Kurs:Lineare Algebra/Teil II/17/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	4	0	4	4	0	3	0	0	5	3	0	2	7	5	0	5	48

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein euklidischer Vektorraum.
2. Eine nicht-ausgeartete Bilinearform.
3. Ein normaler Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$.

4. Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$.
5. Die Restklassengruppe zu einem Normalteiler ${}H\subseteq G$ in einer Gruppe ${}G$.
6. Das Tensorprodukt von linearen Abbildungen

   $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$

   für ${}i=1,\ldots ,n$.

Lösung

1. Unter einem euklidischen Vektorraum versteht man einen reellen endlichdimensionalen Vektorraum mit Skalarprodukt.
2. Die Bilinearform

   $V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

   heißt nicht ausgeartet, wenn für alle ${}v\in V,\,v\neq 0$, die induzierten Abbildungen

   $V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

   und für alle ${}w\in V,\,w\neq 0$, die induzierten Abbildungen

   $V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

   nicht die Nullabbildung sind.

3. Ein Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   heißt normal, wenn ${}\varphi$ und ${}{\hat {\varphi }}$ vertauschbar sind.

4. Die Relation ${}\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
   1. Es ist ${}i\preccurlyeq i$ für alle ${}i\in I$.
   2. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ folgt stets ${}i\preccurlyeq k$.
   3. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq i$ folgt ${}i=j$.
5. Die Quotientenmenge

   $G/H$

   mit der eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von ${}G$ modulo ${}H$.

6. Zu den ${}K$- linearen Abbildungen

   $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$

   heißt die lineare Abbildung

   $V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\longrightarrow W_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}W_{n},\,v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}\longmapsto \varphi _{1}(v_{1})\otimes _{}\cdots \otimes _{}\varphi _{n}(v_{n}),$

   das Tensorprodukt der ${}\varphi _{i}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Kongruenzsatz für Dreiecke.
2. Der Trägheitssatz von Sylvester.
3. Der Satz über die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.

Lösung

1. Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene sind genau dann zueinander kongruent, wenn ihre Seitenlängen übereinstimmen.
2. Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ ${}(p,q)$. Dann ist die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit ${}p$ positiven und ${}q$ negativen Einträgen.
3. Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}n\in \mathbb {N}$. Es sei

   $\psi \colon V^{n}\longrightarrow W$

   eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren ${}K$-Vektorraum ${}W$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

   ${\tilde {\psi }}\colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow W$

   derart, dass das Diagramm

   ${\begin{matrix}V^{n}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\bigwedge ^{n}V&\\&\searrow &\downarrow &\\&&W&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   kommutiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Funktionen

$f_{m}\colon [0,1]\longrightarrow {\mathbb {C} }$

mit

${}f_{m}(x):=e^{2\pi {\mathrm {i} }mx}\,$

zu ${}m\in \mathbb {Z}$ im Raum der stetigen Funktionen von ${}[0,1]$ nach ${}{\mathbb {C} }$ ein Orthonormalsystem bezüglich des durch

${}\left\langle f,g\right\rangle :=\int _{0}^{1}f{\overline {g}}dx\,$

gegebenen Skalarproduktes bilden. Man verwende dabei Grundtatsachen über die komplexe Exponentialfunktion.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}\left\langle f_{m},f_{n}\right\rangle &=\int _{0}^{1}f_{m}{\overline {f_{n}}}dx\\&=\int _{0}^{1}e^{2\pi {\mathrm {i} }mx}{\overline {e^{2\pi {\mathrm {i} }nx}}}dx\\&=\int _{0}^{1}e^{2\pi {\mathrm {i} }mx}e^{-2\pi {\mathrm {i} }nx}dx\\&=\int _{0}^{1}e^{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)x}dx.\end{aligned}}$

Bei ${}m=n$ ist dies

${}\int _{0}^{1}e^{0}dx=\int _{0}^{1}1dx=1\,.$

Bei ${}m\neq n$ ist dies

${}{\begin{aligned}\int _{0}^{1}e^{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)x}dx&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}}{\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)y}\right)}_{0}^{1}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}}{\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}-e^{0}\right)}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}}{\left(1-1\right)}\\&=0.\end{aligned}}$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Determinante einer linearen Isometrie

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

gleich ${}1$ oder gleich ${}-1$ ist.

Lösung

Ohne Einschränkung sei gemäß Satz 33.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))

${}V=\mathbb {R} ^{n}\,$

mit dem Standardskalarprodukt. Die Spalten in der beschreibenden Matrix ${}M$ zu ${}\varphi$ bezüglich der Standardbasis ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ sind

${}u_{i}=\varphi (e_{i})\,,$

und diese bilden nach Voraussetzung ebenfalls eine Orthonormalbasis des ${}\mathbb {R} ^{n}$. Insbesondere ist

${}\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle =\delta _{ij}\,.$

Daher ist

${}{M^{\text{tr}}}M={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,.$

Somit folgt die Aussage aus dem Determinantenmultiplikationssatz und aus Satz 17.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).

Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

In den folgenden Teilaufgaben sollen Dreiecke beschrieben werden, für die jeweils ${}(0,1)$ ein Eckpunkt und ${}(0,0)$ der Höhenfußpunkt durch diese Ecke ist. Es sind jeweils die beiden anderen Eckpunkte anzugeben.

1. Ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel in ${}(0,1)$.
2. Ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel auf der ${}x$-Achse.
3. Ein gleichseitiges Dreieck.

Lösung

Die Dreiecksseite gegenüber von ${}(0,1)$ liegt auf der ${}x$-Achse, die weiteren Punkte haben also die Form ${}(a,0)$ und ${}(b,0)$.

1. Bei einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck bilden die Schenkel den rechten Winkel. Daher ist ${}b=-a$ und die Schenkel müssen mit der ${}y$-Achse einen Winkel von ${}45$ Grad einschließen. Somit sind ${}(1,0)$ und ${}(-1,0)$ die weiteren Eckpunkte.
2. In diesem Fall muss die Höhe eine Dreiecksseite sein. Daher ist ${}(0,0)$ ein Eckpunkt und wegen der Gleichschenkligkeit ist ${}(1,0)$ (oder ${}(0,1)$) der weitere Eckpunkt.
3. Wegen der Symmetrie in einem gleichseitigen Dreieck ist ${}b=-a$ und die Bedingung der Gleichseitigkeit

   ${}{\sqrt {1+a^{2}}}=2a\,$

   führt auf

   ${}1+a^{2}=4a^{2}\,,$

   also

   ${}a^{2}={\frac {1}{3}}\,$

   und somit

   ${}a={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,.$

   Die weiteren Punkte sind also ${}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}},\,0\right)$ und ${}\left(-{\frac {1}{\sqrt {3}}},\,0\right)$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Der ${}\mathbb {R} ^{2}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu jedem Beobachtervektor ${}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$ die Raumkomponente des Beobachters die Spiegelung seiner Zeitkomponente an der Hauptdiagonalen ist.

Lösung

Die Raumkomponente des Beobachters mit der Bewegungsgeraden ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$ ist ${}a$ und seine Zeitkomponente ist ${}b$. Dazu Senkrecht zu ${}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$ bezüglich der Minkowski-Form ist ${}{\begin{pmatrix}b\\a\end{pmatrix}}$, da ja

${}\left\langle {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b\\a\end{pmatrix}}\right\rangle =ab-ba=0\,$

gilt. Beim Übergang von ${}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$ zu ${}{\begin{pmatrix}b\\a\end{pmatrix}}$ werden die Komponenten vertauscht, und genau dies passiert auch bei der Achsenspiegelung an der Hauptdiagonalen.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 (2+1+2) Punkte)

Für reelle Zahlen ${}r,s$ setzen wir ${}r\sim s$, wenn es rationale Zahlen ${}u,v\in \mathbb {Q}$ mit ${}u\neq 0$ derart gibt, dass

${}r=us+v\,$

ist.

1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf ${}\mathbb {R}$ ist.
2. Bestimme die Äquivalenzklasse zu ${}{\frac {3}{7}}$.
3. Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Zahlen, die nicht kommensurabel sind, die aber unter ${}\sim$ äquivalent sind.

Lösung Reelle Zahlen/Rationale Zahlen/Streckung und Verschiebung/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass sich Gruppenelemente ${}g\in G$ und Gruppenhomomorphismen ${}\varphi$ von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}G$ über die Korrespondenz

$g\longmapsto (n\mapsto g^{n}){\text{ und }}\varphi \longmapsto \varphi (1)$

entsprechen.

Lösung

Es sei ${}g\in G$ fixiert. Dass die Abbildung

$\varphi _{g}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow G,\,n\longmapsto g^{n},$

ein Gruppenhomomorphismus ist, ist eine Umformulierung der Potenzgesetze. Wegen ${}\varphi _{g}(1)=g^{1}=g$ erhält man aus der Potenzabbildung das Gruppenelement zurück. Umgekehrt ist ein Gruppenhomomorphismus ${}\varphi \colon \mathbb {Z} \rightarrow G$ durch ${}\varphi (1)$ eindeutig festgelegt, da ${}\varphi (n)=(\varphi (1))^{n}$ für ${}n$ positiv und ${}\varphi (n)={\left((\varphi (1))^{-1}\right)}^{-n}$ für ${}n$ negativ gelten muss.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die eigentliche und die uneigentliche Symmetriegruppe einer Träne in der Ebene.

Lösung

Die eigentliche Symmetriegruppe besteht allein aus der Identität, die volle Symmetriegruppe besteht aus der Identität und der Achsenspiegelung zur Achse, die (bei einer fallenden Träne) vertikal verläuft.

Aufgabe (7 (3+2+2) Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum und ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung.

1. Zeige, dass für jeden Vektor ${}v\in V$ die Abschätzung

   ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq \Vert {v}\Vert \,$

   genau dann gilt, wenn für die Supremumsnorm

   ${}\Vert {\varphi }\Vert \leq 1\,$

   gilt.

2. Zeige, dass ${}\varphi$, wenn es die Bedingungen aus Teil (1) erfüllt, stabil ist.
3. Man gebe ein Beispiel für ein ${}\varphi$, das stabil ist, das aber nicht die Eigenschaften aus Teil (1) besitzt.

Lösung

1. Es sei zunächst die Bedingung für alle Vektoren erfüllt. Dann ist

   ${}\Vert {\varphi }\Vert ={\operatorname {sup} \,(\Vert {\varphi (v)}\Vert ,\Vert {v}\Vert =1)}\leq {\operatorname {sup} \,(\Vert {v}\Vert ,\Vert {v}\Vert =1)}=1\,.$

   Wenn umgekehrt die Supremumsnorm ${}\leq 1$ ist, so gilt für jeden Vektor ${}v\neq 0$ die Abschätzung

   ${}{\begin{aligned}\Vert {\varphi (v)}\Vert &=\Vert {\varphi (\Vert {v}\Vert \cdot {\frac {v}{\Vert {v}\Vert }})}\Vert \\&=\Vert {\,\Vert {v}\Vert \varphi ({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }})}\Vert \\&=\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {\varphi ({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }})}\Vert \\&\leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {\varphi }\Vert \\&\leq \Vert {v}\Vert .\end{aligned}}$

2. Aus

   ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq \Vert {v}\Vert \,$

   folgt durch eine einfache Induktion direkt

   ${}\Vert {\varphi ^{n}(v)}\Vert \leq \Vert {v}\Vert \,$

   für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Zu jedem Vektor sind also die Werte unter allen Potenzen von ${}\varphi$ durch ${}\Vert {v}\Vert$ beschränkte und somit ist die Abbildung stabil.

3. Wir betrachten die Matrix ${}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&1\\0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$, die nach Satz 53.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))  (5) stabil ist. Der Standardvektor ${}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ wird dabei auf ${}{\begin{pmatrix}1\\{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$ abgebildet, der in der euklidischen Norm größer als der Ausgangsvektor ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die spaltenstochastische Matrix

${}M={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {6}{7}}\end{pmatrix}}\,.$

Bestimme das minimale ${}n$ derart, dass in der ${}n$-ten Potenz ${}M^{n}$ die Differenz der ersten zur zweiten Spalte ${}\leq {\frac {1}{50}}$ bezüglich der Maximumsnorm des ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist.

Lösung

Wir schreiben

${}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {6}{7}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{14}}{\begin{pmatrix}7&2\\7&12\end{pmatrix}}\,.$

Es ist

${}{\begin{pmatrix}7&2\\7&12\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}7&2\\7&12\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}49+14&14+24\\49+84&14+144\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}63&28\\133&158\end{pmatrix}}\,$

und

${}M^{2}={\frac {1}{196}}{\begin{pmatrix}63&28\\133&158\end{pmatrix}}\,,$

die Differenz der Einträge ist ${}{\frac {35}{196}}$ und somit größer als ${}{\frac {1}{50}}$ in der Maximumsnorm (die erste Differenz ist gleich der zweiten Differenz wegen der stochastischen Eigenschaft).

Es ist

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}7&2\\7&12\end{pmatrix}}^{3}&={\begin{pmatrix}63&28\\133&158\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}7&2\\7&12\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}101\cdot 7&126+456\\192\cdot 7&266+1896\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}707&582\\2037&2162\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

und

${}M^{3}={\frac {1}{2744}}{\begin{pmatrix}707&582\\2037&2162\end{pmatrix}}\,,$

die Differenz ist

${}{\frac {125}{2744}}\cong 0,045...>0,02\,$

und daher immer noch größer als ${}{\frac {1}{50}}$ in der Maximumsnorm.

Es ist

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}7&2\\7&12\end{pmatrix}}^{4}&={\begin{pmatrix}707&582\\2037&2162\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}7&2\\7&12\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}9023&8398\\29393&30018\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

und

${}M^{4}={\frac {1}{38416}}{\begin{pmatrix}9023&8398\\29393&30018\end{pmatrix}}\,,$

die Differenz ist jetzt

${}{\frac {625}{38416}}\cong 0,016...<0,02\,$

und somit kleiner als ${}{\frac {1}{50}}$ in der Maximumsnorm.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die universelle Eigenschaft des Dachprodukts.

Lösung

Wir verwenden die Notation aus Konstruktion 57.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)). Durch die Zuordnung

$e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}\longmapsto \psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$

wird nach Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) eine ${}K$- lineare Abbildung

${\bar {\psi }}\colon H\longrightarrow W$

definiert. Da ${}\psi$ multilinear und alternierend ist, wird unter ${}{\bar {\psi }}$ der Untervektorraum ${}U\subseteq H$ auf ${}0$ abgebildet. Nach Satz 48.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gibt es daher eine ${}K$-lineare Abbildung

${\tilde {\psi }}\colon H/U\longrightarrow W,$

die mit ${}{\bar {\psi }}$ verträglich ist.
Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass die ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$ ein Erzeugendensystem von ${}\bigwedge ^{n}V$ bilden und diese auf ${}\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$ abgebildet werden müssen.