Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 11
- Übungsaufgaben
Es seien endlichdimensionale - Vektorräume, sei eine offene Teilmenge und sei die Menge der - Formen auf mit Werten in . Zeige die folgenden Eigenschaften.
- ist mit den natürlichen Operationen versehen ein -Vektorraum.
- Zu einer Differentialform
und einer Funktion
ist auch , wobei durch
definiert ist.
- Jede
-
differenzierbare Abbildung
definiert über das totale Differential eine - Differentialform
Dies ergibt eine Abbildung
- Die Abbildung aus (3) ist - linear.
Es seien endlichdimensionale - Vektorräume, sei eine offene Teilmenge und sei die Menge der - Formen auf mit Werten in . Zeige, dass die Menge der exakten Differentialformen ein - Untervektorraum von ist.
Zeige, dass die holomorphen Differentialformen auf für exakt sind.
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen sei, und sei eine offene Menge. Zeige, dass die -wertigen - Differentialformen auf in natürlicher Weise den (zeitunabhängigen) Vektorfeldern auf entsprechen.
Es sei ein euklidischer Vektorraum, offen und
eine differenzierbare Funktion. Dann nennt man die Abbildung
das zugehörige Gradientenfeld.
Wir betrachten die Korrespondenz aus Aufgabe 11.5 im reellen Fall. Zeige, dass dabei die exakten Differentialformen den Gradientenfeldern entsprechen.
In der vorstehenden Aufgabe entspricht eine Stammform einem Potential.
Vereinfache in den Ausdruck
Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.
Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.
Es seien endlichdimensionale - Vektorräume, sei eine offene Teilmenge und sei eine -wertige differenzierbare - Differentialform auf . Zeige, dass die äußere Ableitung von wohldefiniert (als Abbildung von nach ) ist, also unabhängig von der gewählten Basis auf ist.
Es seien endlichdimensionale - Vektorräume und sei eine offene Teilmenge. Zeige, dass die Geschlossenheit einer - Form auf mit Werten in eine lokale Eigenschaft ist, d.h. ist genau dann geschlossen, wenn es eine offene Überdeckung derart gibt, dass die Einschränkungen geschlossen sind.
Zeige, dass die - Differentialform auf dem geschlossen und auch exakt ist.
Es seien endlichdimensionale - Vektorräume, sei eine offene Teilmenge und sei die Menge der - Formen auf mit Werten in . Zeige, dass die Menge der geschlossenen Differentialformen einen - Untervektorraum von ist.
Es sei eine offene Teilmenge und
ein differenzierbares Vektorfeld. Man sagt, dass die Integrabilitätsbedingung erfüllt (oder lokal integrabel ist), wenn
für alle und alle gilt.
Wir betrachten die Korrespondenz aus Aufgabe 11.5 im reellen Fall. Zeige, dass dabei die geschlossenen Differentialformen den Vektorfeldern entsprechen, die die Integrabilitätsbedingung erfüllen.
Es seien endlichdimensionale - Vektorräume, sei eine offene Teilmenge und sei eine differenzierbare - Differentialform auf mit Werten in . Es sei eine Basis, und besitze die Darstellung
mit -wertigen Differentialformen .
- Zeige, dass genau dann exakt ist, wenn alle exakt sind.
- Es sei nun stetig differenzierbar. Zeige, dass genau dann geschlossen ist, wenn alle geschlossen sind.
Es sei offen und eine zweifach stetig differenzierbare Funktion. Zeige
wobei die äußere Ableitung bezeichnet.
Es seien endlichdimensionale - Vektorräume, sei eine offene Teilmenge und sei eine - Differentialform auf mit Werten in . Es sei eine offene Mengen in . Zeige, dass der Rückzug von auf einfach die Einschränkung ist.
Es seien und offene Teilmengen und sei
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei
eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass
gilt, wobei das Zurückziehen von Differentialformen bezeichnet.
Es sei offen und sei
eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass für den Rückzug gilt (mit )
Es sei offen und sei
eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass für den Rückzug gilt (mit )
Wir betrachten die Differentialform
auf dem und die Abbildung
- Berechne die äußere Ableitung von .
- Berechne den Rückzug von unter .
- Berechne die äußere Ableitung von auf .
- Berechne den Rückzug von unter unabhängig von (3).
Es seien endlichdimensionale - Vektorräume, sei eine offene Teilmenge und sei eine - Differentialform auf mit Werten in . Es seien und weitere offene Mengen in endlichdimensionalen -Vektorräumen bzw. . Es seien
und
total differenzierbare Abbildungen. Zeige
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Aufgabe (2 Punkte)
Aufgabe (5 (2+3) Punkte)
Es seien endlichdimensionale - Vektorräume, es seien und offene Mengen und sei eine -wertige differenzierbare - Differentialform auf . Es sei eine differenzierbare Abbildung.
- Es sei exakt. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform exakt ist.
- Es sei geschlossen. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform geschlossen ist.
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