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Kurs:Analysis/Teil II/10/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Punkte 3 3 2 4 8 6 1 8 5 5 7 0 8 60




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Abstandsfunktion auf einem reellen Vektorraum mit einem Skalarprodukt .
  2. Ein wegzusammenhängender metrischer Raum .
  3. Eine gleichmäßig stetige Abbildung

    zwischen den metrischen Räumen und .

  4. Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .

  5. Die gleichmäßige Konvergenz einer Abbildungsfolge

    wobei eine Menge und ein metrischer Raum ist.

  6. Eine sternförmige Teilmenge .


Lösung

  1. Zu zwei Vektoren nennt man

    den Abstand zwischen und .

  2. Der Raum heißt wegzusammenhängend, wenn er nicht leer ist und es zu je zwei Punkten eine stetige Abbildung

    mit und gibt.

  3. Die Abbildung heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ein gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle mit ist .
  4. Es seien die Richtungsableitungen in Richtung des -ten Einheitsvektors. Zu heißt die Matrix

    die Hesse-Matrix zu im Punkt .

  5. Man sagt, dass die Abbildungsfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

    derart gibt, dass es zu jedem ein gibt mit

  6. Eine Teilmenge heißt sternförmig bezüglich eines Punktes , wenn für jeden Punkt die Verbindungsstrecke , , ganz in liegt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Folgen und abgeschlossene Mengen in einem metrischen Raum .
  2. Der Satz über das Verhalten von Lösungen einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten bei einem Basiswechsel.
  3. Der Satz über die injektive Abbildung.


Lösung

  1. Eine Teilmenge ist genau dann abgeschlossen, wenn jede Folge , die in konvergiert, bereits in konvergiert.
  2. Es sei

    mit

    eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, es sei eine invertierbare Matrix und es sei

    Dann ist

    genau dann eine Lösung von , wenn eine Lösung der Differentialgleichung ist.
  3. Seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei offen und sei

    eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ein Punkt, in dem das totale Differential injektiv sei. Dann gibt es eine

    offene Umgebung , , derart, dass injektiv ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Beschreibe die Einschränkung der Funktion

auf die durch

gegebene Gerade (als Funktion in einer Variablen).


Lösung

Auf der Gerade gilt

und daher ist die eingeschränkte Funktion in der einen Variablen durch


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten im die offenen Bälle und . Man gebe für jeden Punkt

einen expliziten offenen Ball mit Mittelpunkt an, der ganz innerhalb von liegt.


Lösung

Es sei . Dies bedeutet einerseits

und andererseits

also

Sei

Wir behaupten

sei dazu . Die erste Inklusion ergibt sich aus

und die zweite Inklusion ergibt sich aus


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Satz über zusammenhängende Teilmengen von .


Lösung

Es sei zuerst kein Intervall. Wenn leer ist, so ist nach Definition nicht zusammenhängend. Es sei also , aber kein Intervall. Dann gibt es nach Aufgabe 6.23 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und mit

Dann ist die Menge

sowohl offen als auch abgeschlossen in , da man sowohl als Durchschnitt von mit einem offenen Intervall als auch als Durchschnitt mit einem abgeschlossenen Intervall schreiben kann. Wegen und ist sie weder noch , also ist nicht zusammenhängend.
Es sei nun ein nichtleeres Intervall und  sei angenommen, dass es eine Teilmenge mit gibt, die in sowohl offen als auch abgeschlossen sei. Es sei und  , . Wir betrachten das (abgeschlossene und beschränkte) Intervall (ohne Einschränkung sei ) und setzen . Dies ist eine in offene und abgeschlossene Teilmenge von , die wegen nicht leer ist und wegen nicht ganz ist. D.h., es genügt, die Behauptung für ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall zu zeigen und können davon ausgehen, dass es eine offene und abgeschlossene Teilmenge mit und gibt. Wir betrachten die reelle Zahl , die wegen Satz 7.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) existiert. Da ein abgeschlossenes Intervall vorliegt, gehört zu und aufgrund von Korollar 33.17 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist . Da aber auch offen in ist, gibt es ein mit . Da das Supremum von ist, folgt . Dies ist ein Widerspruch zu .


Aufgabe (6 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven Abbildung

die rektifizierbar ist, deren Länge aber ist.


Lösung

Es sei

es wird also mit vertauscht und ansonsten liegt die Identität vor. Da die Länge eines Streckenzugs allenfalls größer wird, wenn man zu einer Verfeinerung des Intervalls übergeht, können wir von vornherein nur Intervallunterteilungen betrachten, bei denen und vorkommen. Sei

eine Unterteilung des Intervalls. Dann ist die Länge des zugehörigen Streckenzugs gleich

Wegen

ist dies durch nach oben beschränkt und damit ist die Kurve rektifizerbar. Wegen

ist es auch , also besitzt die Kurve eine Länge die größer als ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Es sei

eine Lösung der zeitunabhängigen Differentialgleichung

zum Vektorfeld

Zeige, dass auch

zu jedem eine Lösung ist.


Lösung

Dies folgt direkt aus


Aufgabe (8 (4+4) Punkte)

Es sei ein euklidischer Vektorraum und

ein zeitunabhängiges Zentralfeld zur stetig differenzierbaren Funktion

a) Zeige, dass das Wegintegral dieses Vektorfeldes längs eines stetig-differenzierbaren Weges, der zum Nullpunkt einen konstanten Abstand besitzt, gleich ist.

b) Zeige, dass genau dann ein Gradientenfeld ist, wenn es eine stetige Funktion

mit

gibt.


Lösung

a) Der stetig differenzierbare Weg sei durch

gegeben mit

für alle . Es seien die Komponenten bezüglich einer Orthonormalbasis von . Dann ist

konstant und daher gilt für die Ableitung

also ist

Damit ist auch

und daher ist das Wegintegral längs gleich , da es das Integral über diese Funktion ist.

b) Wenn ein Gradientenfeld ist, so gibt es ein Potential

also eine differenzierbare Funktion mit

Für zwei Punkte , die vom Nullpunkt den gleichen Abstand

haben, gibt es nach Aufgabe 37.19 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) eine stetig differenzierbare Kurve

mit und , die zum Nullpunkt konstant den Abstand besitzt. Mit einem solchen Weg erhält man

nach Teil a), sodass der Wert von nur von abhängt. Daher ist

mit einer gewissen Funktion

Diese ist stetig, da für einen Orthonormalvektor die Beziehung

gilt und stetig ist. Für den Gradienten von ist

Wenn umgekehrt

ist mit stetig, so sei eine Stammfunktion zu . Wir behaupten, dass

ein Potential zum Vektorfeld ist.


Aufgabe (5 (2+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

a) Zeige, dass die Determinante des totalen Differentials von in jedem Punkt gleich ist.

b) Zeige, dass nicht injektiv ist.

c) Bestimme das Bild von .


Lösung

a) Die Jacobi-Matrix ist

Die Determinante davon ist

b) Die beiden Elemente und werden beide auf abgebildet, deshalb ist die Abbildung nicht injektiv.

c) Das Bild ist . Da die Exponentialfunktion den Wert nicht annimmt, liegt das Bild in dieser Menge. Es sei mit gegeben. Da die Exponentialfunktion im Komplexen auf surjektiv abbildet (wegen ), gibt es ein mit

Mit

erhält man ein Urbild von .


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Extrema der Funktion


Lösung

Es ist

und

Damit beide partiellen Ableitung gleich sind, muss

und

mit oder dasselbe mit vertauschten Rollen sein. Die kritischen Punkte sind also

Die Hesse-Matrix ist

Bei einem Punkt der linken Art ist dies bei beide gerade oder beide ungerade ist dies

und es liegt nach Satz 50.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ein isoliertes lokales Minimum mit dem Wert vor und bei gerade und ungerade oder umgekehrt ist dies

und es liegt ein isoliertes lokales Maximum mit dem Wert vor. Diese lokalen Extrema sind auch global, da die Funktionswerte in sind.

Bei einem Punkt der rechten Art ist die Hesse-Matrix gleich

vor. In beiden Fällen ist die Hesse-Form indefinit und es liegt kein lokales Extremum vor.


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über lokale Extrema unter Nebenbedingungen.


Lösung

Wir wenden den Satz über implizite Abbildungen auf den Punkt an. Es gibt also eine offene Menge , , eine offene Menge und eine stetig differenzierbare Abbildung

derart, dass ist und eine Bijektion

induziert. Dabei ist in jedem Punkt regulär und für das totale Differential von gilt

Da in ein lokales Extremum besitzt, besitzt auch in (also ) ein lokales Extremum. Nach Satz 47.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))  (2) ist daher

Somit ist einerseits

und andererseits

Der Zusatz folgt, da der Durchschnitt der , ist und somit

gilt. Nach Aufgabe 54.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) folgt daraus, dass zu dem von erzeugten Untervektorraum gehört.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (8 Punkte)

Es sei

ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Menge und es sei

Zeige

wobei den einmal gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreisweg um mit Radius bezeichnet.


Lösung

Der Weg ist durch

gegeben. Somit ist

Wir analysieren die einzelnen Summanden getrennt. Ganz rechts wird der Integrand für aufgrund der Eigenschaften von und der Stetigkeit des Skalarproduktes beliebig klein, was sich auf das Integral überträgt. Dieser Term spielt also im Limes keine Rolle. Das linke Integral ist

sodass alles vom mittleren Summanden abhängt. Der Integrand ist

Wegen

fallen diese Terme weg. Übrig bleiben

und

Alles zusammen ergibt