Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Vorlesung 56

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Basiswechsel bei Tensorprodukten



Lemma  

Es sei ein Körper und seien [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
MDLUL/
Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|endlichdimensionale]] Vektorräume über . Es seien , und , Basen von mit den Basiswechselmatrizen

Dann ist die Basiswechselmatrix (mit ) zwischen den Basen

des Tensorproduktes durch die -Matrix mit den Einträgen

beschrieben.

Beweis  

Nach der Definition 9.2 der Basiswechselmatrix ist

Somit ist unter Verwendung von Lemma 55.9  (3)

und diese Koeffizienten bilden die Basiswechselmatrix.



Beispiel  

Wir betrachten den mit den Basen und der Standardbasis und als reellen Vektorraum mit den Basen und . Damit sind die Basiswechselmatrizen, wie sie in Lemma 56.1 auftreten, gleich

und

Wir folgen der Anordnung und erhalten die Basiswechselmatrix

In der zweiten Spalte steht beispielsweise, wie man als Linearkombination der ausdrückt.




Tensorprodukt und Dualraum



Satz  

Es sei ein Körper und seien endlichdimensionale Vektorräume über .

Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

Beweis  

Für fixierte Linearformen ist die Abbildung

nach Aufgabe 16.36 multilinear und definiert daher eine Linearform auf . Dies ergibt die Abbildung

Diese Gesamtzuordnung ist ebenfalls multilinear und ergibt somit eine lineare Abbildung

Nach Korollar 55.13 und Korollar 13.12 haben die Räume die gleiche Dimension. Es seien , , Basen der . Dann bilden die nach Satz 55.12  (3) eine Basis von und die Dualbasis dazu eine Basis des Dualraumes. Wir behaupten die Gleichheit der linearen Abbildungen

Diese ergibt sich, da beide Abbildungen, angewendet auf die Basiselemente , bei den Wert und andernfalls den Wert ergeben. Daher ist surjektiv und damit auch injektiv.



Lemma

Es sei ein Körper und seien -Vektorräume. Dann gelten folgende Aussagen (im Sinne einer kanonischen Isomorphie).

  1. Es ist
  2. Es ist

Beweis

Siehe Aufgabe 56.2.




Tensorprodukte von linearen Abbildungen



Lemma  

Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Es seien

-lineare Abbildungen.

Dann gibt es eine wohldefinierte lineare Abbildung

mit

Beweis  

Die Gesamtabbildung

ist nach Aufgabe 16.28 multilinear. Dies induziert nach Lemma 55.4 eine lineare Abbildung



Definition  

Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Zu -linearen Abbildungen

heißt die lineare Abbildung

das Tensorprodukt der . Es wird mit bezeichnet.



Proposition  

Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Zu einer -linearen Abbildung gibt es eine natürliche -lineare Abbildung .
  2. Wenn surjektiv ist, ist auch surjektiv.
  3. Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.

Beweis  

(1). Dies ist ein Spezialfall von Lemma 56.5.

(2). Die Surjektivität der Abbildung

ist klar, da die ein -Erzeugendensystem von bilden und diese im Bild der Abbildung liegen.

(3). Wegen der Injektivität können wir

als Untervektorraum auffasen. Eine Basis , , von können wir zu einer Basis , , mit von ergänzen. Sei , , eine Basis von . Dann ist nach Satz 55.12 die Familie , , eine Basis von und , , ist eine Teilmenge davon, die eine Basis von ist. Also wird unter

eine Basis auf linear unabhängige Elemente abgebildet und somit ist diese Abbildung injektiv.

Von daher werden wir zu Untervektorräumen das Tensorprodukt als Untervektorraum von auffassen.



Korollar

Es sei ein Körper und seien -Vektorräume.

Dann ist

Beweis

Siehe Aufgabe 56.5.




Körperwechsel

Schon häufig haben wir ein reelles Problem dadurch vereinfacht, dass wir es als Problem über den komplexen Zahlen aufgefasst haben. Wenn die Situation mit einer reellen Matrix formuliert werden kann, so kann man diese direkt als eine komplexe Matrix auffassen und dafür die (nichtreellen) komplexen Eigenwerte berechnen und ähnliches. Matrizen sind im Allgemeinen von der Wahl von Basen abhängige Beschreibungen mathematischer Objekte. Mit dem Tensorprodukt kann man den Übergang zum Komplexen auf der Ebene der Objekte selbst sinnvoll beschreiben. Wir betrachten daher hier den Fall des Tensorproduktes, wenn über ein -Vektorraum und eine Körpererweiterung vorliegt. Wir fixieren die verwendeten Sprechweisen.


Definition  

Eine Teilmenge eines Körpers heißt Unterkörper von , wenn folgende Eigenschaften gelten.

  1. Es ist .
  2. Mit ist auch .
  3. Mit ist auch .
  4. Mit ist auch .
  5. Mit , ist auch .

Definition  

Sei ein Körper und ein Unterkörper von . Dann heißt ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von und die Inklusion heißt eine Körpererweiterung.



Lemma  

Sei eine Körpererweiterung.

Dann ist in natürlicher Weise ein -Vektorraum.

Beweis  

Die Skalarmultiplikation

wird einfach durch die Multiplikation in gegeben. Die Vektorraumaxiome folgen dann direkt aus den Körperaxiomen.



Definition  

Zu einem -Vektorraum über einem Körper und einer Körpererweiterung nennt man den durch Körperwechsel gewonnenen -Vektorraum.

Statt schreibt man auch .



Proposition  

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und eine Körpererweiterung. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Das Tensorprodukt ist ein -Vektorraum.
  2. Es gibt eine kanonische -[[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|lineare Abbildung]]

    Bei ist dies ein Isomorphismus.

  3. Zu einer -[[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|linearen Abbildung]] ist die induzierte Abbildung

    eine -lineare Abbildung.

  4. Zu ist
  5. Zu einem endlichdimensionalen -Vektorraum ist
  6. Zu einer weiteren Körpererweiterung ist

    (eine Isomorphie von -Vektorräumen).

Beweis  

(1). Die Multiplikation

ist -bilinear und insbesondere -bilinear und führt nach Lemma 55.4 zu einer -[[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
MDLUL/
Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|linearen Abbildung]]

Dies induziert nach Lemma 56.4  (2) und nach Proposition 56.7 eine -[[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
MDLUL/
Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|lineare Abbildung]]

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle L \otimes_{ K } { \left( L {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>| \otimes_{ } | \otimes }} V \right) } \cong { \left( L {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>| \otimes_{ } | \otimes }} L \right) } \otimes_{ K } V \longrightarrow L \otimes_{ K } V . }

Dies ergibt eine wohldefinierte Skalarmultiplikation

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle L \times { \left(L {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>| \otimes_{ } | \otimes }} V \right) } \longrightarrow { \left( L {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>| \otimes_{ } | \otimes }} V \right) } , }

die explizit durch

gegeben ist. Aus dieser Beschreibung folgen direkt die Eigenschaften einer Skalarmultiplikation.
(2). Die -Homomorphie folgt direkt aus der Bilinearität des Tensorprodukts. Bei ist die Abbildung surjektiv. Die Skalarmultiplikation induziert eine -[[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
MDLUL/
Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|lineare Abbildung]]

Die Verknüpfung der kanonischen Abbildung mit dieser Abbildung ist die Identität auf , so dass die erste Abbildung auch injektiv ist.
(3) folgt aus der expliziten Beschreibung in (1).
(4) folgt aus Korollar 56.8.
(5) folgt aus (4).
(6). Nach Teil (2) haben wir einerseits eine -lineare Abbildung . Dies führt zu einer -multilinearen Abbildung

die eine -lineare Abbildung

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle M \otimes_{ K } V \longrightarrow M \otimes_{ L } { \left( L {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>| \otimes_{ } | \otimes }} V \right) } }

induziert. Andererseits haben wir eine -lineare Abbildung

Rechts steht ein -Vektorraum, daher kann man die Skalarmultiplikation als eine -multilineare Abbildung

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle M \times { \left( L {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>| \otimes_{ } | \otimes }}V \right) } \longrightarrow L \otimes_{ K } V }

auffassen, die ihrerseits zu einer -linearen Abbildung

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle M \otimes_{ L } { \left( L {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>| \otimes_{ } | \otimes }} V \right) } \longrightarrow L \otimes_{ K } V }

führt. Diese beiden Abbildungen sind invers zueinander, was man auf den zerlegbaren Tensoren überprüfen kann. Daran sieht man auch, dass sich die -Multiplikationen entsprechen.



Lemma

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und eine Körpererweiterung. Es sei , , eine Familie von Vektoren aus . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Die Familie , , ist genau dann ein -[[{{:MDLUL/MDLUL/ ()|opt=Ziel}}|]] von , wenn , , ein -Erzeugendensystem von ist.
  2. Die Familie , , ist genau dann -[[{{:MDLUL/MDLUL/|opt=Ziel}}|]] (über ) in , wenn , , linear unabhängig (über ) in ist.
  3. Die Familie , , ist genau dann ein -[[{{:MDLUL/MDLUL/ ()|opt=Ziel}}|]] von , wenn , , ein -Basis von ist.

Beweis

Siehe Aufgabe 56.15.

Beispiel  

Es sei ein reeller Vektorraum. Die Tensorierung mit der -Algebra , also

nennt man die Komplexifizierung von . Wenn die Dimension besitzt, so besitzt als komplexer Vektorraum ebenfalls die Dimension . Wenn man als reellen Vektorraum betrachtet, so besitzt er die reelle Dimension .



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