Kurs:Analysis/Teil I/35/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 4 2 7 2 4 5 4 5 4 3 2 1 5 3 4 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine bijektive Abbildung
  2. Ein Häufungspunkt einer Folge in einem angeordneten Körper .
  3. Der Imaginärteil einer komplexen Zahl .
  4. Die reelle Exponentialfunktion zur Basis .
  5. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion
  6. Die Zeitunabhängigkeit einer gewöhnlichen Differentialgleichung


Lösung

  1. Die Abbildung heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
  2. Es sei eine Folge in . Ein Element heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes unendlich viele Folgenglieder mit gibt.
  3. Zu einer komplexen Zahl nennt man den Imaginärteil von .
  4. Die Funktion

    heißt Exponentialfunktion zur Basis .

  5. Die Funktion heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von auf jedes kompakte Intervall Riemann-integrierbar ist.
  6. Die gewöhnliche Differentialgleichung

    heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion nicht von abhängt, wenn also gilt mit einer Funktion in der einen Variablen .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper .
  2. Der Satz über das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe
  3. Der Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion zu einer bijektiven differenzierbaren Funktion


Lösung

  1. Für und ist
  2. Die Potenzreihe sei für eine komplexe Zahl , , konvergent. Dann ist für jeden reellen Radius  mit die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe punktweise absolut und gleichmäßig konvergent.
  3. Zu mit ist auch die Umkehrfunktion in differenzierbar mit


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

In einer Höhle befinden sich im Innern am Ende des Ganges vier Personen. Sie haben eine Taschenlampe bei sich und der Gang kann nur mit der Taschenlampe begangen werden. Dabei können höchstens zwei Leute gemeinsam durch den Gang gehen. Die Personen sind unterschiedlich geschickt, die erste Person benötigt eine Stunde, die zweite Person benötigt zwei Stunden, die dritte Person benötigt vier Stunden und die vierte Person benötigt fünf Stunden, um den Gang zu durchlaufen. Wenn zwei Personen gleichzeitig gehen, entscheidet die langsamere Person über die Geschwindigkeit.

  1. Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?
  2. Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?


Lösung Höhle/Taschenlampe/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne

Das Ergebnis soll in einer entsprechenden Form angegeben werden.


Lösung

Es ist

und

Somit ist das Produkt

Die Kommadarstellung davon ist


Aufgabe (7 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

die einem Vierertupel das Vierertupel

zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.


Lösung

Es sei das Maximum der beteiligten vier Zahlen . Wir zeigen, dass dieses Maximum nach endlich vielen Iterationen kleiner wird. Da wir uns innerhalb der natürlichen Zahlen befinden, folgt daraus, dass das Maximum irgendwann wird, was bedeutet, dass dann alle vier Zahlen sind. Da alle Zahlen aus sind und die nichtnegative Differenz genommen wird, wird das Maximum definitiv nicht größer bei einer Iteration. Allerdings kann das Maximum gleich bleiben. Dies kann aber nur dann sein, wenn ein Nachbar (zyklisch gedacht, die vierte Zahl ist also auch ein Nachbar der ersten Zahl) des Maximums gleich ist. Wir müssen (durch zyklisches Vertauschen und Spiegeln) nur noch die Situation anschauen, wo das Tupel die Form

mit hat. Wenn ist, so liefert die Abbildung

Wir müssen also nur noch die Situation anschauen, wo es höchstens zwei Nullen gibt. Bei

mit ergibt sich im nächsten Schritt

was keine Nullen mehr hat. Bei

mit ergibt sich im nächsten Schritt

Bei besitzt dies nur eine Null, bei sind wir in einem schon behandelten Fall. Es sei das Tupel jetzt

mit

Das Ergebnis ist

Bei ist dies

mit dem Folgetupel

Bei besitzt dies ein kleineres Maximum, bei ist das Folgetupel gleich

und davon ist das Folgetupel

Es sei also . Das Folgetupel ist bei gleich

und dessen Folgetupel ist

Allenfalls in der dritten Position könnte eine stehen, doch diese ist nicht benachbart zum einzigen Vorkommen von , so dass das Folgetupel keine Null besitzt.


Das Folgetupel ist bei gleich

und dabei ist wieder allenfalls in der dritten Position eine , stehen, doch diese ist nicht benachbart zum einzigen Vorkommen von , so dass das Folgetupel keine Null besitzt.


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine natürliche Zahl, die man als Summe von vier Quadraten darstellen kann, aber nicht als Summe von drei Quadraten.


Lösung

Es ist

darstellbar mit vier Quadraten. Die einzigen Quadrate unterhalb von sind . Die trägt nicht zu einer minimalen Darstellung bei. Zweimal die ist schon zu groß, daher gibt es keine Darstellung als Summe von drei Quadraten.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es sei eine konvergente Folge in mit für alle und . Zeige, dass ebenfalls konvergent mit

ist.


Lösung

Da der Limes der Folge nicht ist, gilt für die Bedingung und damit

Es sei vorgegeben. Wegen der Konvergenz von gibt es ein mit

Dann gilt für alle die Abschätzung


Aufgabe (5 Punkte)

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise und , wobei den Mittelpunkt und den Radius und den Mittelpunkt und den Radius besitzt.


Lösung

Die Kreisgleichungen der beiden Kreise sind

und

Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt

Also ist

Dies setzen wir in die erste Kreisgleichung ein und erhalten

Nach der Lösungsformel für eine quadratische Gleichung ist

Somit ist

und

Die Schnittpunkte sind also

und


Aufgabe (4 Punkte)

Von einem Rechteck sind der Umfang und die Fläche bekannt. Bestimme die Längen der Seiten des Rechtecks.


Lösung

Zwei Seiten haben die Länge , zwei andere Seiten die Länge ; gegebenenfalls ist . Es gilt und .

Auflösen der ersten Gleichung nach ergibt . Einsetzen in die zweite Gleichung: . Umstellen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: .

Man beachte, dass der Wert unter der Wurzel nie negativ wird und nur für den Speziallfall eines Quadrats null wird: Alle allgemeinen Rechtecke haben im Verhältnis zum Quadrat bei gleicher Fläche einen größeren Umfang.

Also hat diese Gleichung typischerweise zwei Lösungen für , nämlich . Eine der beiden Lösungen ist dann , die andere ist . Wenn unter der Wurzel der Wert null steht, hat man ein Quadrat und es gibt nur eine Lösung .


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Funktionalgleichung für die komplexe Exponentialfunktion.


Lösung

Das Cauchy-Produkt der beiden Exponentialreihen ist

mit . Diese Reihe ist nach Lemma 15.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) absolut konvergent und der Grenzwert ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der -te Summand der Exponentialreihe von nach der allgemeinen binomischen Formel gleich

so dass die beiden Seiten übereinstimmen.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion

vom Grad maximal lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd streng wachsend oder streng fallend ist.


Lösung

Die Ableitung ist ein Polynom vom Grad . Dieses besitzt nach Korollar 11.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) höchstens Nullstellen. Nach Satz 19.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) besitzt daher höchstens lokale Extrema. Zwischen zwei benachbarten Nullstellen der Ableitung und auch unterhalb der kleinsten und oberhalb der größten Nullstelle ist die Ableitung entweder echt positiv oder echt negativ. Wenn wir stets benachbarte Intervalle zusammenlegen, auf denen die Ableitung jeweils positiv oder jeweils negativ ist, so erhalten wir eine Zerlegung von in Intervalle, auf denen die Ableitung positiv oder negativ mit eventuell endlich vielen Ausnahmepunkten ist, und positiv und negativ wechseln sich ab. In diesen Intervallen ist dann nach Satz 19.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) streng wachsend oder streng fallend.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Regel von l'Hospital unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass die Nennerfunktion überall differenzierbar und die Ableitung keine Nullstelle besitzt, mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.


Lösung

Wir schreiben

und

mit in stetigen Funktionen , die dort den Wert haben. Dann ist (für )

Wegen der Voraussetzung konvergiert die rechte und damit auch die linke Seite für gegen .


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen .


Lösung

Nach Aufgabe 17.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist

Die Ableitung nach ist aufgrund von Satz 20.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)), Korollar 20.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und der Kettenregel gleich


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Lösung

Es ist


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.


Lösung

Es sei

eine stetige Funktion. Über dem kompakten Intervall ist die Funktion nach oben und nach unten beschränkt, es seien und das Minimum bzw. das Maximum der Funktion. Dann ist insbesondere für alle und

Daher ist mit einem und aufgrund des Zwischenwertsatzes gibt es ein mit .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion ()


Lösung

Die Stammfunktion von

berechnet sich unter Verwendung von Lemma 27.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) folgendermaßen.

Eine Stammfunktion von ist . Daher ist

eine Stammfunktion von .


Aufgabe (4 Punkte)

Die Graphen der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion überkreuzen sich mehrfach und begrenzen dabei Gebiete mit einem endlichen Flächeninhalt. Bestimme den Flächeninhalt eines solchen Gebietes.


Lösung

Aufgrund von [[Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))  (3)]] ist und damit

Diese Überkreuzung wiederholt sich mit der Periode . Wegen

ist der Wert an den Überkreuzungsstellen abwechselnd gleich

Von bis verläuft der Sinus oberhalb des Kosinus. Der eingeschlossene Flächeninhalt ist somit


Aufgabe (3 Punkte)

Finde die Lösung des Anfangwertproblems

mit


Lösung

Es liegt eine zeitunabhängige Differentialgleichung vor, wir verwenden Korollar 30.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)). Eine Stammfunktion zu

ist . Die Umkehrfunktion ist . Daher sind die Lösungen der Differentialgleichung von der Form

mit einer Konstanten , und wobei die Lösungen auf definiert sind. Die Anfangsbedingung bedeutet

also ist

Die Lösung des Anfangswertproblems ist also auf .