Lösung
- Ein Monoid ist eine Menge
zusammen mit einer
Verknüpfung
-
und einem ausgezeichneten Element
derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.
- Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt
-
![{\displaystyle {}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac491f4bde36e4a870e6522cb82d8a5b6dcbfda2)
für alle
.
ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt
-
![{\displaystyle {}x\circ e=x=e\circ x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e4c72bf590e3e25eb564cc29e812d2e276776da)
für alle
.
- Man nennt die kleinste positive Zahl
mit
die Ordnung von
. Wenn alle positiven Potenzen von
vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man
.
- Das Element
ist ein Nichtnullteiler, wenn für jedes
aus
folgt, dass
ist.
- Ein Körper
ist ein
kommutativer Ring,
wenn
ist und wenn jedes von
verschiedene Element in
ein multiplikatives Inverses besitzt.
- Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge
, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
- Für alle
ist auch
.
- Für alle
und
ist auch
.
- Zu einer natürlichen Zahl
bezeichnet
die Anzahl der Elemente von
.
- Es sei
eine
Körpererweiterung,
über der
in Linearfaktoren zerfällt. Es seien
die Nullstellen von
. Dann nennt man
-
![{\displaystyle {}K[a_{1},\ldots ,a_{n}]\subseteq L\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9d0607683664fd9eeb7eed12f6afc40c2973194)
einen Zerfällungskörper von
.
- Eine Zahl
heißt konstruierbar, wenn sie aus der Startmenge
-
mit Zirkel und Lineal konstruierbar
ist.
Lösung
- Die Binomialkoeffizienten erfüllen die rekursive Beziehung
-
![{\displaystyle {}{\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5cca9a416161f7e561e1eff9ce161c3aee1355)
- Jedes nichtkonstante Polynom
über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.
- Jedes Element
,
,
besitzt eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung
-
![{\displaystyle {}f=up_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{n}^{r_{n}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f7ceb9dbf07b35e8c7a137fdcfff65401b6204)
mit einer Einheit
und ganzzahligen Exponenten
.
- Es ist nicht möglich, einen beliebig vorgegebenen Winkel mittels
Zirkel und Lineal
in drei gleich große Teile zu unterteilen.
Lösung
Wir müssen nur für die Primzahlen
bestimmen, mit welcher Potenz sie in
vorkommen. Wegen (2) kommt
mit der dritten Potenz vor, aber nicht mit der vierten. Wegen (3) ist
kein Teiler von
, da ja
ein Teiler ist, und wegen (4) ist
ein Teiler von
. Wegen (4) kommt
mit der zweiten Potenz vor, aber nicht mit der dritten. Daher ist
-
![{\displaystyle {}n=-2^{3}\cdot 3\cdot 5^{2}=-600\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/664c345db183c18fb6550ec46c48b0dc1c586912)
Es sei
eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl
eine
Primzahl?
Lösung
Lösung
Es ist
-
![{\displaystyle {}X^{3}+4X^{2}+3X+4={\left(3X^{2}+2X+1\right)}2X+X+4\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25d35de7772d7946ceaed3fadc50072765f2f92b)
Bestimme die
Einheiten
im Ring
, wobei
ein
Körper
ist.
Lösung
Lösung
Aufgabe (3 (1.5+1.5) Punkte)
(a) Bestimme für die Zahlen
,
und
modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
-
die Restetupel
und
repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung
der simultanen Kongruenzen
-
Lösung
a)
: Wir betrachten die Vielfachen von
, diese haben modulo
und modulo
den Rest
. Unter diesen Vielfachen muss also die Lösung liegen.
hat modulo
den Rest
, somit hat
modulo
den Rest
. Also repräsentiert
das Restetupel
.
: Hier betrachtet man die Vielfachen von
, und
hat modulo
den Rest
und
hat modulo
den Rest
, also repräsentiert
das Restetupel
.
: Hier betrachtet man die Vielfachen von
, und
hat modulo
den Rest
und
hat modulo
den Rest
, also repräsentiert
das Restetupel
.
b) Man schreibt
(in
)
-
![{\displaystyle {}(2,5,6)=2(1,0,0)+5(0,1,0)+6(0,0,1)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85cb955d2a053b868cceb4beba326aa41b54ee79)
Die Lösung ist dann
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}2\cdot 286+5\cdot 78+6\cdot 66&=572+390+396\\&=1358.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04fa69cf48392a2e2d8481ff4134d6f1dd916c2c)
Die minimale Lösung ist dann
.
Lösung
Es sei
ein idempotentes Element. Dies bedeutet
-
![{\displaystyle {}e^{2}=e\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/914b2f20a42ec93b4c06ea17471fe5b85906e8f2)
und somit ist
ein Vielfaches von
, sagen wir
-
![{\displaystyle {}e(e-1)=ap^{n}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfb83fda5a96f1fe576d042d25b5ef0ef03649ef)
Nehmen wir
an. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung in
ist
-
![{\displaystyle {}e=bp^{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f3d09dee4a767631b00d39f1ff166ffa34c6c17)
und
-
![{\displaystyle {}e-1=cp^{j}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5e50591e7c97b6982332d1c43260f340407eacb)
mit
-
![{\displaystyle {}i+j=n\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88c5238d9cad8dc6c39bd941a0976a7b64299547)
Wären
, so wäre sowohl
als auch
ein Vielfaches von
, und das würde dann auch für
gelten, was nicht der Fall ist. Also ist
oder
,
was
oder
im Restklassenring
bedeutet.
Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)
a) Zeige, dass durch
-
![{\displaystyle {}K=\mathbb {Z} /(7)[T]/(T^{3}-2)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/996844ae19a194bf2fda3a7b588aeb38217ac9a5)
ein Körper mit
Elementen gegeben ist.
b) Berechne in
das Produkt
.
c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu
.
Lösung
a) Es ist
-
Also besitzt das Polynom
keine Nullstelle in
und ist somit irreduzibel, also ist
ein Körper. Die Restklassen von
bilden eine
-Basis, so dass dieser Körper
Elemente besitzt.
b) Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}(T^{2}+2T+4)(2T^{2}+5)&=2T^{4}+4T^{3}+6T^{2}+3T+6\\&=4T+1+6T^{2}+3T+6\\&=6T^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a116e01fdc4aadb16ec9c6472db7fde4f2ea7a78)
c) Polynomdivision liefert
-
In
gilt somit
-
![{\displaystyle {}(T+1)(T^{2}+6T+1)=3\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f2c65c5e3a9aba5720f47b6c9a598617eba0863)
Das Inverse von
![{\displaystyle {}3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e7a2174affb51082c20e490892fef6992740387)
in
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997824601236924059b16a8d1081b8db4e217d49)
ist
![{\displaystyle {}5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57a3ec40952d7486bcbd9c0534e6bf963ed4eab5)
, also ist
-
das Inverse von
![{\displaystyle {}T+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c7d7a2ee75437bb71fc7c66828961f3e52273c0)
.
Lösung
Zum Beweis der Inklusion
sei
. Da das Produkt von Idealen aus allen Summen von Produkten besteht, bedeutet dies, dass
-
![{\displaystyle {}f=f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{k}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f921117f80c70830d8d1ce7181acfa9d9e36bca)
wobei
-
![{\displaystyle {}f_{\ell }=c_{\ell 1}\cdot c_{\ell 2}\cdots c_{\ell n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/945cd5660345bd70b299d69bc4bace8b31912c1b)
mit
ist. Dies bedeutet wiederum, dass
-
![{\displaystyle {}c_{\ell r}=a_{\ell r}+b_{\ell r}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0d6e95403155bf5e8dcc343e02fabf0a64b4e1b)
mit
und
ist. Somit ist
-
![{\displaystyle {}f_{\ell }={\left(a_{\ell 1}+b_{\ell 1}\right)}{\left(a_{\ell 2}+b_{\ell 2}\right)}\cdots {\left(a_{\ell n}+b_{\ell n}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/679969acaa23ab972dc21ed11dc103342f04ebee)
Wenn man ein solches Produkt distributiv ausrechnet, so erhält man eine Summe von Produkten mit
Faktoren, wobei
Faktoren zu
und
Faktoren zu
gehören. Damit gehören diese Summanden zur rechten Seite und somit auch die
und auch
.
Zum Beweis der Inklusion
genügt es, die Inklusion
für jedes
zu zeigen. Wegen
ist aber sofort
-
![{\displaystyle {}I^{s}J^{n-s}\subseteq (I+J)^{s}\cdot (I+J)^{n-s}=(I+J)^{n}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bb7bae055e14da15145e5a2341c84e3a1299ae4)
Aufgabe (7 (1+2+4) Punkte)
Lösung
a) Das Polynom
ist für rationale
(auch reelle)
Zahlen stets positiv und besitzt daher keine Nullstelle. Nach
Lemma 6.9
ist es somit irreduzibel.
b) Über
hat man die Faktorisierung
-
![{\displaystyle {}X^{4}+1={\left(X^{2}+{\sqrt {2}}X+1\right)}{\left(X^{2}-{\sqrt {2}}X+1\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c00fe22f5130426dd54b0de38efe1b39fdf0815)
Die beiden Faktoren haben keine reelle Nullstelle, da
stets positiv ist. Eine Zerlegung über
würde zu der gegebenen Zerlegung über
führen, wegen
gehören aber
nicht zu
. Das Polynom ist also irreduzibel in
.
c) Wir machen den Ansatz
-
![{\displaystyle {}{\frac {1}{{\left(X^{4}+1\right)}{\left(X^{2}+1\right)}}}={\frac {1}{X^{6}+X^{4}+X^{2}+1}}={\frac {aX^{3}+bX^{2}+cX+d}{X^{4}+1}}+{\frac {eX+f}{X^{2}+1}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03602e45439e54e98141a4728118748bda480445)
Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner führt dies auf
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}1&=(aX^{3}+bX^{2}+cX+d)(X^{2}+1)+(eX+f)(X^{4}+1)\\&=(a+e)X^{5}+(b+f)X^{4}+(a+c)X^{3}+(b+d)X^{2}+(c+e)X+d+f.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f729eb88bbe7e7b08b3aad0cfe1839afde83bc1)
Also ist
-
![{\displaystyle {}a+e=b+f=a+c=b+d=c+e=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a19d77cb0482be8781e579880d5a7b3d2c30334)
und
-
![{\displaystyle {}d+f=1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8addf0b91270105378d1e421086ec1e896f108d)
Aus
-
folgt durch Addition der ersten beiden Gleichungen
und damit
-
![{\displaystyle {}a=c=e=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27191166ec60f40c7a7e87658bec2f0feb3e5e56)
Aus
-
![{\displaystyle {}b+f=b+d=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e90c1860e242e593cd183281094bdbeb50ab0)
folgt
-
![{\displaystyle {}d-f=0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64bf043cb84fb433932798b9bd67717997c0d906)
also
-
![{\displaystyle {}d=f\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250a3e781ec137791f28c5fea6426ebf0b196b6e)
und aus
-
![{\displaystyle {}d+f=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19791794559d9d2ba74c140476ca77e109afb91f)
ergibt sich
-
![{\displaystyle {}d=f={\frac {1}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60cd287f5b04b4ea1511d978748bf3039711a6f6)
und somit
-
![{\displaystyle {}b=-{\frac {1}{2}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd6a5ee2bac1ceaf3f7c5b3ee79052cd1f6dc79)
Die Partialbruchzerlegung ist also
-
![{\displaystyle {}{\frac {1}{{\left(X^{4}+1\right)}{\left(X^{2}+1\right)}}}={\frac {-{\frac {1}{2}}X^{2}+{\frac {1}{2}}}{X^{4}+1}}+{\frac {\frac {1}{2}}{X^{2}+1}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397776a824a8589893d7539aa481d2c9516bf78d)
Lösung
Wir setzen
und
.
Es sei
eine
-Basis
von
und
eine
-Basis von
.
Wir behaupten, dass die Produkte
-
eine
![{\displaystyle {}K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/812534e3ff684d765e18cc3438e50dc85b2a8796)
-Basis von
bilden. Wir zeigen zuerst, dass diese Produkte den Vektorraum
über
aufspannen. Es sei dazu
. Wir schreiben
-
Wir können jedes
![{\displaystyle {}b_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0de20a91e1ae4a31b1035b374735b5fbee5764a)
als
mit Koeffizienten
ausdrücken. Das ergibt
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}z&=b_{1}y_{1}+\cdots +b_{m}y_{m}\\&=(a_{11}x_{1}+\cdots +a_{n1}x_{n})y_{1}+\cdots +(a_{1m}x_{1}+\cdots +a_{nm}x_{n})y_{m}\\&=\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m}a_{ij}x_{i}y_{j}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fa3277420e511b5ec19b6d7201ed54c04d8686e)
Daher ist
eine
-Linearkombination der Produkte
.
Um zu zeigen, dass diese Produkte
linear unabhängig sind, sei
-
angenommen mit
. Wir schreiben dies als
. Da die
linear unabhängig über
sind und die Koeffizienten der
zu
gehören folgt, dass
ist für jedes
. Da die
linear unabhängig über
sind und
ist folgt, dass
ist für alle
.
Lösung
Da
keine dritte Wurzel in
besitzt, ist das Polynom
in
irreduzibel.
Daher ist
-
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)=K\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba1067fd5fbd8877a8d43a82ac628f507a2ab0c)
eine Körpererweiterung vom Grad drei. Es sei
die eindeutig bestimmte reelle dritte Wurzel aus
. Durch die Zuordnung
können wir
als Unterkörper von
auffassen. In
(und in
)
hat das Polynom
die Zerlegung
-
![{\displaystyle {}X^{3}-q=X^{3}-r^{3}=(X-r)(X^{2}+rX+r^{2})\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68681699ec271ec2aa0564ed9341611e881db983)
Da es in
nur eine dritte Wurzel gibt, und da
keine Nullstelle des rechten Faktors ist, ist das Polynom
-
über
und erst recht über
irreduzibel. Von daher ist
nicht der Zerfällungskörper. In der quadratischen Erweiterung
-
![{\displaystyle {}K\subseteq K[Y]/(Y^{2}+rY+r^{2})=L\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2eea4a02b0375950ed9a935cafbff94a72e2b21)
zerfällt das Polynom
und damit auch
in Linearfaktoren. Der Grad des Zerfällungskörpers ist also
nach der Gradformel
gleich
.
Um eine Realisierung des Zerfällungskörpers in
zu erhalten, betrachten wir
-
![{\displaystyle {}y^{2}+ry+r^{2}=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00fa0424d46710311ea7b7cef6838f2b6d6533bd)
Die Lösungen dazu sind in
gleich
-
![{\displaystyle {}y=\pm {\sqrt {-3}}{\frac {r}{2}}-{\frac {r}{2}}=\pm {\sqrt {-3}}{\frac {\sqrt[{3}]{q}}{2}}-{\frac {\sqrt[{3}]{q}}{2}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89281d2a0461a34adcc088108b4c9f3450a45539)
Daher ist der Zerfällungskörper gleich
-
Lösung
Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele
konstruierbare
Punkte gibt.
Lösung