Kurs:Lineare Algebra/Teil I/27/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 1 2 3 4 1 4 7 5 4 2 6 1 3 3 7 3 2 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Produktmenge aus zwei Mengen und .
  2. Der von einer Familie von Vektoren , aus einem -Vektorraum aufgespannte Untervektorraum.
  3. Die Elementarmatrizen.
  4. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen und .
  5. Die algebraische Vielfachheit von einem Eigenwert zu einer linearen Abbildung

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .

  6. Ein affiner Unterraum in einem affinen Raum über dem -Vektorraum .


Lösung

  1. Man nennt die Menge

    die Produktmenge der Mengen und .

  2. Man nennt

    den von der Familie aufgespannten Untervektorraum.

  3. Mit bezeichnen wir diejenige -Matrix, die an der Stelle den Wert und sonst überall den Wert null hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
    1. .
    2. .
    3. .
  4. Eine Abbildung

    heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

    für alle gilt.

  5. Den Exponenten des linearen Polynoms im charakteristischen Polynom nennt man die algebraische Vielfachheit von .
  6. Eine Teilmenge heißt affiner Unterraum, wenn

    ist, mit einem Punkt und einem -Untervektorraum .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung
  2. Der Satz über funktorielle Eigenschaften von Homomorphismenräumen.
  3. Der Satz über die jordansche Normalform.


Lösung

  1. Unter der Bedingung, dass endlichdimensional ist, gilt
  2. Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Dann gelten folgende Aussagen.
    1. Eine lineare Abbildung

      mit einem weiteren Vektorraum induziert eine lineare Abbildung

    2. Eine lineare Abbildung

      mit einem weiteren Vektorraum induziert eine lineare Abbildung

  3. Zu jedem trigonalisierbaren Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum gibt es eine Basis, bezüglich der die beschreibende Matrix jordansche Normalform

    besitzt.


Aufgabe (1 Punkt)

Hat die lineare Algebra etwas mit einem Lineal zu tun?


Lösung Lineare Algebra/Lineal/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Ist die Abbildung

  1. injektiv?
  2. surjektiv?


Lösung

  1. Wegen

    ist die Abbildung nicht injektiv.

  2. Da alle Quadrate sind, werden negative Zahlen durch die Abbildung nicht erreicht. Die Abbildung ist also nicht surjektiv.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Matrizenprodukt


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die zweite und die vierten Gleichung addieren. Dies führt auf

Nun eliminieren wir die Variable , indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) und ausrechnen. Dies führt auf

Mit ergibt sich

und

Rückwärts gelesen ergibt sich

und


Aufgabe (1 Punkt)

Addiere die beiden folgenden Vektoren graphisch.











Linear unabhängige Vektoren im R^2.svg











Lösung Vektor/Graphisch/Addition/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

  1. Bestimme die invertierbaren -Matrizen über dem Körper mit zwei Elementen.
  2. Welche davon sind zu sich selbst invers?


Lösung

  1. Die matrizeneinträge sind oder . Wenn die kein- oder einmal vorkommt, so kommt eine Nullzeile vor und die Matrix ist nicht invertierbar. Wenn die zweimal vorkommt, so darf die nicht in der gleichen Zeile stehen. Dies ergibt die invertierbaren Matrizen

    Wenn dreimal die vorkommen soll, so erhält man die invertierbaren Matrizen

    Bei vier Einsen liegt eine nichtinvertierbare Matrix vor.

  2. Die Einheitsmatrix und die Vertauschungsmatrix sind selbstinvers. Wir rechnen

    und

    Somit sind auch und selbstinvers.


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Dimension von Untervektorräumen für den Durchschnitt und die Summe.


Lösung

Es sei eine Basis von . Diese ergänzen wir gemäß Fakt ***** einerseits zu einer Basis von und andererseits zu einer Basis von . Dann ist

ein Erzeugendensystem von . Wir behaupten, dass es sich sogar um eine Basis handelt. Sei dazu

Daraus ergibt sich, dass das Element

zu gehört. Daraus folgt direkt für und für . Somit ergibt sich dann auch für alle . Also liegt lineare Unabhängigkeit vor. Insgesamt ist also


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein zweidimensionaler Vektorraum über einem Körper . Es seien und Vektoren in , die jeweils paarweise linear unabhängig seien. Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung derart gibt, dass

für gilt.


Lösung

Da und Basen sind, gibt es nach dem Festlegungsatz eine bijektive lineare Abbildung mit und . Unter bleiben die Voraussetzungen über die paarweise lineare Unabhängigkeit erhalten. Daher müssen wir nur noch die Situation von zwei Vektorfamilien der Form und betrachten. Es sei

und

Dabei sind , da andernfalls bzw. zu einem der linear abhängig wäre. Wir betrachten nun die lineare Abbildung , die durch und gegeben ist. Dann ist

Somit erfüllt die geforderte Bedingung.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und seien und endliche Indexmengen. Zeige, dass die Abbildung

mit

multilinear ist.


Lösung

Da die Situation symmetrisch ist, genügt es, die Linearität im ersten Eintrag bei fixiertem zweiten Eintrag zu zeigen. Seien also , und . Die Gleichheit ist in zu zeigen. Dazu sei und . Dann ist insgesamt, wobei wir die Vektorraumstruktur auf den Abbildungsräumen und das Distributivgesetz in verwenden,

was die Linearität zeigt.


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl der Permutationen auf einer endlichen Menge.


Lösung

Es sei . Für die gibt es mögliche Bilder, für gibt es noch mögliche Bilder, für gibt es noch mögliche Bilder, usw. Daher gibt es insgesamt

mögliche Permutationen.


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante direkt aus dem Distributivgesetz für multilineare Abbildungen.


Lösung

Es sei

Wir schreiben die -te Zeile der Matrix als . Damit ist unter Verwendung der Multilinearität in den Zeilen

Hierbei beruht die vorletzte Gleichung darauf, dass die Determinante von gleich ist, sobald ein Vektor mehrfach vorkommt, und man daher nur über die Permutationen aufsummieren muss. Die letzte Gleichung beruht darauf, dass man durch eine Anzahl an Zeilenvertauschungen aus die Einheitsmatrix mit Determinante erhält. Bei jeder Zeilenvertauschung ändert sich die Determinante um und dies entspricht der Änderung des Signums bei einer Transposition.


Aufgabe (1 Punkt)

Finde eine Darstellung der für das Zahlenpaar und .


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass

eine Nullstelle des Polynoms

ist.


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar und ob sie diagonalisierbar ist.


Lösung

Das charakteristische Polynom der Matrix ist

Damit ist die Matrix jedenfalls trigonalisierbar. Zur Frage die Diagonalisierbarkeit betrachten wir den Eigenwert . Der Rang von

ist offenbar und somit ist der Eigenraum eindimensional. Daher ist die geometrische Vielfachheit echt kleiner als die algebraische Vielfachheit und die Matrix ist nach Satz 23.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) nicht diagonalisierbar.


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Summe von Haupträumen.


Lösung

Es sei

das charakteristische Polynom, das nach Satz 25.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) in Linearfaktoren zerfällt, wobei die verschieden seien. Wir führen Induktion über . Bei gibt es nur einen Eigenwert und nur einen Hauptraum. Nach Korollar 24.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) ist dann auch das Minimalpolynom von der Form und daher ist . Sei die Aussage nun für kleineres bewiesen. Wir setzen und und sind damit in der Situation von Lemma 26.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) und Satz 26.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)). Wir haben also eine direkte Summenzerlegung in -invariante Untervektorräume

Das charakteristische Polynom ist nach Lemma 23.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) das Produkt der charakteristischen Polynome der Einschränkungen auf die beiden Räume. Nach Satz 26.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) ist das charakteristische Polynom der Einschränkung auf den ersten Hauptraum, daher muss das charakteristische Polynom der Einschränkung auf sein. Das heißt insbesondere, dass diese Einschränkung ebenfalls trigonalisierbar ist. Nach der Induktionsvoraussetzung ist also die direkte Summe der Haupträume zu und daraus ergibt sich insgesamt die direkte Summenzerlegung für und für .


Aufgabe (3 Punkte)

Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.


Lösung

Es ist

und

Der Vektor gehört nicht zum Kern von , daher kann man aus den sukzessiven Bildern davon eine Basis wie gewünscht herstellen. Es ist

und

Daher ist

eine Basis, bezüglich der die jordansche Normalform

vorliegt.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

im gegebene Gerade.


Lösung

Es ist eine Lösung der Gleichung, die wir als Aufpunkt nehmen können. Der Vektor ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung. Somit ist

eine Beschreibung der Geraden in Punktrichtungsform.