Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Vorlesung 30

Affine Erzeugendensysteme

Lemma

Es sei $E$ ein affiner Raum über dem $K$ -Vektorraum $V$ .

Dann ist der Durchschnitt von einer Familie $F_{i} \subseteq E$ , $i \in I$ , von affinen Unterräumen wieder affin.

Beweis

Wenn der Durchschnitt leer ist, so gilt die Aussage nach Definition. Es sei $P \in ⋂_{i \in I} F_{i}$ . Wir können die affinen Unterräume als

F_{i} = P + U_{i}

mit Untervektorräumen $U_{i} \subseteq V$ schreiben. Sei

U = ⋂_{i \in I} U_{i},

was nach Lemma 6.16 (1) ein Untervektorraum ist. Wir behaupten

⋂_{i \in I} F_{i} = P + U .

Aus $Q \in ⋂_{i \in I} F_{i}$ folgt

Q = P + u

mit $u \in ⋂_{i \in I} U_{i}$ , sodass $Q \in P + U$ liegt. Umgekehrt folgt aus $Q \in P + U$ direkt $Q \in P + U_{i} = F_{i}$ .

◻

Insbesondere gibt es zu jeder Teilmenge $T \subseteq E$ in einem affinen Raum $E$ einen kleinsten affinen Unterraum, der $T$ umfasst.

Lemma

Es sei $E$ ein affiner Raum über dem $K$ -Vektorraum $V$ und $T \subseteq E$ eine Teilmenge.

Dann besteht der kleinste affine Unterraum $F \subseteq E$ von $E$ , der $T$ umfasst, aus allen baryzentrischen Kombinationen

$\sum_{i = 1}^{n} a_{i} P_{i} mit P_{i} \in T und \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = 1.$

Die angegebene Menge enthält die einzelnen Punkte aus $T$ , da man als baryzentrisches Koordinatentupel insbesondere ein Standardtupel nehmen kann. Daher ergibt sich die Behauptung aus Lemma 29.14 und Aufgabe 29.20.

◻

Definition

Es sei $E$ ein affiner Raum über dem $K$ -Vektorraum $V$ und sei $F \subseteq E$ ein affiner Unterraum. Eine Familie von Punkten $P_{i} \in F$ , $i \in I$ , heißt affines Erzeugendensystem von $F$ , wenn $F$ der kleinste affine Unterraum von $E$ ist, der alle Punkte $P_{i}$ umfasst.

Ein Punkt erzeugt als affinen Raum den Punkt selbst, zwei Punkte erzeugen die Verbindungsgerade.

Affine Unabhängigkeit

Definition

Es sei $E$ ein affiner Raum über einem $K$ -Vektorraum $V$ und es sei

P_{1}, \dots, P_{n}

eine endliche Familie von Punkten aus $E$ . Man nennt die Punktfamilie affin-unabhängig, wenn eine Gleichheit

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} P_{i} = \sum_{i = 1}^{n} b_{i} P_{i}

mit

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} = \sum_{i = 1}^{n} b_{i} = 1

nur bei

a_{i} = b_{i}

für alle $i = 1, \dots, n$ möglich ist.

Lemma

Es sei $E$ ein affiner Raum über einem $K$ -Vektorraum $V$ und es sei

P_{1}, \dots, P_{n}

eine endliche Familie von Punkten aus $E$ . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

Die Punkte $P_{1}, \dots, P_{n}$ sind affin unabhängig.

Für jedes $i \in {1, \dots, n}$ ist die Vektorfamilie
$\vec{P_{i} P_{1}}, \dots, \vec{P_{i} P_{i - 1}}, \vec{P_{i} P_{i + 1}}, \dots, \vec{P_{i} P_{n}}$

linear unabhängig.

Es gibt ein $i \in {1, \dots, n}$ derart, dass die Vektorfamilie
$\vec{P_{i} P_{1}}, \dots, \vec{P_{i} P_{i - 1}}, \vec{P_{i} P_{i + 1}}, \dots, \vec{P_{i} P_{n}}$

linear unabhängig ist.

Die Punkte $P_{1}, \dots, P_{n}$ bilden in dem von ihnen erzeugten affinen Unterraum eine affine Basis.

Beweis

Siehe Aufgabe 30.3.

◻

Affine Abbildungen

Definition

Es sei $K$ ein Körper und seien $E$ und $F$ affine Räume über den Vektorräumen $V$ bzw. $W$ . Eine Abbildung

ψ : E ⟶ F

heißt affin (oder affin-lineare Abbildung), wenn es eine lineare Abbildung

φ : V ⟶ W

mit

ψ (P + v) = ψ (P) + φ (v)

für alle $P \in E$ und $v \in V$ gibt.

Es genügt, diese Bedingung für einen einzigen Punkt und alle Vektoren zu überprüfen, siehe Aufgabe 30.7.

Bemerkung

Eine Abbildung

ψ : E ⟶ F

ist genau dann affin-linear mit linearem Anteil $φ$ , wenn das Diagramm

\begin{matrix} V \times E & \overset{+}{⟶} & E \\ φ \times ψ ↓ & ↓ ψ \\ W \times F & \overset{+}{⟶} & F \end{matrix}

kommutiert. Zu einer affin-linearen Abbildung

ψ : E ⟶ F

ist der lineare Anteil (bei $E \neq \emptyset$ )

φ : V ⟶ W

eindeutig bestimmt. Es ist nämlich notwendigerweise

φ (v) = \vec{ψ (P) ψ (P + v)}

für einen beliebigen Punkt $P \in E$ . Daher bezeichnen wir den linearen Anteil mit $ψ_{0}$ . Für zwei Punkte $P, Q \in E$ gilt insbesondere

ψ_{0} (\vec{P Q}) = \vec{ψ (P) ψ (Q)} .

Beispiel

Wenn man Vektorräume $V$ und $W$ über $K$ als affine Räume auffasst, so besitzen die affin-linearen Abbildungen von $V$ nach $W$ die Form

ψ : V ⟶ W, v ⟼ φ (v) + w,

mit einer linearen Abbildung $φ : V \to W$ und einem fixierten Verschiebungsvektor $w \in W$ . Insbesondere haben die affin-linearen Abbildungen von $K$ nach $K$ die Form

ψ : K ⟶ K, x ⟼ a x + b,

mit $a, b \in K$ .

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und seien $E, F$ und $G$ affine Räume über den Vektorräumen $U, V$ bzw. $W$ . Dann gelten folgende Aussagen.

Die Identität
${Id}_{E} : E ⟶ E$

ist affin-linear.

Die Verknüpfung von affin-linearen Abbildungen
$E ⟶ F$

und

$F ⟶ G$

ist wieder affin-linear.

Zu einer bijektiven affin-linearen Abbildung
$ψ : E ⟶ F$

ist auch die Umkehrabbildung affin-linear.

Zu $v \in V$ ist die Verschiebung
$E ⟶ E, P ⟼ P + v,$

affin-linear.

Eine lineare Abbildung ist affin-linear.

Beweis

Diese Eigenschaften folgen unmittelbar aus der Definition.

◻

Lemma

Es seien $E$ und $F$ affine Räume über einem Körper $K$ und sei

ψ : E ⟶ F

eine Abbildung.

Dann ist $ψ$ genau dann affin-linear, wenn für jede baryzentrische Kombination $\sum_{i \in I} a_{i} P_{i}$ mit $P_{i} \in E$ die Gleichheit

$ψ (\sum_{i \in I} a_{i} P_{i}) = \sum_{i \in I} a_{i} ψ (P_{i})$

gilt.

Beweis

Es seien $V$ und $W$ die Vektorräume zu $E$ bzw. zu $F$ . Es sei zunächst $ψ$ affin-linear mit linearem Anteil

ψ_{0} : V ⟶ W

und eine baryzentrische Kombination $\sum_{i \in I} a_{i} P_{i}$ mit $P_{i} \in E$ und $\sum_{i \in I} a_{i} = 1$ gegeben. Dann ist (mit einem beliebigen Punkt $Q \in E$ )

\begin{matrix} ψ (\sum_{i \in I} a_{i} P_{i}) & = ψ (Q + \sum_{i \in I} a_{i} \vec{Q P_{i}}) \\ = ψ (Q) + ψ_{0} (\sum_{i \in I} a_{i} \vec{Q P_{i}}) \\ = ψ (Q) + \sum_{i \in I} a_{i} ψ_{0} (\vec{Q P_{i}}) \\ = ψ (Q) + \sum_{i \in I} a_{i} \vec{ψ (Q) ψ (P_{i})} \\ = \sum_{i \in I} a_{i} ψ (P_{i}) . \end{matrix}

Es sei nun umgekehrt die Abbildung $ψ$ mit den baryzentrischen Kombinationen verträglich. Wir setzen

φ (v) := \vec{ψ (P) ψ (P + v)}

für $v \in V$ , mit einem $P \in E$ . Wir zeigen zunächst, dass dies unabhängig von dem gewählten Punkt $P$ ist. Für einen weiteren Punkt $Q \in E$ ist

(P + v) - (Q + v) + Q

eine baryzentrische Kombination für den Punkt $P$ , siehe Aufgabe 29.15. Daher ist in $F$

ψ (P + v) - ψ (Q + v) + ψ (Q) = ψ (P) .

Somit ist in $V$

\vec{ψ (P) ψ (P + v)} - \vec{ψ (P) ψ (Q + v)} + \vec{ψ (P) ψ (Q)} = 0

und daher

\begin{matrix} \vec{ψ (P) ψ (P + v)} & = \vec{ψ (P) ψ (Q + v)} - \vec{ψ (P) ψ (Q)} \\ = \vec{ψ (P) ψ (Q + v)} + \vec{ψ (Q) ψ (P)} \\ = \vec{ψ (Q) ψ (Q + v)} . \end{matrix}

Es bleibt zu zeigen, dass $φ$ linear ist. Für $u = \vec{P Q}$ und $v = \vec{P R}$ ist

\begin{matrix} ψ (P) + φ (a u + b v) & = ψ (P + a u + b v) \\ = ψ (P + a \vec{P Q} + b \vec{P R}) \\ = ψ ((1 - a - b) P + a Q + b R) \\ = (1 - a - b) ψ (P) + a ψ (Q) + b ψ (R) \\ = ψ (P) + a \vec{ψ (P) ψ (Q)} + b \vec{ψ (P) ψ (R)} \\ = ψ (P) + a φ (\vec{P Q}) + b φ (\vec{P R}) \\ = ψ (P) + a φ (u) + b φ (v) . \end{matrix}

Also ist

φ (a u + b v) = a φ (u) + b φ (v) .

◻

Definition

Es sei $K$ ein Körper und seien $E$ und $F$ affine Räume über den $K$ -Vektorräumen $V$ bzw. $W$ . Eine bijektive affine Abbildung

ψ : E ⟶ F

heißt affiner Isomorphismus.

In einem gewissen Sinne setzen sich affin-lineare Abbildungen aus Verschiebungen und aus linearen Abbildungen zusammen.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und sei $E$ ein affiner Raum über dem Vektorraum $V$ . Es sei $P \in E$ .

Dann entsprechen sich die affin-linearen Abbildungen

$ψ : E ⟶ E$

mit $P$ als Fixpunkt und die linearen Abbildungen

$φ : V ⟶ V .$

Beweis

Die Zuordnung ist durch $ψ \mapsto ψ_{0}$ gegeben. Wir müssen zeigen, dass es zu jeder linearen Abbildung $φ : V \to V$ eine eindeutige affin-lineare Abbildung

ψ : E ⟶ E

mit diesem linearen Anteil gibt. Wegen

ψ (Q) = ψ (P) + φ (\vec{P Q}) = P + φ (\vec{P Q})

kann es nur eine affin-lineare Abbildung geben, und durch diese Vorschrift kann man die Abbildung auch definieren.

◻

Der folgende Satz heißt Festlegungssatz für affine Abbildungen und ist analog zu Satz 10.10.

Satz

Es sei $K$ ein Körper und seien $E$ und $F$ affine Räume über den Vektorräumen $V$ bzw. $W$ . Es sei $P_{i}$ , $i \in I$ , eine affine Basis von $E$ und $Q_{i}$ , $i \in I$ , eine Familie von Punkten in $F$ .

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte affin-lineare Abbildung

$ψ : E ⟶ F$

mit

$ψ (P_{i}) = Q_{i}$

für alle $i \in I$ .

Beweis

Es sei $i_{0} \in I$ . Es gibt nach Satz 10.10 eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

φ : V ⟶ W

mit

φ (\vec{P_{i_{0}} P_{i}}) = \vec{Q_{i_{0}} Q_{i}},

für alle $i \in I ∖ {i_{0}}$ . Dann ist

ψ (R) = Q_{i_{0}} + φ (\vec{P_{i_{0}} R})

eine affin-lineare Abbildung mit der gewünschten Eigenschaft. Es ist ja

ψ (P_{i_{0}}) = Q_{i_{0}} + φ (\vec{P_{i_{0}} P_{i_{0}}}) = Q_{i_{0}}

und

ψ (P_{i}) = Q_{i_{0}} + φ (\vec{P_{i_{0}} P_{i}}) = Q_{i_{0}} + \vec{Q_{i_{0}} Q_{i}} = Q_{i} .

Umgekehrt ist eine solche affine Abbildung $ψ$ durch den linearen Anteil und durch den Wert an einem einzigen Punkt eindeutig festgelegt, sodass

ψ_{0} = φ

sein muss.

◻

Korollar

Es sei $K$ ein Körper und sei $E$ ein affiner Raum mit einer affinen Basis $P_{1}, \dots, P_{n}, P_{n + 1}$ .

Dann ist die Abbildung

$E ⟶ K^{n + 1}, P ⟼ (a_{1}, \dots, a_{n}, a_{n + 1}),$

wobei $a_{i}$ die baryzentrischen Koordinaten von $P$ sind, eine affin-lineare Abbildung, die eine affine Isomorphie zwischen $E$ und dem affinen Unterraum $F \subset K^{n + 1}$ stiftet, der durch

$F = {x \in K^{n + 1} ∣ \sum_{i = 1}^{n + 1} x_{i} = 1}$

gegeben ist. Der Vektorraum zu $F$ ist

$W = {x \in K^{n + 1} ∣ \sum_{i = 1}^{n + 1} x_{i} = 0} .$

Beweis

Nach Satz 30.13 gibt es eine eindeutig bestimmte affin-lineare Abbildung

E ⟶ K^{n + 1},

die $P_{i}$ auf den $i$ -ten Standardvektor $e_{i}$ abbildet. Dabei wird nach Lemma 30.10

P = \sum_{i = 1}^{n + 1} a_{i} P_{i}

auf

\sum_{1 = 1}^{n + 1} a_{i} e_{i}

abgebildet. Wegen

\sum_{i = 1}^{n + 1} a_{i} = 1

gehört dieser Punkt zu $F$ . Die Bijektivität ist klar.

◻

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