Lösung
- Zu zwei Vektoren nennt man
-
den Abstand zwischen
und .
- Der Raum heißt wegzusammenhängend, wenn er nicht leer ist und es zu je zwei Punkten eine
stetige Abbildung
-
mit
und
gibt.
- Die Abbildung heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ein gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle mit ist .
- Es seien die Richtungsableitungen in Richtung des -ten Einheitsvektors. Zu heißt die
Matrix
-
die Hesse-Matrix zu im Punkt .
- Man sagt, dass die Abbildungsfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion
-
derart gibt, dass es zu jedem ein gibt mit
-
- Eine Teilmenge heißt
sternförmig
bezüglich eines Punktes , wenn für jeden Punkt die Verbindungsstrecke
, ,
ganz in liegt.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der
Satz über Folgen und abgeschlossene Mengen
in einem
metrischen Raum
.
- Der Satz über das Verhalten von Lösungen einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten bei einem Basiswechsel.
- Der
Satz über die injektive Abbildung.
Lösung
- Eine Teilmenge ist genau dann abgeschlossen, wenn jede Folge , die in konvergiert, bereits in konvergiert.
- Es sei
-
mit
-
eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, es sei eine invertierbare Matrix und es sei
-
Dann ist
-
genau dann eine Lösung von , wenn eine Lösung der Differentialgleichung ist.
- Seien
und
endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei offen und sei
-
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ein Punkt, in dem das totale Differential injektiv sei. Dann gibt es eine
offene Umgebung , , derart, dass injektiv ist.
Beschreibe die Einschränkung der Funktion
-
auf die durch
-
gegebene Gerade
(als Funktion in einer Variablen).
Lösung
Auf der Gerade gilt
-
und daher ist die eingeschränkte Funktion in der einen Variablen durch
Wir betrachten im die
offenen Bälle
und .
Man gebe für jeden Punkt
-
einen expliziten offenen Ball mit Mittelpunkt an, der ganz innerhalb von liegt.
Lösung
Es sei . Dies bedeutet einerseits
-
und andererseits
-
also
-
Sei
-
Wir behaupten
-
sei dazu . Die erste Inklusion ergibt sich aus
-
und die zweite Inklusion ergibt sich aus
-
Beweise den Satz über zusammenhängende Teilmengen von .
Lösung
Es sei zuerst kein Intervall. Wenn leer ist, so ist nach Definition nicht zusammenhängend. Es sei also
,
aber kein Intervall. Dann gibt es nach
Aufgabe 6.23 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
und
mit
-
Dann ist die Menge
-
sowohl
offen
als auch
abgeschlossen
in , da man sowohl als Durchschnitt von mit einem offenen Intervall als auch als Durchschnitt mit einem abgeschlossenen Intervall schreiben kann. Wegen
und
ist sie weder
noch ,
also ist nicht zusammenhängend.
Es sei nun ein nichtleeres Intervall und
sei angenommen, dass es eine Teilmenge
mit
gibt, die in sowohl offen als auch abgeschlossen sei. Es sei
und
, .
Wir betrachten das
(abgeschlossene und beschränkte)
Intervall
(ohne Einschränkung sei
)
und setzen
.
Dies ist eine in offene und abgeschlossene Teilmenge von , die wegen
nicht leer ist und wegen
nicht ganz ist. D.h., es genügt, die Behauptung für ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall
zu zeigen und können davon ausgehen, dass es eine offene und abgeschlossene Teilmenge mit
und
gibt. Wir betrachten die reelle Zahl
,
die wegen
Satz 7.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
existiert. Da ein abgeschlossenes Intervall vorliegt, gehört zu und aufgrund von
Korollar 33.17 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ist
.
Da aber auch offen in ist, gibt es ein
mit
.
Da das Supremum von ist, folgt
. Dies ist ein Widerspruch zu
.
Man gebe ein Beispiel einer
bijektiven Abbildung
-
die
rektifizierbar
ist, deren Länge aber ist.
Lösung
Es sei
-
es wird also mit vertauscht und ansonsten liegt die Identität vor. Da die Länge eines Streckenzugs allenfalls größer wird, wenn man zu einer Verfeinerung des Intervalls übergeht, können wir von vornherein nur Intervallunterteilungen betrachten, bei denen
und
vorkommen. Sei
-
eine Unterteilung des Intervalls. Dann ist die Länge des zugehörigen Streckenzugs gleich
Wegen
-
ist dies durch nach oben beschränkt und damit ist die Kurve rektifizerbar. Wegen
-
ist es auch , also besitzt die Kurve eine Länge die größer als ist.
Es sei
-
eine
Lösung
der zeitunabhängigen
Differentialgleichung
-
zum Vektorfeld
-
Zeige, dass auch
-
zu jedem eine Lösung ist.
Lösung
Dies folgt direkt aus
-
Es sei ein
euklidischer Vektorraum
und
-
ein zeitunabhängiges
Zentralfeld
zur
stetig differenzierbaren Funktion
-
a) Zeige, dass das
Wegintegral
dieses Vektorfeldes längs eines stetig-differenzierbaren Weges, der zum Nullpunkt einen konstanten Abstand besitzt, gleich ist.
b) Zeige, dass genau dann ein Gradientenfeld ist, wenn es eine stetige Funktion
-
mit
-
gibt.
Lösung
a) Der stetig differenzierbare Weg sei durch
-
gegeben mit
-
für alle . Es seien die Komponenten bezüglich einer Orthonormalbasis von . Dann ist
-
konstant und daher gilt für die Ableitung
-
also ist
-
Damit ist auch
-
und daher ist das Wegintegral längs gleich , da es das Integral über diese Funktion ist.
b) Wenn ein Gradientenfeld ist, so gibt es ein Potential
-
also eine differenzierbare Funktion mit
-
Für zwei Punkte , die vom Nullpunkt den gleichen Abstand
-
haben, gibt es nach
Aufgabe 37.19 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
eine stetig differenzierbare Kurve
-
mit und , die zum Nullpunkt konstant den Abstand besitzt. Mit einem solchen Weg erhält man
-
nach Teil a), sodass der Wert von nur von abhängt. Daher ist
-
mit einer gewissen Funktion
-
Diese ist stetig, da für einen Orthonormalvektor die Beziehung
-
gilt und stetig ist. Für den Gradienten von ist
Wenn umgekehrt
-
ist mit stetig, so sei eine Stammfunktion zu . Wir behaupten, dass
-
ein Potential zum Vektorfeld ist.
Wir betrachten die Abbildung
-
a) Zeige, dass die Determinante des
totalen Differentials
von in jedem Punkt gleich ist.
b) Zeige, dass nicht injektiv ist.
c) Bestimme das Bild von .
Lösung
a) Die
Jacobi-Matrix
ist
-
Die Determinante davon ist
-
b) Die beiden Elemente
und
werden beide auf abgebildet, deshalb ist die Abbildung nicht injektiv.
c) Das Bild ist . Da die Exponentialfunktion den Wert nicht annimmt, liegt das Bild in dieser Menge. Es sei mit
gegeben. Da die Exponentialfunktion im Komplexen auf surjektiv abbildet
(wegen
),
gibt es ein mit
-
Mit
-
erhält man ein Urbild von .
Bestimme die
Extrema
der Funktion
-
Lösung
Es ist
-
und
-
Damit beide partiellen Ableitung gleich sind, muss
-
und
-
mit
oder dasselbe mit vertauschten Rollen sein. Die kritischen Punkte sind also
-
Die Hesse-Matrix ist
-
Bei einem Punkt der linken Art ist dies bei beide gerade oder beide ungerade ist dies
-
und es liegt
nach Satz 50.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ein isoliertes lokales Minimum mit dem Wert vor und bei gerade und ungerade oder umgekehrt ist dies
-
und es liegt ein isoliertes lokales Maximum mit dem Wert vor. Diese lokalen Extrema sind auch global, da die Funktionswerte in sind.
Bei einem Punkt der rechten Art ist die Hesse-Matrix gleich
-
vor. In beiden Fällen ist die Hesse-Form indefinit und es liegt kein lokales Extremum vor.
Beweise den Satz über lokale Extrema unter Nebenbedingungen.
Lösung
Wir wenden den
Satz über implizite Abbildungen
auf den Punkt
an. Es gibt also eine offene Menge
, ,
eine offene Menge
und eine stetig differenzierbare Abbildung
-
derart, dass
ist und eine
Bijektion
-
induziert. Dabei ist in jedem Punkt
regulär
und für das
totale Differential
von gilt
-
Da in ein lokales Extremum besitzt, besitzt auch in
(also
)
ein lokales Extremum. Nach
Satz 47.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) (2)
ist daher
-
Somit ist einerseits
-
und andererseits
-
Der Zusatz folgt, da der Durchschnitt der , ist und somit
-
gilt. Nach
Aufgabe 54.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
folgt daraus, dass zu dem von
erzeugten Untervektorraum
gehört.
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
Der Weg ist durch
-
gegeben. Somit ist
Wir analysieren die einzelnen Summanden getrennt. Ganz rechts wird der Integrand für aufgrund der Eigenschaften von und der Stetigkeit des Skalarproduktes beliebig klein, was sich auf das Integral überträgt. Dieser Term spielt also im Limes keine Rolle. Das linke Integral ist
-
sodass alles vom mittleren Summanden abhängt. Der Integrand ist
Wegen
-
fallen diese Terme weg. Übrig bleiben
-
und
-
Alles zusammen ergibt
-