Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Vorlesung 11/kontrolle
- Untervektorräume unter linearen Abbildungen
Eine typische und wohl auch namensgebende Eigenschaft einer linearen Abbildung ist, dass sie Geraden wieder auf Geraden (oder Punkte) abbildet. Allgemeiner ist folgende Aussage.
Lemma Lemma 11.1 ändern
Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und
sei eine - lineare Abbildung. Dann gelten folgende Aussagen.
- Für einen Untervektorraum ist auch das Bild ein Untervektorraum von .
- Insbesondere ist das Bild der Abbildung ein Untervektorraum von .
- Für einen Untervektorraum ist das Urbild ein Untervektorraum von .
- Insbesondere ist ein Untervektorraum von .
Beweis
Definition Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und
sei eine - lineare Abbildung. Dann nennt man
den Kern von .
Der Kern ist also nach der obigen Aussage ein Untervektorraum von .
Bemerkung Referenznummer erstellen
Zu einer - Matrix ist der Kern der durch gegebenen linearen Abbildung
einfach der Lösungsraum des homogenen linearen Gleichungssystems
Wichtig ist das folgende Injektivitätskriterium.
Lemma Lemma 11.4 ändern
Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und
sei eine - lineare Abbildung.
Dann ist genau dann injektiv, wenn ist.
Beweis
Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben
keinen weiteren Vektor
mit
geben. Also ist
.
Es sei umgekehrt
und seien
gegeben mit
.
Dann ist wegen der Linearität
Daher ist
und damit
.
- Die Dimensionsformel
Die folgende Aussage heißt Dimensionsformel.
Satz Satz 11.5 ändern
Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und
sei eine - lineare Abbildung und sei endlichdimensional.
Dann gilt
Beweis
Es sei . Es sei der Kern der Abbildung und seine Dimension ().
Es seiBasis von . Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es Vektoren
derart, dass
eine Basis von ist. Wir behaupten, dass
eine Basis des Bildes ist. Es sei ein Element des Bildes . Dann gibt es ein mit . Dieses lässt sich mit der Basis als
schreiben. Dann ist
so dass sich als Linearkombination der schreiben lässt. Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit der , , sei eine Darstellung der Null gegeben,
Dann ist
Also gehört zum Kern der Abbildung und daher kann man
schreiben. Da insgesamt eine Basis von vorliegt, folgt, dass alle Koeffizienten sein müssen, also sind insbesondere .
Definition Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und
sei eine - lineare Abbildung und sei endlichdimensional. Dann nennt man
den Rang von .
Die Dimensionsformel kann man auch als
ausdrücken.
Bemerkung Referenznummer erstellen
Es sei eine lineare Abbildung mit endlichdimensional. Die Dimensionsformel besitzt die folgenden Spezialfälle. Wenn die Nullabbildung ist, so ist und
Wenn injektiv ist, so ist und
Der Rang liegt stets zwischen und der Dimension des Ausgangsraumes . Wenn surjektiv ist, so ist
und
Beispiel Referenznummer erstellen
Wir betrachten die durch die Matrix
gegebene lineare Abbildung
Zur Bestimmung des Kerns müssen wir das homogene lineare Gleichungssystem
lösen. Der Lösungsraum ist
und dies ist der Kern von . Der Kern ist also eindimensional und daher ist die Dimension des Bildes nach der Dimensionsformel gleich .
Korollar Korollar 11.9 ändern
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der gleichen Dimension . Es sei
eine lineare Abbildung.
Beweis
Dies folgt aus Satz 11.5 und Lemma 11.4.
- Verknüpfung von linearen Abbildungen und Matrizen
In der letzten Vorlesung haben wir unter der Voraussetzung, dass Basen fixiert sind, die Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen besprochen. Diese Korrespondenz berücksichtigt auch Hintereinanderschaltungen und Matrizenmultiplikation, wie das folgenden Lemma zeigt.
Lemma Lemma 11.10 ändern
Bei der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen entsprechen sich die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen und die Matrizenmultiplikation.
Damit ist folgendes gemeint: es seien Vektorräume über einem Körper mit Basen
Es seien
lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von und der Hintereinanderschaltung die Beziehung
Beweis
Wir betrachten das kommutative Diagramm
wobei die Kommutativität auf der Beziehung
aus Lemma 10.14 beruht. Dabei sind die (inversen) Koordinatenabbildungen jeweils bijektiv, und somit ist
Also ist insgesamt
wobei hier überall die Abbildungsverknüpfung steht. Nach Aufgabe 10.23 stimmt die letzte Verknüpfung mit dem Matrixprodukt überein.
Daraus folgt beispielsweise, dass das Produkt von Matrizen assoziativ ist.
- Lineare Abbildungen und Basiswechsel
Lemma Lemma 11.11 ändern
Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale - Vektorräume. Es seien und Basen von und und Basen von . Es sei
eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen und durch die Matrix beschrieben werde.
Dann wird bezüglich der Basen und durch die Matrix
beschrieben, wobei und die Übergangsmatrizen sind, die die Basiswechsel von nach und von nach beschreiben.
Beweis
Die linearen Standardabbildungen bzw. zu den Basen seien mit bezeichnet. Wir betrachten das kommutative Diagramm
wobei die Kommutativität auf Lemma 9.1 und Lemma 10.14 beruht. In dieser Situation ergibt sich insgesamt
Korollar Korollar 11.12 ändern
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung. Es seien und Basen von .
Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich bzw. (beidseitig) beschreiben, die Beziehung
Beweis
Dies folgt direkt aus Lemma 11.11.
Es ist eine wichtige Zielsetzung dieser Vorlesung, zu einer gegebenen linearen Abbildung
eine Basis
derart zu finden, dass die beschreibende Matrix „möglichst einfach“ wird.