Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Vorlesung 42/kontrolle
- Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten
Falls die Funktionen in der Situation von Definition 41.6 alle konstant sind, so spricht man von einem linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten, welche im Wesentlichen mit Mitteln der linearen Algebra gelöst werden können. Dazu ist es sinnvoll, von vornherein auch komplexe Koeffizienten zuzulassen.
Eine Differentialgleichung der Form
wobei
eine Matrix mit Einträgen ist, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
Es sei ein offenes Intervall. Eine Differentialgleichung der Form
wobei eine Matrix mit Einträgen ist und
eine Abbildung, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
Die Störfunktion muss also nicht konstant sein.
Es sei
eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten, d.h. die sind reelle (oder komplexe) Zahlen. Das gemäß Lemma 41.2 zugehörige Differentialgleichungssystem
mit
und
wird in dieser Situation zum linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten
- Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten - Lösungsverfahren
Es sei eine homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten gegeben, d.h.
mit einer konstanten Matrix
Wir lassen hier also auch den Fall zu, dass die Einträge komplexe Zahlen sind. Beim Auffinden der Lösungen zu einer reellen Matrix ist es nämlich hilfreich, die reellen Zahlen als komplexe Zahlen aufzufassen, um dort Umformungen durchzuführen, die im Reellen nicht möglich sind. Die Lösungen werden aber nach wie vor auf reellen Intervallen definiert sein.
Ausgeschrieben liegt also das Differentialgleichungssystem
vor. Solche Systeme lassen sich mit Hilfe der linearen Algebra auf eine Folge von inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen zurückführen und damit sukzessive lösen. Das folgende einfache Lemma gibt bereits einen deutlichen Hinweis dadrauf, dass lineare Eigenschaften der Matrix eng mit den Lösungen des Differentialgleichungssystems zusammenhängen.
Es sei
mit eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei ein Eigenvektor zu zum Eigenwert .
Dann ist die Abbildung
() eine Lösung dieses Differentialgleichungssystems.
Dies folgt direkt aus
Es sei
mit eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Dann nennt man das charakteristische Polynom
auch das charakteristische Polynom der Differentialgleichung.
Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind nach Satz Anhang A.2 Eigenwerte von und liefern somit nach Lemma 42.4 Lösungen des Differentialgleichungssystems.
Es sei
eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten und es sei
das zugehörige System von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, also mit der Matrix
Das zu dieser Matrix gehörige charakteristische Polynom ist nach Aufgabe 42.10 gleich
D.h. man kann dieses Polynom direkt aus der eingangs gegebenen Differentialgleichung höherer Ordnung ablesen.
Zu einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
ist das charakteristische Polynom gleich
Dessen Nullstellen sind einfach zu bestimmen, es ist
Nun untersuchen wir systematisch, wie man Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten löst.
Es sei
mit eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, es sei eine invertierbare Matrix und es sei
Dann ist
genau dann eine Lösung von , wenn eine Lösung der Differentialgleichung ist.
Es sei vorausgesetzt, dass
ist. Dann gelten für mit die Gleichungen
sodass die Differentialgleichung
löst. Die inverse Transformation zeigt, dass zu einer Lösung von die Abbildung eine Lösung für ist.
Es sei
mit ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
Dann gibt es eine invertierbare Matrix derart, dass das äquivalente Differentialgleichungssystem
obere Dreiecksgestalt besitzt, also von der Form
(mit ) ist.
Dieses System lässt sich sukzessive von unten nach oben mit dem Lösungsverfahren für inhomogene lineare Differentialgleichungen in einer Variablen lösen. Wenn zusätzlich Anfangsbedingungen für gegeben sind, so ist die Lösung eindeutig.
Aufgrund von Satz Anhang A.3 ist die Matrix trigonalisierbar, d.h. es gibt eine invertierbare Matrix derart, dass
obere Dreiecksgestalt
besitzt. Das lineare Differentialgleichungssystem besitzt also die angegebene Gestalt, und es ist wegen
Lemma 42.8
äquivalent zum ursprünglichen System. Das System in oberer Dreiecksgestalt löst man wie in
Lemma 41.8
beschrieben.
Eine Anfangsbedingung für
übersetzt sich direkt in eine Anfangsbedingung für
.
In dem soeben beschriebenen Lösungsverfahren gibt es dann jeweils eine Anfangsbedingung für die inhomogenen Differentialgleichungen, sodass die Lösungen jeweils nach
Satz 29.10
eindeutig sind.
Es sei
mit eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei
eine komplexwertige Lösung dieser Differentialgleichung. Wir schreiben , wobei differenzierbare Kurven im sind, und die Real- bzw. Imaginärteil der Funktion heißen. Es sei
die konjugiert-komplexe Funktion zu . Dann ist wegen
auch eine Lösungsfunktion. Wegen
sind auch Real- und Imaginärteil von Lösungsfunktionen (und zwar reellwertige).
Es sei
mit eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten mit der Anfangsbedingung , .
Dann gibt es genau eine auf definierte Lösung
für dieses Anfangswertproblem.
Aufgrund von Satz 42.9 gibt es eine eindeutige komplexwertige Lösung
für dieses Differentialgleichungssystem. Da eine reellwertige Lösung insbesondere eine komplexwertige Lösung ist, liegt Eindeutigkeit vor. Der Realteil der komplexen Lösung, also
ist ebenfalls eine Lösung dieses Systems. Wegen der Eindeutigkeit muss sein.
Es sei
mit ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
Dann ist die Menge der Lösungen
ein - dimensionaler - Vektorraum.
Dass der Lösungsraum ein -Vektorraum ist, kann man direkt nachrechnen. Aufgrund von Satz 42.9 bzw. Satz 42.11 gibt es zu jedem Vektor genau eine Lösung
mit
Die Zuordnung, die eine Lösung der Differentialgleichung auf den Ortspunkt abbildet, ist linear, sodass eine lineare Isomorphie zwischen dem Lösungsraum und vorliegt.
Es sei
mit ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine Basis des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.
Es sei
mit eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die Matrix sei diagonalisierbar mit den linear unabhängigen Eigenvektoren .
Dann ist der Lösungsraum der Differentialgleichung gleich
wobei der Eigenwert zu ist.
Dies folgt direkt aus Lemma 42.4 und aus Korollar 42.12.
Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem
Für
(also die konstante Nullfunktion in der zweiten Komponente) ergibt sich aus der ersten Zeile (bis auf skalare Vielfache) sofort , was insgesamt der Lösung (der ersten Fundamentallösung)
zum Eigenvektor gemäß Lemma 42.4 entspricht.
Es sei nun . Dann führt die zweite Zeile zu , was wir Satz 42.9 entsprechend zu einer Gesamtlösung fortsetzen. Die erste Zeile lautet somit
Die Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung ist , sodass sich mit der Variation der Konstanten der Ansatz mit
ergibt.
Bei ergibt sich und damit die zweite Fundamentallösung
Bei gehört diese zweite Lösung nicht zu einem Eigenvektor.
Bei ergibt sich und damit die zweite Fundamentallösung
Dies ist wieder eine Lösung, die zu einem Eigenvektor gehört.
Wir betrachten die Bewegung eines Punktes auf der Geraden, wobei die Lage des Punktes proportional zur auf ihn wirkenden Kraft (bzw. Beschleunigung) in Richtung des Nullpunkts sein soll. Wenn der Punkt sich in befindet und sich in die positive Richtung bewegt, so wirkt diese Kraft bremsend, wenn er sich in die negative Richtung bewegt, so wirkt die Kraft beschleunigend. Mit der Proportionalitätskonstante gelangt man zur linearen Differentialgleichung (zweiter Ordnung)
die diesen Bewegungsvorgang beschreibt. Als Anfangsbedingung wählen wir und , zum Zeitpunkt soll die Bewegung also durch den Nullpunkt gehen und dort die Geschwindigkeit besitzen. Man kann sofort die Lösung
angeben. Wir werden diese Lösung mit den Lösungsmethoden für lineare Differentialgleichungen herleiten. Die Differentialgleichung führt zum linearen Differentialgleichungssystem
Das charakteristische Polynom ist
und Eigenvektoren sind (zum Eigenwert ) und (zum Eigenwert ). Die allgemeine komplexe Lösung ist also nach Korollar 42.14 gleich
wobei letztlich nur der Realteil der ersten Zeile interessiert. Die Anfangsbedingung führt zu
Also ist und . Daher ist die Lösung
nach Satz 15.10.
Mit den linearen Methoden kann man auch die folgende Aussage beweisen.
Es sei
eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten und das charakteristische Polynom zerfalle in Linearfaktoren,
wobei die verschieden seien.
Dann bilden die Funktionen
ein Fundamentalsystem für diese Differentialgleichung.