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Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 40

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die[1] Lösung des Anfangswertproblems


Aufgabe

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems


Aufgabe

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems zum Vektorfeld

und zur Anfangsbedingung

(dabei seien fixierte reelle Zahlen).


Aufgabe

Wie löst man eine gewöhnliche Differentialgleichung zu einem stetigen ortsunabhängigen Vektorfeld


Aufgabe

Es sei

ein Vektorfeld. Zeige, dass eine konstante Abbildung

genau dann eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung ist, wenn für alle ist.


Die beiden folgenden Aufgaben beziehen sich auf Vektorfelder mit konstanter Richtung, siehe den Anhang.

Aufgabe

Löse das Differentialgleichungssystem

mit der Anfangsbedingung

zum Zeitpunkt .


Aufgabe

Löse das Differentialgleichungssystem

mit der Anfangsbedingung

zum Zeitpunkt .


Aufgabe *

Es sei

eine Lösung der zeitunabhängigen Differentialgleichung

zum Vektorfeld

Zeige, dass auch

zu jedem eine Lösung ist.


Aufgabe

Es sei ein Untervektorraum in einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum . Es sei

ein Vektorfeld auf mit der Eigenschaft, dass für alle gilt. Zeige, dass jede Lösung zur Differentialgleichung

ganz in einer Teilmenge der Form (einem affinen Unterraum von ) verläuft.


Aufgabe *

Es sei ein euklidischer Vektorraum, ein fixierter Vektor und

ein stetiges Vektorfeld mit der Eigenschaft

für alle . Es sei

eine Lösung zur Differentialgleichung

Zeige, dass auch

eine Lösung dieser Differentialgleichung ist.


Aufgabe

Es sei ein entkoppeltes Differentialgleichungssystem zum Vektorfeld

gegeben. Erläutere, wie sich die Lösungen der einzelnen Differentialgleichungen zur Gesamtlösung verhalten, wie dabei die Definitionsintervalle der Lösungen zusammenhängen und was man über die Eindeutigkeit von Lösungen aussagen kann.


Aufgabe

Finde alle Lösungen des Differentialgleichungssystems zum Vektorfeld


Aufgabe *

a) Zeige, dass die archimedischen Spiralen

(zu fixierten ) Lösungskurven für die Differentialgleichung (bei )

sind.

b) Man gebe eine Lösung für das Anfangswertproblem

zu dieser Differentialgleichung an.


Aufgabe

Finde die Lösung des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

mit .


Aufgabe *

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

mit .


Aufgabe *

Es sei ein Vektorfeld der Form

mit einer stetigen Funktion

gegeben. Die Richtungsvektoren stehen also stets senkrecht zu den Ortsvektoren. Es sei und es sei

eine Lösung zur eindimensionalen Differentialgleichung

Zeige, dass

eine Lösung der Differentialgleichung

ist.


Aufgabe *

Ein Sprinter übt bei einem Hundert-Meter-Lauf eine konstante Kraft

auf, die zu Beginn zu einer Beschleunigung führt, die allerdings bei zunehmender Geschwindigkeit gegen den Luftwiderstand aufgebracht werden muss. Der Bewegungsvorgang wird beschrieben durch die Differentialgleichung zweiter Ordnung

mit und .

  1. Erstelle eine Differentialgleichung erster Ordnung für den Geschwindigkeitsverlauf und löse das Anfangswertproblem für mit .
  2. Löse das Anfangswertproblem für mit .
  3. Bestimme für die (realistischen) Werte (in ) und . Wo befindet sich der Sprinter nach einer Sekunde, wo nach zehn Sekunden, welche Geschwindigkeit hat er zu diesen Zeitpunkten?


Aufgabe *

Professor Knopfloch würde gerne einen Weltrekord über Meter aufstellen. Seine Grundbeschleunigung ist und es ist , vergleiche Aufgabe 40.17.

  1. Wie lange bracht Professor Knopfloch für Meter?
  2. Mit der herkömmlichen Methode konnte Professor Knopfloch den Weltrekord nicht brechen. Deshalb versuch er es erneut, diesmal im Vakuum, um den Luftwiderstand zu umgehen und seine Kraft vollständig in Beschleunigung umzusetzen. Wie lange braucht Professor Knopfloch jetzt für Meter? Bricht er den Weltrekord?


In der Vorlesung wurde nur besprochen, wie eine eindimensionale Differentialgleichung höherer Ordnung zu einem Differentialgleichungssystem erster Ordnung führt. Diese Übersetzung gibt es auch höherdimensional.

Aufgabe

Es sei ein Differentialgleichungssystem

der Ordnung in Variablen gegeben. Zeige, dass man dieses System analog zur Vorgehensweise in Lemma 40.14 in ein äquivalentes System erster Ordnung in Variablen übersetzen kann.


Aufgabe

Wir betrachten ein zweidimensionales Kraftfeld, das in jedem Punkt in Richtung des Ursprungs wirkt und damit eine Beschleunigung erzeugt, die proportional zur Entfernung sein soll (also ein harmonisches Pendel in der Ebene). Die zugehörige zweidimensionale Differentialgleichung zweiter Ordnung ist

wobei eine positive Konstante ist, die von der Masse des Zentrums abhängt. Mit den zusätzlichen Geschwindigkeitsvariablen und führt dies auf das System erster Ordnung in vier Variablen,

Dabei sind die beiden ersten Gleichungen unabhängig von den beiden letzten Gleichungen, und zwar handelt es sich jeweils um das in Aufgabe 28.20 besprochene System. Somit sind die Lösungen gleich

und

Man überlege sich, wie die Anfangsbedingungen mit den Lösungsparametern zusammenhängen und welche Bahnen die Lösungskurven beschreiben. Wann ist es ein Kreis, eine Ellipse, ein Strahl, eine Spirale?


Aufgabe

Wir betrachten ein zweidimensionales Kraftfeld, d.h. im Ursprungspunkt ist das Gravitationszentrum (ein Stern), das eine auf dieses Zentrum gerichtete Kraftwirkung und damit eine Beschleunigung erzeugt. Nach dem Gravitationsgesetz ist die Kraft proportional zum Produkt der beiden Massen geteilt durch das Quadrat des Abstandes. Das Gravitationszentrum wird als unbeweglich angenommen, und es wird die Wirkungsweise auf einen (verglichen mit der Masse des Zentrums) kleinen Probekörper untersucht. Da in die Beschleunigung des Probekörpers dessen Masse auch proportional eingeht, ist diese für den Bewegungsprozess irrelevant. Die zugehörige zweidimensionale Differentialgleichung zweiter Ordnung ist

wobei eine positive Konstante ist, die von der Masse des Zentrums und der Gravitationskonstanten abhängt. Mit den zusätzlichen Geschwindigkeitsvariablen und führt dies auf das System erster Ordnung in vier Variablen,

  1. Wir betrachten kreisförmige Lösungen der Form

    mit . Welche Beziehung muss zwischen bestehen (drittes Keplersches Gesetz)?

  2. Wir betrachten elliptische Lösungen der Form

    mit . Welche Beziehung muss zwischen bestehen?

  3. Finde Lösungen, die auf einem Strahl zum Zentrum verlaufen.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems


Aufgabe (4 Punkte)

Finde die Lösung des Anfangswertproblems zum Vektorfeld

und zur Anfangsbedingung .


Aufgabe (3 Punkte)

Löse das Differentialgleichungssystem

mit der Anfangsbedingung

zum Zeitpunkt .


Aufgabe (4 Punkte)

Finde die Lösung des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

mit .


Aufgabe (4 Punkte)

Finde die Lösung des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

mit .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen und

ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Es sei

eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung . Es gebe zwei Zeitpunkte in mit . Zeige, dass es dann eine auf ganz definierte Lösung dieser Differentialgleichung gibt.




Die Aufgabe zum Hochladen

Für die folgende Aufgabe gibt es keinen festen Abgabetermin. Hochladen meint über Commons in einem dort erlaubten Format.

Aufgabe (10 Punkte)

Erstelle eine Animation, die den Weltrekordlauf von Usain Bolt über Meter vom 16. August 2009 mit geeigneten Parametern und aus Aufgabe 40.17 modelliert.




Fußnoten
  1. Mit dieser Formulierung wird hier und im Folgenden implizit benutzt, dass die Lösung eindeutig ist. In den meisten der hier gestellten Aufgaben ergibt sich die Eindeutigkeit direkt, sie ist aber nicht Teil der Aufgabenstellung.


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