Definiere die folgenden
(kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Produktmenge aus zwei Mengen
und
.
- Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren
in einem
-Vektorraum
.
- Die
Elementarmatrizen.
- Ein Gruppenhomomorphismus zwischen
Gruppen
und
.
- Die
algebraische Vielfachheit
von einem
Eigenwert
zu einer
linearen Abbildung
-
auf einem
endlichdimensionalen
-
Vektorraum
.
- Ein
affiner Unterraum
in einem
affinen Raum
über dem
-
Vektorraum
.
Lösung
- Man nennt die Menge
-

die Produktmenge der Mengen
und
.
- Die Vektoren
heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung
-
nur bei
für alle
möglich ist.
- Mit
bezeichnen wir diejenige
-
Matrix,
die an der Stelle
den Wert
und sonst überall den Wert null hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
.
.
.
- Eine
Abbildung
-
heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit
-

für alle
gilt.
- Den Exponenten des linearen Polynoms
im
charakteristischen Polynom
nennt man die
algebraische Vielfachheit
von
.
- Eine Teilmenge
heißt
affiner Unterraum,
wenn
-

ist, mit einem Punkt
und einem
-
Untervektorraum
.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die
Dimensionsformel
für eine
lineare Abbildung
-
- Der Satz über funktorielle Eigenschaften von Homomorphismenräumen.
- Der Satz über die jordansche Normalform.
Lösung
- Unter der Bedingung, dass
endlichdimensional ist, gilt
-

- Es sei
ein
Körper
und es seien
und
Vektorräume
über
. Dann gelten folgende Aussagen.
- Eine
lineare Abbildung
-
mit einem weiteren Vektorraum
induziert eine lineare Abbildung
-
- Eine
lineare Abbildung
-
mit einem weiteren Vektorraum
induziert eine lineare Abbildung
-
- Zu jedem
trigonalisierbaren Endomorphismus
-
auf einem endlichdimensionalen
-
Vektorraum
gibt es eine
Basis,
bezüglich der die
beschreibende Matrix
jordansche Normalform
besitzt.
Hat die lineare Algebra etwas mit einem Lineal zu tun?
Lösung Lineare Algebra/Lineal/Aufgabe/Lösung
Ist die Abbildung
-
- injektiv?
- surjektiv?
Lösung
- Wegen
-

ist die Abbildung nicht injektiv.
- Da alle Quadrate
sind, werden negative Zahlen durch die Abbildung nicht erreicht. Die Abbildung ist also nicht surjektiv.
Berechne das
Matrizenprodukt
-
Lösung
Es ist
-

Löse das
inhomogene lineare Gleichungssystem
-
Lösung
Wir eliminieren zuerst die Variable
, indem wir die zweite und die vierten Gleichung addieren. Dies führt auf
-
Nun eliminieren wir die Variable
, indem wir
(bezogen auf das vorhergehende System)
und
ausrechnen. Dies führt auf
-
Mit
ergibt sich
-

und
-

Rückwärts gelesen ergibt sich
-

-

und
-

Addiere die beiden folgenden Vektoren graphisch.
Lösung Vektor/Graphisch/Addition/Aufgabe/Lösung
Lösung
- Die Matrizeneinträge sind
oder
.
Wenn die
kein- oder einmal vorkommt, so kommt eine Nullzeile vor und die Matrix ist nicht invertierbar. Wenn die
zweimal vorkommt, so darf die
nicht in der gleichen Zeile stehen. Dies ergibt die invertierbaren Matrizen
-
Wenn dreimal die
vorkommen soll, so erhält man die invertierbaren Matrizen
-
Bei vier Einsen liegt eine nichtinvertierbare Matrix vor.
- Die Einheitsmatrix
und die Vertauschungsmatrix
sind selbstinvers. Wir rechnen
-

-

-

und
-

Somit sind auch
und
selbstinvers.
Beweise den Satz über die Dimension von Untervektorräumen für den Durchschnitt und die Summe.
Lösung
Es sei
eine
Basis
von
. Diese ergänzen wir gemäß
Satz 8.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
einerseits zu einer Basis
von
und andererseits zu einer Basis
von
. Dann ist
-
ein
Erzeugendensystem
von
. Wir behaupten, dass es sich sogar um eine Basis handelt. Es sei dazu
-

Daraus ergibt sich, dass das Element
-

zu
gehört. Daraus folgt direkt
für
und
für
.
Somit ergibt sich dann auch
für alle
. Also liegt
lineare Unabhängigkeit
vor. Insgesamt ist also

Es sei
ein zweidimensionaler
Vektorraum
über einem Körper
. Es seien
und
Vektoren in
, die jeweils paarweise
linear unabhängig
seien. Zeige, dass es eine bijektive
lineare Abbildung
derart gibt, dass
-

für
gilt.
Lösung
Da
und
Basen sind, gibt es nach
dem Festlegungsatz
eine bijektive lineare Abbildung
mit
und
.
Unter
bleiben die Voraussetzungen über die paarweise lineare Unabhängigkeit erhalten. Daher müssen wir nur noch die Situation von zwei Vektorfamilien der Form
und
betrachten. Es sei
-

und
-

Dabei sind
,
da andernfalls
bzw.
zu einem der
linear abhängig wäre. Wir betrachten nun die lineare Abbildung
, die durch
und
gegeben ist. Dann ist

Somit erfüllt
die geforderte Bedingung.
Es sei
ein
Körper
und seien
und
endliche Indexmengen. Zeige, dass die Abbildung
-
mit
-

multilinear
ist.
Lösung
Da die Situation symmetrisch ist, genügt es, die Linearität im ersten Eintrag bei fixiertem zweiten Eintrag zu zeigen. Es seien also
,
und
. Die Gleichheit ist in
zu zeigen. Dazu sei
und
. Dann ist insgesamt, wobei wir die Vektorraumstruktur auf den Abbildungsräumen und das Distributivgesetz in
verwenden,

was die Linearität zeigt.
Beweise den Satz über die Anzahl der Permutationen auf einer endlichen Menge.
Lösung
Lösung
Es sei
-

Wir schreiben die
-te Zeile der Matrix als
. Damit ist unter Verwendung der Multilinearität in den Zeilen

Hierbei beruht die vorletzte Gleichung darauf, dass die Determinante von
gleich
ist, sobald ein Vektor
mehrfach vorkommt, und man daher nur über die Permutationen aufsummieren muss. Die letzte Gleichung beruht darauf, dass man durch eine Anzahl an Zeilenvertauschungen aus
die Einheitsmatrix mit Determinante
erhält. Bei jeder Zeilenvertauschung ändert sich die Determinante um
und dies entspricht der Änderung des Signums bei einer Transposition.
Lösung
Es ist
-

Zeige, dass
-
![{\displaystyle {}z={\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a39d977536d0c3a9667948a3622f46787086352)
eine Nullstelle des Polynoms
-
ist.
Lösung
Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\left({\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\right)}^{3}+3{\left({\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\right)}+2\\&=-1+{\sqrt {2}}+3{\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}^{2}\cdot {\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}+3{\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}\cdot {\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}^{2}-1-{\sqrt {2}}+3{\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+3{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}+2\\&=3{\left({\sqrt[{3}]{{\left(-1+{\sqrt {2}}\right)}^{2}{\left(-1-{\sqrt {2}}\right)}}}+{\sqrt[{3}]{{\left(-1+{\sqrt {2}}\right)}{\left(-1-{\sqrt {2}}\right)}^{2}}}+{\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\right)}\\&=3{\left({\sqrt[{3}]{{\left(3-2{\sqrt {2}}\right)}{\left(-1-{\sqrt {2}}\right)}}}+{\sqrt[{3}]{{\left(-1+{\sqrt {2}}\right)}{\left(3+2{\sqrt {2}}\right)}}}+{\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\right)}\\&=3{\left({\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\right)}\\&=3{\left({\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2}}}}-{\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2}}}}-{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2}}}}\right)}\\&=0.\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4e67cae60756b470d226def5cccb520cd2df4ff)
Bestimme, ob die reelle Matrix
-
trigonalisierbar
und ob sie
diagonalisierbar
ist.
Lösung
Das charakteristische Polynom der Matrix ist

Damit ist die Matrix jedenfalls trigonalisierbar. Zur Frage die Diagonalisierbarkeit betrachten wir den Eigenwert
. Der Rang von
-
ist offenbar
und somit ist der Eigenraum eindimensional. Daher ist die
geometrische Vielfachheit
echt kleiner als die
algebraische Vielfachheit
und die Matrix ist nach
Satz 23.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
nicht diagonalisierbar.
Beweise den Satz über die Summe von Haupträumen.
Lösung
Es sei
-

das
charakteristische Polynom,
das nach
Satz 25.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
in Linearfaktoren zerfällt, wobei die
verschieden seien. Wir führen Induktion über
. Bei
gibt es nur einen Eigenwert
und nur einen Hauptraum. Nach
Korollar 24.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
ist dann auch das Minimalpolynom von der Form
und daher ist
.
Es sei die Aussage nun für kleineres
bewiesen. Wir setzen
und
und sind damit in der Situation von
Lemma 26.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
und
Satz 26.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).
Wir haben also eine direkte Summenzerlegung in
-
invariante
Untervektorräume
-

Das charakteristische Polynom ist nach
Lemma 23.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
das Produkt der charakteristischen Polynome der Einschränkungen auf die beiden Räume. Nach
Satz 26.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
ist
das charakteristische Polynom der Einschränkung von
auf den ersten Hauptraum, daher muss
das charakteristische Polynom der Einschränkung auf
sein. Das heißt insbesondere, dass diese Einschränkung ebenfalls trigonalisierbar ist. Nach der Induktionsvoraussetzung ist also
die direkte Summe der Haupträume zu
und daraus ergibt sich insgesamt die direkte Summenzerlegung für
und für
.
Eine
lineare Abbildung
-
werde bezüglich der Standardbasis durch die
Matrix
-
beschrieben. Finde eine
Basis,
bezüglich der
durch die Matrix
-
beschrieben wird.
Lösung
Es ist
-

und
-

Der Vektor
gehört nicht zum Kern von
, daher kann man aus den sukzessiven Bildern davon eine Basis wie gewünscht herstellen. Es ist
-

und
-

Daher ist
-
eine Basis, bezüglich der die jordansche Normalform
-
vorliegt.
Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
-

im
gegebene Gerade.
Lösung
Es ist
eine Lösung der Gleichung, die wir als Aufpunkt nehmen können. Der Vektor
ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung. Somit ist
-
eine Beschreibung der Geraden in Punktrichtungsform.