Kurs:Körper- und Galoistheorie/2/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 3 3 3 4 4 3 5 4 3 3 5 5 10 7 62




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Normalteiler in einer Gruppe .
  2. Eine -te primitive Einheitswurzel in einem Körper ().
  3. Ein separables Polynom über einem Körper .
  4. Die Kommutatorgruppe einer Gruppe .
  5. Eine transitive Untergruppe einer Permutationsgruppe.
  6. Eine rein transzendente Körpererweiterung .


Lösung

  1. Ein Untergruppe ist ein Normalteiler, wenn

    für alle ist.

  2. Eine -te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung besitzt.
  3. Ein Polynom heißt separabel, wenn es über keinem Erweiterungskörper mehrfache Nullstellen besitzt.
  4. Die Kommutatorgruppe in ist die von allen Kommutatoren , , erzeugte Untergruppe.
  5. Eine Untergruppe einer Permutationsgruppe zu einer Menge heißt transitiv, wenn es zu je zwei Elementen ein mit gibt.
  6. Die Körpererweiterung heißt rein transzendent, wenn es algebraisch unabhängige Elemente mit gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Lemma von Dedekind für Charaktere auf einem Monoid in einen Körper .
  2. Der Satz über die Galoiskorrespondenz bei einer endlichen Galoiserweiterung .
  3. Der Satz über das Delische Problem.


Lösung

  1. Es sei ein Monoid, ein Körper und seien Charaktere. Dann sind diese Charaktere linear unabhängig (als Elemente in ).
  2. Es sei eine endliche Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe . Dann sind die Zuordnungen

    zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der Zwischenkörper , ,

    und der Menge der Untergruppen von .
  3. Die Würfelverdopplung mit Zirkel und Lineal ist nicht möglich.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl über .


Lösung

Wegen gehört diese Zahl nicht zu , daher besitzt das Minimalpolynom den Grad . Es ist

Daher ist

das Minimalpolynom.


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

a) Zeige, dass durch

ein Körper mit Elementen gegeben ist.

b) Berechne in das Produkt .

c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu .


Lösung

a) Es ist

Also besitzt das Polynom keine Nullstelle in und ist somit irreduzibel, also ist ein Körper. Die Restklassen von bilden eine -Basis, so dass dieser Körper Elemente besitzt.

b) Es ist

c) Polynomdivision liefert

In gilt somit

Das Inverse von in ist , also ist
das Inverse von .


Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten das Polynom

Bestimme für die folgenden Körper , ob irreduzibel in ist.

a) .

b) .

c) .

d) .


Lösung

a) Wir können das Eisenstein-Kriterium mit der Primzahl anwenden. Die teilt alle Koeffizienten von außer dem Leitkoeffizienten, und teilt nicht den konstanten Term. Also ist irreduzibel in .

b) Das Polynom hat ungeraden Grad, daher besitzt es aufgrund des Zwischenwertsatzes eine reelle Nullstelle und ist daher nicht irreduzibel in .

c) Über wird das Polynom zu , das die Nullstelle besitzt. Also ist nicht irreduzibel in .

d) Zunächst ist ein Körper aufgrund von Teil (a). Es sei die Restklasse von . In ist nach Konstruktion , also ist eine Nullstelle von und ist nicht irreduzibel in .


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Sei eine endliche normale Körpererweiterung und sei

die komplexe Konjugation.

a) Zeige, dass gilt.

b) Zeige, dass genau dann gilt, wenn ist.


Lösung

a) Die Verknüpfung ( die Inklusion) ist ein -Algebrahomomorphismus, daher ist das Bild dieser Abbildung nach Satz 15.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) gleich .

b) Bei ist natürlich , da die komplexe Konjugation auf die Identität ist und sich diese Eigenschaft auf eine Teilmenge überträgt. Wenn andererseits ist, so gibt es (wegen ) ein mit . Für dieses Element ist , so dass die komplexe Konjugation nicht die Identität auf ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein Körper. Beweise die Produktregel für das formale Ableiten


Lösung

Die Produktregel besagt

Nach Definition ist die Ableitung eine -lineare Abbildung. Deshalb und aufgrund des Distributivgesetzes sind für festes die Abbildungen
und
-linear. Da jedes eine eindeutige Darstellung als -Linearkombination mit den Potenzen

, , besitzt, genügt es, die Aussage für zu zeigen. Die gleiche Überlegung zeigt, dass man lediglich betrachten muss. Dann gilt einerseits

und andererseits

so dass Gleichheit gilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Lemma von Dedekind für zwei Charaktere

auf einem Monoid in einen Körper .


Lösung

Wir müssen zeigen, dass und als Abbildungen von nach linear unabhängig sind. Das bedeutet, dass sie sich nicht um einen konstanten Faktor unterscheiden. Wir nehmen mit an. Wegen für das neutrale Element muss sein. Dann ist aber und es würden nicht zwei verschiedene Charaktere vorliegen.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

bezüglich einer geeigneten -Basis von .


Lösung

Wegen und in ist irreduzibel über . Daher ist . Wir betrachten den Frobeniushomomorphismus bezüglich der Basis und ( sei die Restklasse von ). Dabei ist und

Also ist

die beschreibende Matrix.


Aufgabe (3 Punkte)

Wie viele Unterkörper besitzt der endliche Körper ?


Lösung

Wegen ist die Galoisgruppe der Körpererweiterung zyklisch der Ordnung , also isomorph zu . Diese Gruppe besitzt drei Untergruppen, nämlich , die durch erzeugte Untergruppe und sich selbst. Nach dem Satz über die Galoiskorrespondenz besitzt daher drei Zwischenkörper.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei und sei ein Körper, der eine -te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei eine -graduierte Körpererweiterung von . Beschreibe die Matrizen der -Algebraautomorphismen auf (also die Elemente der Galoisgruppe ) bezüglich einer geeigneten -Basis von .


Lösung

Die Automorphismen auf entsprechen den Charakteren auf . Diese entsprechen wiederum eindeutig dem Bild der , welches eine -te Einheitswurzel sein muss, also sich mittels der gegebenen primitiven Einheitswurzel als mit einem eindeutigen zwischen und schreiben lässt. Es sei ein von verschiedenes Element der ersten Stufe. Dann bilden die , , eine -Basis von . Der zu einem Charakter gehörende Automorphismus wirkt dabei in der -ten Stufe durch Multiplikation mit . Daher besitzt der Automorphismus zum Charakter mit bzgl. dieser Basis die Matrixdarstellung


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe und es seien Untergruppen mit den zugehörigen Fixkörpern und . Zeige, dass der Durchschnitt gleich dem Fixkörper zu ist, wobei die von und erzeugte Untergruppe bezeichnet (das ist die kleinste Untergruppe von , die sowohl als auch enthält).


Lösung

Es sei zuerst . Wegen ist insbesondere und , also auch .

Aufgrund der Galoiskorrespondenz können wir die andere Inklusion dadurch zeigen, dass wir die umgekehrte Inklusion der Galoisgruppen nachweisen. D.h. wir müssen zeigen. Da rechts eine Gruppe steht und die von und erzeugte Untergruppe ist, müssen wir lediglich zeigen. Wegen ist aber (ebenso für ).


Aufgabe (10 (4+6) Punkte)

Es sei (in ) der -te Kreisteilungskörper und sei eine -te primitive Einheitswurzel. Wir betrachten die Elemente , .

a) Zeige, dass für eine Primzahl diese Elemente eine -Basis von bilden.

b) Sei eine Primzahl und . Zeige, dass diese Elemente keine -Basis von bilden.


Lösung

a) Der Kreisteilungskörper wird beschrieben als mit dem -ten Kreisteilungspolynom . Dieses hat den Grad (mit der eulerschen -Funktion), und wird durch ersetzt. Daher ist eine -Basis von . Bei ist und wir betrachten die Elemente . Das -te Kreisteilungspolynom ist . Daher ist

so dass man die als Linearkombination der angegebenen Elemente darstellen kann. Daher bilden sie ein Erzeugendensystem und somit auch eine Basis, da es sich um Elemente handelt.

b) Die Einheiten in sind alle Zahlen, die keine Vielfachen von sind. Es gilt

Wir schreiben diese Summe als

Da eine -te primitive Einheitswurzel ist, ist eine -te primitive Einheitswurzel. Die linke Summe ist daher

Also ist auch die rechte Summe

Dies ist aber die Summe über alle Elemente aus unserer Familie, so dass diese Familie linear abhängig ist.


Aufgabe (7 Punkte)

Es sei eine auflösbare Gruppe und

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass auch auflösbar ist.


Lösung

Wir fixieren eine auflösende Filtrierung

Es sei
der Restklassenhomomorphismus. Wir setzen , dies ist eine Filtrierung von mit Untergruppen. Wir betrachten das kommutative Diagramm

wobei die vertikalen Homomorphismen surjektiv sind. Wir behaupten, dass ein Normalteiler in ist, und ziehen dazu Lemma 5.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) heran. Sei also und , die wir durch bzw. repräsentieren. Dann ist und wegen der Normalität von ist und somit . Wir betrachten die zusammengesetzte surjektive Abbildung

Da zum Kern dieser Abbildung gehört, gibt es aufgrund von Satz 5.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) eine surjektive Abbildung

weshalb ebenfalls kommutativ ist.