Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 86/kontrolle

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die äußere Ableitung der - Differentialform

auf dem .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die äußere Ableitung der - Differentialform

auf dem .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne die äußere Ableitung der - Differentialform

auf .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne die äußere Ableitung der Differentialform

auf dem .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

die durch

gegeben ist.

a) Berechne die äußere Ableitung von .

b) Berechne die äußere Ableitung von .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die äußere Ableitung der - Differentialform

auf dem .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass die - Differentialform auf dem geschlossen und auch exakt ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine differenzierbare Differentialform auf einer Mannigfaltigkeit und eine auf der Mannigfaltigkeit definierte differenzierbare Abbildung.

  1. Es sei exakt. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform exakt ist.
  2. Es sei geschlossen. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform geschlossen ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine offene Teilmenge und eine stetig differenzierbare - Form auf mit dem gemäß Lemma 84.3 zugehörigen Vektorfeld auf . Zeige, dass genau dann geschlossen ist, wenn die Integrabilitätsbedingung erfüllt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine offene Teilmenge und eine stetig differenzierbare - Form auf mit dem gemäß Lemma 84.3 zugehörigen Vektorfeld auf . Zeige, dass genau dann exakt ist, wenn ein Gradientenfeld ist.


Für die folgenden Aufgaben vergleiche Beispiel 58.7 und Beispiel 58.8.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die - Differentialform

auf dem nicht geschlossen ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die - Differentialform

auf dem geschlossen, aber nicht exakt ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass jede stetige - Differentialform auf einer offenen Menge exakt ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine differenzierbare - Form auf . Zeige, dass genau dann exakt ist, wenn für jeden stetig differenzierbaren Weg

das Wegintegral nur von und abhängt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

eine differenzierbare Abbildung. Es sei eine differenzierbare - Form auf , wobei die Dimension von sei. Zeige, dass eine geschlossene Differentialform auf ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Welche der folgenden Funktionen

lassen sich differenzierbar in den Randpunkt fortsetzen.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Halbraum. Es sei ein Punkt und , wobei eine offene Teilmenge des sei. Zeige, dass kein Randpunkt von ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Definiere die Begriffe Diffeomorphismus, totales Differential und höhere Ableitungen für Halbräume (bzw. offene Teilmengen davon).




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die äußere Ableitung der - Differentialform

auf dem .


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die äußere Ableitung der - Differentialform

auf dem .


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei offen und es seien Differentialformen auf , wobei eine - Differentialform sei. Finde und beweise eine Formel für


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Differentialform

auf dem geschlossen und auch exakt ist.


Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Halbebene und der Quadrant homöomorph sind.



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