Kurs:Lineare Algebra/Teil II/7/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 5 2 4 1 3 4 0 2 0 3 3 2 0 3 38




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Norm zu einem Skalarprodukt auf einem -Vektorraum .
  2. Der Höhenfußpunkt zu einer Seite in einem Dreieck in der euklidischen Ebene.
  3. Der Ausartungsraum zu einer symmetrischen Bilinearform auf einen -Vektorraum .
  4. Ein Ringhomomorphismus

    zwischen Ringen und .

  5. Ein asymptotisch stabiler Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .

  6. Ein Unterkörper eines Körpers .


Lösung

  1. Zu einem Vektor nennt man

    die Norm von .

  2. In einem Dreieck in einer euklidischen Ebene heißt der Schnittpunkt der Höhe durch mit der Geraden durch und der Höhenfußpunkt dieser Höhe.
  3. Der Untervektorraum

    heißt Ausartungsraum zur Bilinearform.

  4. Die Abbildung

    heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

    1. .
  5. Der Endomorphismus heißt asymptotisch stabil, wenn die Folge in gegen die Nullabbildung konvergiert.
  6. Eine Teilmenge eines Körpers heißt Unterkörper von , wenn folgende Eigenschaften gelten.
    1. Es ist .
    2. Mit ist auch .
    3. Mit ist auch .
    4. Mit ist auch .
    5. Mit , ist auch .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Beschreibung von eigentlichen Isometrien im .
  2. Der Trägheitssatz von Sylvester.
  3. Der Homomorphiesatz für Gruppen (Satz vom induzierten Homomorphismus).


Lösung

  1. Es sei

    eine eigentliche Isometrie.

    Dann ist eine Drehung um eine feste Achse.
  2. Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform vom Typ . Dann ist die Gramsche Matrix von bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit positiven und negativen Einträgen.
  3. Seien und Gruppen, es sei ein Gruppenhomomorphismus und ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass
    ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
    derart, dass ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung.


Lösung

Bei ist die Aussage richtig. Sei also und damit auch . Damit hat man die Abschätzungen

Multiplikation mit und Wurzelziehen ergibt das Resultat.


Aufgabe (2 Punkte)

Was bedeutet die Polarisationsformel für ein reelles Skalarprodukt für die Multiplikation von reellen Zahlen?


Lösung

Eindimensional besagt die Polarisationsformel für reelle Zahlen einfach

Insbesondere lässt sich also die reelle Multiplikation auf das Quadrieren, Addieren und Subtrahieren von reellen Zahlen zurückführen.


Aufgabe (4 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.


Lösung

Der Vektor besitzt die Norm , somit ist

der zugehörige normierte Vektor. Der zweite Vektor muss senkrecht zu sein und zusammen mit den Untervektorraum aufspannen. Dies führt zum Ansatz

so dass

und ist. Der normierte Vektor dazu ist

Der dritte Vektor muss senkrecht auf und stehen. Ein solcher Vektor ist offenbar . Daher kann man

als dritten Vektor der Orthonormalbasis nehmen.


Aufgabe (1 Punkt)

Berechne das Kreuzprodukt

im .


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und euklidische Vektorräume und ein Endomorphismus mit adjungiertem Endomorphismus . Es sei eine Isometrie. Zeige, dass der adjungierte Endomorphismus zu

gleich ist.


Lösung

Unter Verwendung der Isometrieeigenschaft und der Adjungiertheit ist

also ist der adjungierte Endomorphismus zu gleich ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien reelle Zahlen mit . Zeige, dass die Abbildung

ein innerer Automorphismus ist.


Lösung

Die Matrix ist invertierbar und die inverse Matrix ist . Mit dieser Matrix ist

somit handelt es sich bei der Abbildung um die Konjugation mit der invertierbaren Matrix .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Seien und Mengen und sei eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung

wenn

eine Äquivalenzrelation auf definiert wird.


Lösung

Da der Funktionswert eindeutig bestimmt und die Gleichheit reflexiv ist, gilt offenbar . Wenn ist, so bedeutet das und wegen der Symmetrie der Gleichheit folgt , was wiederum bedeutet. Wenn und ist, so bedeutet dies einerseits und andererseits . Wegen der Transitivität der Gleichheit folgt , was bedeutet.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und . Zeige, dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist. Beschreibe das Bild und den Kern dieser Abbildung.


Lösung

Für Elemente ist nach dem Distributivgesetz

und genau dies besagt, dass ein Gruppenhomomorphismus vorliegt. Das Bild besteht aus allen Elementen der Form

dies ist genau das von erzeugte Hauptideal . Der Kern besteht aus allen Elementen der Form

das sind also alle Elemente, die bei Multiplikation mit die ergeben.


Aufgabe (3 Punkte)

Die zyklische Gruppe , die Diedergruppe und die Würfelgruppe besitzen Elemente und treten als endliche eigentliche Symmetriegruppe im auf. Begründe, dass diese Gruppen untereinander nicht isomorph sind.


Lösung

In der zyklischen Gruppe gibt es Elemente mit der Ordnung . Die Diedergruppe enthält die zyklische Gruppe und damit auch Elemente der Ordnung , sie ist aber selbst nicht zyklisch und enthält keine Elemente der Ordnung . Die Würfelgruppe ist isomorph zur Permutationsgruppe . Dort treten nur die Ordnungen auf. Daher sind diese drei Gruppen nicht isomorph.


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine spaltenstochastische Matrix derart, dass die Folge der Potenzen nicht konvergiert.


Lösung

Betrachte

Die Folgenglieder sind dann abwechselnd gleich oder gleich . Eine solche Folge konvergiert nicht in einem normierten Raum, da sie zwei verschiedene Häufungspunkte besitzt.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen von und von durch die Matrix beschrieben werde. Es sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass die -lineare Abbildung

bezüglich der -Basen von und von ebenfalls durch die Matrix beschrieben wird.


Lösung

Wegen Fakt ***** liegen in der Tat Basen vor. Das Basiselement von wird unter auf

abgebildet. Somit wird das Basiselement von unter auf

Die Koeffizienten konstituieren also die beschreibende Matrix von .