Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 11

Übungsaufgaben

Aufgabe

Wir betrachten auf dem ${ℝ}^2$ die $ℝ$-wertige $1$-Differentialform

$\omega =(xy+y^2)dx+(3x^2-y)dy.$

Berechne $\omega (\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\end{array}\right))$.

Aufgabe

Es seien $V,W$ endlichdimensionale $𝕂$-Vektorräume, sei  $G\subseteq V$  eine offene Teilmenge und sei ${ℰ}^{}(G,W)$ die Menge der $1$-Formen auf $G$ mit Werten in $W$. Zeige die folgenden Eigenschaften.

1. ${ℰ}^{}(G,W)$ ist mit den natürlichen Operationen versehen ein $𝕂$-Vektorraum.
2. Zu einer Differentialform  $\omega \in {ℰ}^{}(G,W)$  und einer Funktion

   $f:G⟶𝕂$

   ist auch  $f\omega \in {ℰ}^{}(G,W)$,  wobei $f\omega$ durch

   $(f\omega )(P):=f(P)\omega (P)$

   definiert ist.

3. Jede $C^1$-differenzierbare Abbildung

   $f:G⟶W$

   definiert über das totale Differential eine $1$-Differentialform

   $df=Df:G⟶{\mathrm{Hom}}_{𝕂}(V,W),P⟼{\left(Df\right)}_P.$

   Dies ergibt eine Abbildung

   $d:C^1(G,W)⟶{ℰ}^{}(G,W),f⟼df.$

4. Die Abbildung $d$ aus (3) ist $𝕂$-linear.

Aufgabe

Es seien $V,W$ endlichdimensionale $𝕂$-Vektorräume, sei  $G\subseteq V$  eine offene Teilmenge und sei ${ℰ}^{}(G,W)$ die Menge der $1$-Formen auf $G$ mit Werten in $W$. Zeige, dass die Menge der exakten Differentialformen ein $𝕂$-Untervektorraum von ${ℰ}^{}(G,W)$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass die holomorphen Differentialformen $\frac{dz}{z^n}$ auf $ℂ\setminus \{0\}$ für  $n\ge 2$  exakt sind.

Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$-Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen sei, und sei  $U\subseteq V$  eine offene Menge. Zeige, dass die $𝕂$-wertigen $1$-Differentialformen auf $V$ in natürlicher Weise den (zeitunabhängigen) Vektorfeldern auf $U$ entsprechen.

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum,  $U\subseteq V$  offen und

$h:U⟶ℝ$

eine differenzierbare Funktion. Dann nennt man die Abbildung

$U⟶V,P⟼\mathrm{Grad}h(P),$

das zugehörige Gradientenfeld.

Aufgabe

Wir betrachten die Korrespondenz aus Aufgabe 11.5 im reellen Fall. Zeige, dass dabei die exakten Differentialformen den Gradientenfeldern entsprechen.

In der vorstehenden Aufgabe entspricht eine Stammform einem Potential.

Aufgabe *

Vereinfache in $\stackrel{2}{\bigwedge }{ℝ}^3$ den Ausdruck

$e_1\wedge (e_2-4e_3)-e_2\wedge (5e_1+3e_2-4e_3)+\left(7e_3\right)\wedge e_1-4(5e_1\wedge 2e_3)+(2e_1-8e_2)\wedge (2e_1-8e_2).$

Aufgabe *

Drücke das Dachprodukt $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 2\end{array}\right)\wedge \left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ -6\end{array}\right)$ in der Standardbasis von $\stackrel{2}{\bigwedge }{ℝ}^3$ aus.

Aufgabe

Drücke das Dachprodukt $\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ -4\end{array}\right)\wedge \left(\begin{array}{c}7\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ in der Standardbasis von $\stackrel{2}{\bigwedge }{ℝ}^3$ aus.

Aufgabe

Es seien $V,W$ endlichdimensionale $𝕂$-Vektorräume, sei  $U\subseteq V$  eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $W$-wertige differenzierbare $1$-Differentialform auf $U$. Zeige, dass die äußere Ableitung von $\omega$ wohldefiniert (als Abbildung von $U$ nach ${\mathrm{Hom}}_{𝕂}(\stackrel{2}{\bigwedge }V,W)$) ist, also unabhängig von der gewählten Basis auf $V$ ist.

Aufgabe

Es seien $V,W$ endlichdimensionale $𝕂$-Vektorräume und sei  $G\subseteq V$  eine offene Teilmenge. Zeige, dass die Geschlossenheit einer $1$-Form auf $G$ mit Werten in $W$ eine lokale Eigenschaft ist, d.h. $\omega$ ist genau dann geschlossen, wenn es eine offene Überdeckung  $U=\bigcup _{i\in I}{U}_i$  derart gibt, dass die Einschränkungen $\omega {|}_{U_i}$ geschlossen sind.

Aufgabe *

Zeige, dass die $1$-Differentialform  $\omega =(2x-\sin y)dx-x\cos ydy$  auf dem ${ℝ}^2$ geschlossen und auch exakt ist.

Aufgabe

Zeige, dass die $1$-Differentialform

$-ydx+xdy$

auf dem ${ℝ}^2$ nicht geschlossen ist.

Aufgabe

Zeige, dass die $1$-Differentialform

$-\frac{y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy$

auf dem ${ℝ}^2\setminus \{0\}$ geschlossen, aber nicht exakt ist.

Aufgabe

Bestimme die äußere Ableitung der $1$-Differentialform

$\omega =(x^2-y^3)dx+x^3{y}^{2}dy$

auf dem ${ℝ}^2$.

Aufgabe *

Berechne die äußere Ableitung $d\omega$ der $1$-Differentialform

$\omega =\frac{x^2}{y}dx-\frac{x}{y^2}dy$

auf  $U=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid y\ne 0\}$. 

Aufgabe

Es seien $V,W$ endlichdimensionale $𝕂$-Vektorräume, sei  $G\subseteq V$  eine offene Teilmenge und sei ${ℰ}^{}(G,W)$ die Menge der $1$-Formen auf $G$ mit Werten in $W$. Zeige, dass die Menge der geschlossenen Differentialformen einen $𝕂$-Untervektorraum von ${ℰ}^{}(G,W)$ ist.

Es sei  $U\subseteq {ℝ}^n$  eine offene Teilmenge und

$G:U⟶{ℝ}^n$

ein differenzierbares Vektorfeld. Man sagt, dass $G$ die Integrabilitätsbedingung erfüllt (oder lokal integrabel ist), wenn

$\frac{\partial G_i}{\partial x_j}(P)=\frac{\partial G_j}{\partial x_i}(P)$

für alle  $P\in U$  und alle $i,j$ gilt.

Aufgabe

Wir betrachten die Korrespondenz aus Aufgabe 11.5 im reellen Fall. Zeige, dass dabei die geschlossenen Differentialformen den Vektorfeldern entsprechen, die die Integrabilitätsbedingung erfüllen.

Aufgabe

Es seien $V,W$ endlichdimensionale $𝕂$-Vektorräume, sei  $U\subseteq V$  eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine differenzierbare $1$-Differentialform auf $U$ mit Werten in $W$. Es sei $b_1,\dots ,b_{\ell }$ eine Basis, und $\omega$ besitze die Darstellung

$\omega =\sum _{k=1}^{\ell }{\omega }_k{b}_k$

mit $𝕂$-wertigen Differentialformen ${\omega }_k$.

1. Zeige, dass $\omega$ genau dann exakt ist, wenn alle ${\omega }_k$ exakt sind.
2. Es sei nun $\omega$ stetig differenzierbar. Zeige, dass $\omega$ genau dann geschlossen ist, wenn alle ${\omega }_k$ geschlossen sind.

Aufgabe *

Es sei  $U\subseteq {ℝ}^n$  offen und $f:U\to ℝ$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion. Zeige

$d(df)=0,$

wobei $d$ die äußere Ableitung bezeichnet.

Aufgabe

Es sei

$f:ℝ⟶ℝ,t⟼f(t),$

eine stetig differenzierbare Funktion und es sei  $\omega =g(s)ds$  eine $1$-Differentialform auf $ℝ$. Bestimme $f^{\ast }\omega$.

Aufgabe

Es seien $V,W$ endlichdimensionale $𝕂$-Vektorräume, sei  $U\subseteq V$  eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $1$-Differentialform auf $U$ mit Werten in $W$. Es sei  $U^{\prime }\subseteq U$  eine offene Mengen in $V$. Zeige, dass der Rückzug von $\omega$ auf $U^{\prime }$ einfach die Einschränkung ist.

Aufgabe *

Es seien  $W\subseteq {ℝ}^m$  und  $U\subseteq {ℝ}^n$  offene Teilmengen und sei

$\psi :W⟶U$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei

$f:U⟶ℝ$

eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass

$d({\psi }^{\ast }f)={\psi }^{\ast }(df)$

gilt, wobei ${\psi }^{\ast }$ das Zurückziehen von Differentialformen bezeichnet.

Aufgabe

Es sei  $U\subseteq ℂ$  offen und sei $f:U⟶ℂ$, $z⟼f(z)=w$, eine nullstellenfreie holomorphe Funktion. Zeige, dass

$f^{\ast }\left(\frac{dw}{w}\right)=\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz$

gilt.

Aufgabe *

Es sei  $U\subseteq ℂ$  offen und sei

$\phi :U⟶ℂ,(u,v)⟼\phi (u,v)={\phi }_1(u,v)+\mathrm{i}{\phi }_2(u,v)=x+\mathrm{i}y=z,$

eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass für den Rückzug ${\phi }^{\ast }dz$ gilt (mit  $w=u+\mathrm{i}v$ )

$\begin{array}{cc}{\phi }^{\ast }(dz)& =\frac{\partial \phi }{\partial u}du+\frac{\partial \phi }{\partial v}dv\\ & =\frac{\partial \phi }{\partial w}dw+\frac{\partial \phi }{\partial \bar{w}}d\bar{w}.\end{array}$

Aufgabe *

Es sei  $U\subseteq ℂ$  offen und sei

$\phi :U⟶ℂ,(u,v)⟼\phi (u,v)={\phi }_1(u,v)+\mathrm{i}{\phi }_2(u,v)=x+\mathrm{i}y=z,$

eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass für den Rückzug ${\phi }^{\ast }d\bar{z}$ gilt (mit  $w=u+\mathrm{i}v$ )

$\begin{array}{cc}{\phi }^{\ast }(d\bar{z})& =\frac{\partial \bar{\phi }}{\partial u}du+\frac{\partial \bar{\phi }}{\partial v}dv\\ & =\frac{\partial \bar{\phi }}{\partial w}dw+\frac{\partial \bar{\phi }}{\partial \bar{w}}d\bar{w}.\end{array}$

Aufgabe *

Wir betrachten die Differentialform

$\omega =ydx+zdy+xdz$

auf dem ${ℝ}^3$ und die Abbildung

$\phi :{ℝ}^2⟶{ℝ}^3,(u,v)⟼(u^2,v^2,uv).$

1. Berechne die äußere Ableitung von $\omega$.
2. Berechne den Rückzug ${\phi }^{\ast }\omega$ von $\omega$ unter $\phi$.
3. Berechne die äußere Ableitung von ${\phi }^{\ast }\omega$ auf ${ℝ}^2$.
4. Berechne den Rückzug ${\phi }^{\ast }d\omega$ von $d\omega$ unter $\phi$ unabhängig von (3).

Aufgabe

Es seien $V,W$ endlichdimensionale $𝕂$-Vektorräume, sei  $U\subseteq V$  eine offene Teilmenge und sei $\omega$ eine $1$-Differentialform auf $U$ mit Werten in $W$. Es seien  $U^{\prime }\subseteq V^{\prime }$  und  $U^{\prime \prime }\subseteq V^{\prime \prime }$  weitere offene Mengen in endlichdimensionalen $𝕂$-Vektorräumen $V^{\prime }$ bzw. $V^{\prime \prime }$. Es seien

$\psi :U^{\prime \prime }⟶U^{\prime }$

und

$\phi :U^{\prime }⟶U$

total differenzierbare Abbildungen. Zeige

$(\phi \circ \psi {)}^{\ast }\omega ={\psi }^{\ast }({\phi }^{\ast }(\omega )).$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten auf dem ${ℝ}^2$ die $ℝ$-wertige $1$-Differentialform

$\omega =(5x{y}^2-y+x^2)dx+(4x^{2}y-x^3)dy.$

Berechne $\omega (\left(\begin{array}{c}-1\\ -6\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}5\\ -2\end{array}\right))$.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die äußere Ableitung der $1$-Differentialform

$\omega =x{y}^{2}dx+yzdy+x^{3}dz$

auf dem ${ℝ}^3$.

Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Es seien $V^{\prime },V,W$ endlichdimensionale $𝕂$-Vektorräume, es seien  $U^{\prime }\subseteq V^{\prime }$  und  $U\subseteq V$  offene Mengen und sei $\omega$ eine $W$-wertige differenzierbare $1$-Differentialform auf $U$. Es sei $\phi :U^{\prime }\to U$ eine differenzierbare Abbildung.

1. Es sei $\omega$ exakt. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform ${\phi }^{\ast }\omega$ exakt ist.
2. Es sei $\omega$ geschlossen. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform ${\phi }^{\ast }\omega$ geschlossen ist.