Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 38/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass ein Skalarprodukt eine nicht-ausgeartete Bilinearform ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Bilinearform auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum. Zeige, dass die Form genau dann linksausgeartet ist, wenn sie rechtsausgeartet ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Betrachte die Linearform
- Bestimme den Vektor mit der Eigenschaft
wobei das Standardskalarprodukt bezeichnet.
- Es sei
und es sei die Einschränkung von auf . Bestimme den Vektor mit der Eigenschaft
wobei die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf bezeichnet.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein euklidischer Vektorraum und ein Untervektorraum, der mit dem induzierten Skalarprodukt versehen sei. Es sei
eine Linearform und der zugehörige Gradient im Sinne von Korollar 38.6. Zeige, dass der Gradient zur Einschränkung die orthogonale Projektion von auf ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die Gramsche Matrix des Standardskalarproduktes im bezüglich der Basis und .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler - Vektorraum und eine Bilinearform auf . Zeige, dass genau dann symmetrisch ist, wenn es eine Basis von mit
für alle gibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum mit einer Bilinearform . Zeige, dass diese Form genau dann symmetrisch ist, wenn die Gramsche Matrix von ihr bezüglich einer Basis symmetrisch ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Determinante in der Dimension zwei, also die Abbildung
keine symmetrische Bilinearform ist.
Aufgabe Aufgabe 38.11 ändern
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf . Zeige, dass der Ausartungsraum ein Untervektorraum von ist.
Aufgabe Aufgabe 38.12 ändern
Es sei ein Körper mit einer von verschiedenen Charakteristik und sei eine symmetrische Bilinearform auf einem - Vektorraum . Zeige
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zeige, dass es eine Bilinearform auf einem Vektorraum geben kann, die nicht die Nullform ist, für die aber
für alle ist.
Aufgabe * Aufgabe 38.14 ändern
Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler - Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf . Zeige, dass eine Orthogonalbasis besitzt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Untersuche, welche der folgenden Abbildungen bilinear sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften alternierend und symmetrisch.
- .
- .
- .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Untersuche, welche der folgenden Abbildungen bilinear sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften alternierend und symmetrisch.
- .
- .
- .
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die Gramsche Matrix des Standardskalarproduktes im bezüglich der Basis und .
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper, dessen Charakteristik nicht sei. Es sei eine Bilinearform auf einem - Vektorraum , die sowohl symmetrisch als auch alternierend sei. Zeige, dass es sich um die Nullform handelt.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass der Ausartungsraum zu einer symmetrischen Bilinearform auf einem - Vektorraum gleich dem Kern der linearen Abbildung
ist.
Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Linearform
- Bestimme den Linksgradienten von bezüglich der Determinante.
- Bestimme den Rechtsgradienten von bezüglich der Determinante.
- Bestimme den Gradienten von bezüglich des Standardskalarproduktes.
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