Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 24/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}\alpha ={\frac {360}{n}}$ . Betrachte die Untergruppe der Drehmatrizen

{}G={\left\{{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}^{j}\mid j=0,\ldots ,n-1\right\}}\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\,.

Zeige, dass diese Gruppe, aufgefasst in ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ , konjugiert zu ${}Z_{n}$ aus Beispiel 23.1 ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe über einem Körper ${}K$ und ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Zeige

{}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\cap L[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}\,.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die Untergruppe der Drehmatrizen, die durch die Vierteldrehung

{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

erzeugt wird. Bestimme den reellen und den komplexen Invariantenring zur zugehörigen linearen Operation.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme zu einer speziellen unitären Matrix

{\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}\in \operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}

die Eigenwerte und die Eigenvektoren.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass zu einer speziellen unitären Matrix

{\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}\in \operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}

die beiden Eigenvektoren, aufgefasst in ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\cong S^{2}$ , antipodal sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass zu einer diagonalisierbaren Matrix

{\begin{pmatrix}u&v\\w&z\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}

die beiden Eigenvektoren, aufgefasst in ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\cong S^{2}$ , nicht antipodal sein müssen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Überprüfe, dass die in Vorlesung 24 angegebenen Abbildungen eine Homöomorphie zwischen ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ und ${}S^{2}$ stiften.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einer Menge ${}M$ operiere, und es sei ${}\psi \colon M\rightarrow N$ eine Bijektion. Zeige, dass dann auch eine natürliche Operation von ${}G$ auf ${}N$ vorliegt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ eine spezielle Matrix mit der zugehörigen Abbildung

\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\cong S^{2}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\cong S^{2}.

Zeige, dass ${}\varphi$ keine längentreue Abbildung und nicht zu einer linearen Abbildung von ${}\mathbb {R} ^{3}$ nach ${}\mathbb {R} ^{3}$ fortsetzbar sein muss.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}a,b,c,d$ reelle Zahlen mit

{}a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1\,.

Zeige, das die Determinante der Matrix

{\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(-ad+bc)&2(ac+bd)\\2(ad+bc)&a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}&2(-ab+cd)\\2(-ac+bd)&2(ab+cd)&a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}\end{pmatrix}}

gleich ${}1$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die (komponentenweise) komplexe Konjugation einen Gruppenautomorphismus auf ${}\operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ induziert, der unter der in Satz 24.2 beschriebenen Abbildung

\operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\longrightarrow \operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)},

mit der Konjugation mit ${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$ auf ${}\operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ verträglich ist. Zeige ferner, dass die komplexe Konjugation auf ${}\operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ auch als Konjugation mit der Matrix ${}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$ realisiert werden kann.

Aufgabe Aufgabe 24.11 ändern

Zeige, dass sich jede eigentliche lineare Isometrie des ${}\mathbb {R} ^{3}$ als Verknüpfung von Drehungen um die drei Koordinatenachsen realisieren lässt.