R$ Elemente. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Es ist ${}D(f)\subseteq D(g)$ (im Spektrum von ${}R$).
2. Es ist ${}\operatorname {rad} {\left((f)\right)}\subseteq \operatorname {rad} {\left((g)\right)}$.
3. Es ist ${}f\in \operatorname {rad} {\left((g)\right)}$.
4. Es gibt ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}f^{n}\in (g)$
5. Das Element ${}g$ teilt eine Potenz von ${}f$.
6. Es ist ${}g$ eine Einheit in ${}R_{f}$.
7. Es gibt einen ${}R$- Algebrahomomorphismus ${}R_{g}\rightarrow R_{f}$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}f\in R$ ein Element und ${}R_{f}$ die zugehörige Nenneraufnahme. Zeige, dass ${}f$ genau dann nilpotent ist, wenn ${}R_{f}$ der Nullring ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich mit Quotientenkörper ${}Q=Q(R)$. Zeige, dass jeder Zwischenring ${}S$, ${}R\subseteq S\subseteq Q$, eine Nenneraufnahme ist.

Aufgabe

Zeige, dass ${}\mathbb {Q}$ keine Algebra von endlichem Typ über ${}\mathbb {Z}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in ${}R_{S}$ genau denjenigen Primidealen in ${}R$ entsprechen, die mit ${}S$ einen leeren Durchschnitt haben.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, sei ${}f\in R$ und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal. Zeige, dass ${}f\in {\mathfrak {a}}$ genau dann gilt, wenn für alle Lokalisierungen ${}R_{\mathfrak {p}}$ gilt, dass ${}f\in {\mathfrak {a}}R_{\mathfrak {p}}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass es eine natürliche Ringisomorphie

${}{\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}_{S}=R_{S}/{\mathfrak {a}}R_{S}\,$

gibt, wobei links die Nenneraufnahme am Bild des multiplikativen Systems in ${}R/{\mathfrak {a}}$ bezeichnet.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. In der Nenneraufnahme ${}R_{S}$ gelte

${}{\mathfrak {a}}R_{S}={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\,.$

Zeige, dass es ein ${}g\in S$ und Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ mit

${}{\mathfrak {a}}R_{g}={\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}\,$

gibt.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer integren, endlich erzeugten ${}{\mathbb {C} }$-Algebra ${}R$ und eines multiplikativen Systems ${}S\subseteq R$, ${}0\not \in S$, an derart, dass die Nenneraufnahme ${}R_{S}$ kein Körper ist, aber jedes maximale Ideal aus ${}R$ zum Einheitsideal in ${}R_{S}$ wird.

Aufgabe

Bestimme die Unterringe der rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$, die lokal sind.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen.

1. ${}R$ hat genau ein maximales Ideal
2. Die Menge der Nichteinheiten ${}R\setminus R^{\times }$ bildet ein Ideal in ${}R$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein lokaler Ring mit Restekörper ${}K$. Zeige, dass ${}R$ und ${}K$ genau dann die gleiche Charakteristik haben, wenn ${}R$ einen Körper enthält.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und

$\varphi \colon R\longrightarrow K$

ein Ringhomomorphismus in einen Körper ${}K$. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Faktorisierung

$R\longrightarrow \kappa ({\mathfrak {p}})\longrightarrow K$

mit einem Restekörper ${}\kappa ({\mathfrak {p}})$ zu einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein lokaler Ring und ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal von ${}R$. Zeige, dass

$R^{\times }\longrightarrow {\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}^{\times }$

surjektiv ist.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen ${}R$ und ${}S$ und es sei ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ ein Primideal. Zeige, dass es natürliche Ringhomomorphismen

$R_{\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})}\longrightarrow S_{\mathfrak {p}}$

(zwischen den Lokalisierungen) und

$\kappa {\left(\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})\right)}\longrightarrow \kappa {\left({\mathfrak {p}}\right)}$

(zwischen den Restekörpern) gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Definiere die „Nenneraufnahme“

$M_{S}$

und zeige, dass sie ein ${}R_{S}$-Modul ist.