Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 25

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Kohomologie auf projektiven Schemata



Satz  

Es sei ein kommutativer Ring und der Polynomring über in Variablen und

der zugehörige projektive Raum.

Dann ist die Kohomologie der getwisteten Strukturgarben gleich

Beweis  

Dies folgt aus Satz 24.11.


Speziell ist

und

für .



Satz  

Es sei der projektive Raum über einem noetherschen Ring und sei eine kohärente Garbe auf .

Dann sind die endlich erzeugte -Moduln.

Beweis  

Für die getwisteten Strukturgarben ergibt sich die Aussage aus Satz 25.1. Damit gilt sie auch für endliche direkte Summen von solchen Garben. Den allgemeinen Fall beweisen wir durch absteigende Induktion über den kohomologischen Index . Wenn dieser oberhalb der Dimension ist, so gibt es nach Satz 23.2 keine Kohomologie, was den Induktionsanfang sichert. Es sei also die Aussage für ein und jede kohärente Garbe bewiesen. Es sei eine kohärente Garbe. Dann gibt es nach Satz 14.13 eine endliche direkte Summe und einen surjektiven Modulhomomorphismus

Es sei der Kern dieser Abbildung, der ebenfalls kohärent ist. Die zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz ist

Dazu gehört die kurze exakte Sequenz

Nach Induktionsvoraussetzung bzw. der Vorüberlegung sind und endlich erzeugt und daher sind nach Fakt ***** auch und endlich erzeugt. Nach Lemma 20.8 (Kommutative Algebra) ist auch endlich erzeugt.




Satz  

Es sei ein projektives Schema über einem noetherschen Ring und sei eine kohärente Garbe auf .

Dann sind die endlich erzeugte -Moduln.

Beweis  

Dies folgt aus Satz 25.2.


Man beachte, dass es um -Moduln geht, nicht um Moduln über dem Koordinatening von . Im wichtigsten Fall, wenn ein Körper ist, handelt es sich also bei den Kohomologiegruppen um endlichdimensionale Vektorräume über . Deren Dimensionen sind natürliche Zahlen, die den kohärente Garben auf zugeordnet werden und für diese in gewisser Weise charakteristisch sind. Wenn man die Strukturgarbe oder die Tangentialgarbe nimmt auf nimmt, so erhält man Zahlen (Invarianten), die für selbst charakteristisch sind. Beispielsweise ist für eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper die Vektorraumdimension von das sogenannte Geschlecht der Kurve. Dies ist die wichtigste Invariante, wobei im komplexen Fall ein unmittelbarer Zusammenhang mit der topologischen Gestalt der Kurve (als komplex eindimensionale, reell zweidimensionale Mannigfaltigkeit) besteht.


Definition  

Es sei ein projektives Schema über einem Körper . Zu einer kohärenten Garbe nennt man

die Euler-Charakteristik von .

Wegen Satz 25.3 ist dieser Ausdruck eine wohldefinierte ganze Zahl. Da oberhalb der Dimension die Kohomologie gleich st, könnte man die alternierende Summe auch gegen unendlich laufen lassen.



Lemma  

Es sei ein projektives Schema über einem Körper .

Dann ist die Euler-Charakteristik von kohärenten Garben auf additiv für kurze exakte Sequenzen.

D.h. für eine kurze exakte Sequenz von kohärenten Garben

ist

Beweis  

Dies ergibt sich aus der zugehörigen langen exakten Kohomologiesequenz.


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