Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 27

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Glatte projektive Kurve und ihr Geschlecht
Torus illustration.png
Double torus illustration.png
Sphere with three handles.png

Definition  

Zu einer glatten projektiven Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper nennt man

das Geschlecht der Kurve.

Das Geschlecht einer Kurve ist eine natürliche Zahl.

Bemerkung  

Wählt man die komplexen Zahlen als Grundkörper, so kann man eine glatte projektive Kurve auch als eine reell zweidimensionale kompakte orientierte Mannigfaltigkeit auffassen. Diese lassen sich topologisch einfach klassifizieren, und zwar ist eine solche Mannigfaltigkeit homöomorph zu einer Kugeloberfläche, an die Henkel angeklebt werden. Diese Zahl nennt man das Geschlecht der reellen Fläche und damit auch der Kurve. Die komplex-projektive Gerade ist eine zweidimensionale Sphäre und hat keinen Henkel, ihr Geschlecht ist also . Eine Fläche vom Geschlecht ist ein Torus (ein Autoreifen) der homöomorph zu ist. Projektive Kurven, die als topologische Mannigfaltigkeit das Geschlecht eins besitzen, nennt man elliptische Kurven.

Es gibt auch algebraische Definitionen für das Geschlecht, so dass diese Invariante für glatte projektive Kurven über jedem algebraisch abgeschlossenen Körper definiert ist. Und zwar ist das Geschlecht gleich der -Dimension der ersten Kohomologiegruppe der Strukturgarbe und auch gleich der -Dimension der globalen Differentialformen auf der Kurve. Zu jedem gibt es projektive Kurven mit Geschlecht . Insbesondere kann man jede orientierbare reell zweidimensionale kompakte Fläche als komplex-projektive Kurve realisieren. Man spricht dann auch von Riemannschen Flächen.

Für eine glatte ebene Kurve vom Grad gibt es eine einfache Formel für das Geschlecht: es ist nämlich

Damit haben glatte projektive Kurven vom Grad eins und zwei (Geraden und Quadriken) das Geschlecht , es handelt sich (vom Isomorphietyp her) in der Tat um projektive Geraden. Für erhält man das Geschlecht , also elliptische Kurven. Für erhält man schon . Dies zeigt auch, dass sich nicht jedes Geschlecht als Geschlecht einer ebenen glatten Kurve realisieren lässt. Es ist beispielsweise gar nicht so einfach, explizit Gleichungen für eine Kurve vom Geschlecht anzugeben.




Satz  

Es sei eine ebene projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper vom Grad .

Dann ist

Beweis  

Wir betrachten die kurze exakte Sequenz

von kohärenten Garben auf der projektiven Ebene. Die Strukturgarbe der Kurve wird dabei als Garbe auf der projektiven Ebene aufgefasst, ihr Träger ist . Wir betrachten den folgenden Ausschnitt der langen exakten Kohomologiesequenz

Der Raum besitzt eine Basis, die aus sämtlichen Monomen besteht, deren Exponenten alle negativ sind und die erfüllen. Somit geht es um die Anzahl der Tupel vom Grad . Nach Aufgabe 11.4 ist diese Anzahl gleich . Wegen

ist dies die Behauptung.


Im glatten Fall liefert der vorstehende Satz eine Formel zur Berechnung des Geschlechts der Kurve. Es ist

Für liegt eine projektive Gerade mit Geschlecht vor, für eine projektive Quadrik, die ebenfalls Geschlecht besitzt und in der Tat isomorph zur projektiven Gerade ist. Für ist das Geschlecht , man spricht von elliptischen Kurven



Divisoren auf Kurven

Auf einer glatten projektiven Kurve ist wie auf jedem eindimensionalen normalen Schema ein Weildivisor einfach eine formale Summe über die Punkte , die ja in diesem Fall die irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen der Kodimension sind. Dabei ist und diese Zahlen sind bis auf endlich viele Ausnahmen gleich . Nach Fakt ***** stimmt die Divisorenklassengruppe mit der Picardgruppe überein.


Definition  

Es sei eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper . Zu einem Weildivisor auf ist der Grad als

definiert.



Satz  

Es sei eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper .

Dann ist der Grad eines Hauptdivisors gleich .

Beweis  


Daher faktorisiert der Gruppenhomomorphismus

durch die Divisorenklassengruppe von . Daher ist die folgende Definition sinnvoll.


Definition  

Es sei eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper . Zu einer invertierbaren Garbe auf definiert man den Grad durch den Grad eines zugehörigen Weildivisors.


Definition  

Es sei eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper . Zu einer lokal freien Garbe auf vom Rang definiert man den Grad durch den Grad der Determinantengarbe .


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