Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 86/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Berechne die äußere Ableitung der Differentialform
auf dem .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei
die durch
gegeben ist.
a) Berechne die äußere Ableitung von .
b) Berechne die äußere Ableitung von .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zeige, dass die - Differentialform auf dem geschlossen und auch exakt ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine differenzierbare Differentialform auf einer Mannigfaltigkeit und eine auf der Mannigfaltigkeit definierte differenzierbare Abbildung.
- Es sei exakt. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform exakt ist.
- Es sei geschlossen. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform geschlossen ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine offene Teilmenge und eine stetig differenzierbare - Form auf mit dem gemäß Lemma 84.3 zugehörigen Vektorfeld auf . Zeige, dass genau dann geschlossen ist, wenn die Integrabilitätsbedingung erfüllt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine offene Teilmenge und eine stetig differenzierbare - Form auf mit dem gemäß Lemma 84.3 zugehörigen Vektorfeld auf . Zeige, dass genau dann exakt ist, wenn ein Gradientenfeld ist.
Für die folgenden Aufgaben vergleiche
Beispiel 58.7
und
Beispiel 58.8.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zeige, dass jede stetige - Differentialform auf einer offenen Menge exakt ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine differenzierbare - Form auf . Zeige, dass genau dann exakt ist, wenn für jeden stetig differenzierbaren Weg
das Wegintegral nur von und abhängt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und
eine differenzierbare Abbildung. Es sei eine differenzierbare - Form auf , wobei die Dimension von sei. Zeige, dass eine geschlossene Differentialform auf ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Welche der folgenden Funktionen
lassen sich differenzierbar in den Randpunkt fortsetzen.
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Halbraum. Es sei ein Punkt und , wobei eine offene Teilmenge des sei. Zeige, dass kein Randpunkt von ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Definiere die Begriffe Diffeomorphismus, totales Differential und höhere Ableitungen für Halbräume (bzw. offene Teilmengen davon).
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei offen und es seien Differentialformen auf , wobei eine - Differentialform sei. Finde und beweise eine Formel für
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Halbebene und der Quadrant homöomorph sind.
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