Kurs:Lineare Algebra/Teil II/17/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 4 0 4 4 0 3 0 0 0 5 0 2 7 5 0 5 45




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein euklidischer Vektorraum.
  2. Eine nicht-ausgeartete Bilinearform.
  3. Ein normaler Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum mit Skalarprodukt .

  4. Eine Ordnungsrelation auf einer Menge .
  5. Die Restklassengruppe zu einem Normalteiler in einer Gruppe .
  6. Das Tensorprodukt von linearen Abbildungen

    für .


Lösung

  1. Unter einem euklidischen Vektorraum versteht man einen reellen endlichdimensionalen Vektorraum mit Skalarprodukt.
  2. Die Bilinearform

    heißt nicht ausgeartet, wenn für alle , die induzierten Abbildungen

    und für alle , die induzierten Abbildungen

    nicht die Nullabbildung sind.

  3. Ein Endomorphismus

    heißt normal, wenn und vertauschbar sind.

  4. Die Relation heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
    1. Es ist für alle .
    2. Aus und folgt stets .
    3. Aus und folgt .
  5. Die Quotientenmenge

    mit der eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von modulo .

  6. Zu den -linearen Abbildungen

    heißt die lineare Abbildung

    das Tensorprodukt der .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Kongruenzsatz für Dreiecke.
  2. Der Trägheitssatz von Sylvester.
  3. Der Satz über die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.


Lösung

  1. Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene sind genau dann zueinander kongruent, wenn ihre Seitenlängen übereinstimmen.
  2. Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform vom Typ . Dann ist die Gramsche Matrix von bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit positiven und negativen Einträgen.
  3. Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und . Es sei

    eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren -Vektorraum . Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

    derart, dass das Diagramm
    kommutiert.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Funktionen

mit

zu im Raum der stetigen Funktionen von nach ein Orthonormalsystem bezüglich des durch

gegebenen Skalarproduktes bilden. Verwende dabei Grundtatsachen über die komplexe Exponentialfunktion.


Lösung

Es ist

Bei ist dies

Bei ist dies


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Determinante einer linearen Isometrie

gleich oder gleich ist.


Lösung

Ohne Einschränkung sei gemäß Fakt *****

mit dem Standardskalarprodukt. Die Spalten in der beschreibenden Matrix zu bezüglich der Standardbasis sind

und diese bilden nach Voraussetzung ebenfalls eine Orthonormalbasis des . Insbesondere ist

Daher ist

Somit folgt die Aussage aus dem Determinantenmultiplikationssatz und aus Satz 17.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)).


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

In den folgenden Teilaufgaben sollen Dreiecke beschrieben werden, für die jeweils ein Eckpunkt und der Höhenfußpunkt durch diese Ecke ist. Es sind jeweils die beiden anderen Eckpunkte anzugeben.

  1. Ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel in .
  2. Ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel auf der -Achse.
  3. Ein gleichseitiges Dreieck.


Lösung

Die Dreiecksseite gegenüber von liegt auf der -Achse, die weiteren Punkte haben also die Form und .

  1. Bei einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck bilden die Schenkel den rechten Winkel. Daher ist und die Schenkel müssen mit der -Achse einen Winkel von Grad einschließen. Somit sind und die weiteren Eckpunkte.
  2. In diesem Fall muss die Höhe eine Dreiecksseite sein. Daher ist ein Eckpunkt und wegen der Gleichschenkligkeit ist (oder ) der weitere Eckpunkt.
  3. Wegen der Symmetrie in einem gleichseitigen Dreieck ist und die Bedingung der Gleichseitigkeit

    führt auf

    also

    und somit

    Die weiteren Punkte sind also und .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Der sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu jedem Beobachtervektor die Raumkomponente des Beobachters die Spiegelung seiner Zeitkomponente an der Hauptdiagonalen ist.


Lösung

Die Zeitkomponente des Beobachters ist . Dazu senkrecht bezüglich der Minkowski-Form ist , da ja

gilt. Beim Übergang von zu werden die Komponenten vertauscht, und genau dies passiert bei der Achsenspiegelung an der Hauptdiagonalen.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 (2+1+2) Punkte)

Für reelle Zahlen setzen wir , wenn es rationale Zahlen mit derart gibt, dass

ist.

  1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf ist.
  2. Bestimme die Äquivalenzklasse zu .
  3. Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Zahlen, die nicht kommensurabel sind, die aber unter äquivalent sind.


Lösung Reelle Zahlen/Rationale Zahlen/Streckung und Verschiebung/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Red Tearshape.svg

Bestimme die eigentliche und die uneigentliche Symmetriegruppe einer Träne in der Ebene.


Lösung

Die eigentliche Symmetriegruppe besteht allein aus der Identität, die volle Symmetriegruppe besteht aus der Identität und der Achsenspiegelung zur Achse, die (bei einer fallenden Träne) vertikal verläuft.


Aufgabe (7 (3+2+2) Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und eine lineare Abbildung.

  1. Zeige, dass für jeden Vektor die Abschätzung

    genau dann gilt, wenn für die Supremumsnorm

    gilt.

  2. Zeige, dass , wenn es die Bedingungen aus Teil (1) erfüllt, stabil ist.
  3. Man gebe ein Beispiel für ein , das stabil ist, das aber nicht die Eigenschaften aus Teil (1) besitzt.


Lösung

  1. Es sei zunächst die Bedingung für alle Vektoren erfüllt. Dann ist

    Wenn umgekehrt die Supremumsnorm ist, so gilt für jeden Vektor die Abschätzung

  2. Aus

    folgt durch eine einfache Induktion direkt

    für alle . Zu jedem Vektor sind also die Werte unter allen Potenzen von durch beschränkte und somit ist die Abbildung stabil.

  3. Wir betrachten die Matrix , die nach Fakt *****  (5) stabil ist. Der Standardvektor wird dabei auf abgebildet, der in der euklidischen Norm größer als der Ausgangsvektor ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die spaltenstochastische Matrix

Bestimme das minimale derart, dass in der -ten Potenz die Differenz der ersten zur zweiten Spalte bezüglich der Maximumsnorm des ist.


Lösung

Wir schreiben

Es ist

und

die Differenz der Einträge ist und somit größer als in der Maximumsnorm (die erste Differenz ist gleich der zweiten Differenz wegen der stochastischen Eigenschaft).

Es ist

und

die Differenz ist

und daher immer noch größer als in der Maximumsnorm.

Es ist

und

die Differenz ist jetzt

und somit kleiner als in der Maximumsnorm.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die universelle Eigenschaft des Dachprodukts.


Lösung

Wir verwenden die Notation aus Fakt *****. Durch die Zuordnung

wird nach Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) eine -lineare Abbildung

definiert. Da multilinear und alternierend ist, wird unter der Untervektorraum auf abgebildet. Nach Fakt ***** gibt es daher eine -lineare Abbildung

die mit verträglich ist.
Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass die ein Erzeugendensystem von bilden und diese auf abgebildet werden müssen.