Lösung
- Zu einem Vektor nennt man
-
die Norm von .
- In einem
Dreieck
in einer
euklidischen Ebene
heißt der Schnittpunkt der
Höhe
durch mit der Geraden durch
und
der
Höhenfußpunkt
dieser Höhe.
- Der
Untervektorraum
-
heißt
Ausartungsraum
zur Bilinearform.
- Die Abbildung
-
heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:
-
-
- .
- Der Endomorphismus heißt
asymptotisch stabil,
wenn die Folge in gegen die
Nullabbildung konvergiert.
- Eine Teilmenge
eines
Körpers
heißt
Unterkörper
von , wenn folgende Eigenschaften gelten.
- Es ist .
- Mit ist auch .
- Mit ist auch .
- Mit ist auch .
- Mit , ist auch .
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Beschreibung von eigentlichen Isometrien im .
- Der
Trägheitssatz von Sylvester.
- Der
Homomorphiesatz
für Gruppen
(Satz vom induzierten Homomorphismus).
Lösung
- Es sei
-
eine
eigentliche Isometrie.
Dann ist eine Drehung um eine feste Achse.
- Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum
mit einer
symmetrischen
Bilinearform
vom
Typ
. Dann ist die
Gramsche Matrix
von bezüglich einer jeden
Orthogonalbasis
eine
Diagonalmatrix
mit positiven und negativen Einträgen.
- Seien
und
Gruppen,
es sei
ein
Gruppenhomomorphismus
und
ein
surjektiver
Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass
-
ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
-
derart, dass ist.
Beweise die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung.
Lösung
Bei
ist die Aussage richtig. Es sei also
und damit auch
.
Damit hat man die Abschätzungen
Multiplikation mit und Wurzelziehen ergibt das Resultat.
Was bedeutet
die Polarisationsformel
für ein reelles Skalarprodukt für die Multiplikation von reellen Zahlen?
Lösung
Eindimensional besagt die Polarisationsformel für reelle Zahlen einfach
-
Insbesondere lässt sich also die reelle Multiplikation auf das Quadrieren, Addieren und Subtrahieren von reellen Zahlen zurückführen.
Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis
-
des an.
Lösung
Der Vektor besitzt die Norm , somit ist
-
der zugehörige normierte Vektor. Der zweite Vektor muss senkrecht zu sein und zusammen mit den Untervektorraum aufspannen. Dies führt zum Ansatz
-
sodass
-
und ist. Der normierte Vektor dazu ist
-
Der dritte Vektor muss senkrecht auf
und
stehen. Ein solcher Vektor ist offenbar . Daher kann man
-
als dritten Vektor der Orthonormalbasis nehmen.
Berechne das
Kreuzprodukt
-
im .
Lösung
Es ist
-
Lösung
Unter Verwendung der Isometrieeigenschaft und der Adjungiertheit ist
also ist der adjungierte Endomorphismus zu gleich ist.
Es seien reelle Zahlen mit
.
Zeige, dass die Abbildung
-
ein
innerer Automorphismus
ist.
Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Es sei ein
kommutativer Ring
und . Zeige, dass die Abbildung
-
ein
Gruppenhomomorphismus
ist. Beschreibe das
Bild
und den
Kern
dieser Abbildung.
Lösung
Für Elemente ist nach dem Distributivgesetz
-
und genau dies besagt, dass ein Gruppenhomomorphismus vorliegt. Das Bild besteht aus allen Elementen der Form
-
dies ist genau das von erzeugte Hauptideal . Der Kern besteht aus allen Elementen der Form
-
das sind also alle Elemente, die bei Multiplikation mit die ergeben.
Lösung
Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Es seien ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum
und
-
eine
lineare Abbildung,
die bezüglich der
Basen
von und von durch die Matrix beschrieben werde. Es sei
eine
Körpererweiterung.
Zeige, dass die -lineare Abbildung
-
bezüglich der -Basen von und von ebenfalls durch die Matrix beschrieben wird.
Lösung