Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 34

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige

${}\angle ({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}})={\begin{cases}\alpha \,,{\text{ falls }}\alpha \leq \pi \,,\\2\pi -\alpha \,,{\text{ falls }}\alpha >\pi \,.\end{cases}}\,$

Aufgabe *

Es seien ${}u,v\in V$ von ${}0$ verschiedene Vektoren in einem reellen Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt. Zeige, dass der Winkel zu ${}u$ und ${}v$ mit dem Winkel zu ${}su$ und ${}tv$ übereinstimmt, wobei ${}s,t$ positive reelle Zahlen sind.

Die vorstehende Aussage besagt insbesondere, dass der Winkel eine Eigenschaft der durch zwei Vektoren definierten Strahlen (Halbgeraden) ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt. Zeige, dass der Winkel

$\angle (u,v)$

nur von der Einschränkung des Skalarproduktes auf den durch ${}u$ und ${}v$ erzeugten Untervektorraum abhängt.

Aufgabe

Es seien ${}u,v,w\in V$ von ${}0$ verschiedene Vektoren in einem reellen Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt. Zeige

${}\angle (u,w)\leq \angle (u,v)+\angle (v,w)\,.$

Aufgabe

Welche Winkel gibt es auf einer Geraden?

Aufgabe

Es sei

${}K={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$

der Einheitskreis. Zeige, dass man auf ${}K$ eine Metrik definieren kann, indem man ${}d(P,Q)$ ($P,Q\in K$) als den positiven Winkel zwischen den zugehörigen Strahlen durch den Nullpunkt ${}(0,0)$ ansetzt.

Aufgabe *

Es sei ${}\alpha _{n}$ der Winkel zwischen dem ersten Standardvektor ${}e_{1}$ und dem Vektor ${}v_{n}=\sum _{i=1}^{n}e_{i}$ im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Bestimme den Grenzwert

$\lim _{n\rightarrow \infty }\alpha _{n}.$

Die beiden folgenden Aufgaben wurden schon auf dem Arbeitsblatt 10 gestellt.

Aufgabe

Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die (bezüglich der Standardbasis) eine Drehung um ${}30$ Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.

Aufgabe

Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die eine Drehung um ${}45$ Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.

Aufgabe

Bestimme elementargeometrisch, auf welche Vektoren die Standardvektoren ${}e_{1}$ und ${}e_{2}$ bei einer Drehung um den Nullpunkt um den Winkel ${}\alpha$ gegen den Uhrzeigersinn abgebildet werden.

Aufgabe *

Beweise die Additionstheoreme für den Sinus und den Kosinus unter Verwendung von Drehmatrizen.

Aufgabe

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}{\frac {3}{5}}&-{\frac {4}{5}}\\{\frac {4}{5}}&{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}\,.$

1. Zeige, dass ${}M$ eine Isometrie auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ und dem ${}{\mathbb {C} }^{2}$ definiert.
2. Bestimme die komplexen Eigenwerte zu ${}M$.
3. Bestimme eine Orthonormalbasis von ${}{\mathbb {C} }^{2}$, die aus Eigenvektoren zu ${}M$ besteht.

Eine achsensymmetrische Ellipse wird im ${}\mathbb {R} ^{2}$ durch eine Gleichung der Form

${}ax^{2}+by^{2}=c\,$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R} _{+}$ beschrieben.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine (achsensymmetrische) Ellipse ${}E$ im ${}\mathbb {R} ^{2}$ und eine bijektive lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ mit ${}\varphi (E)=E$, die keine Isometrie ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine bijektive, stetige Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ mit ${}\varphi (S^{1})=S^{1}$ und mit ${}\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle ${}s\in \mathbb {R}$ und ${}v\in \mathbb {R} ^{2}$, die keine Isometrie ist.

Aufgabe *

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\\sin \alpha &-\cos \alpha \end{pmatrix}}\,$

eine ebene Achsenspiegelung. Zeige, dass ${}{\begin{pmatrix}-\sin \alpha \\\cos \alpha -1\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}1$ und ${}{\begin{pmatrix}\cos \alpha -1\\\sin \alpha \end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}-1$ von ${}M$ ist.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

die Drehung des Raumes um die ${}z$-Achse um ${}45$ Grad gegen den Uhrzeigersinn. Wie sieht die beschreibende Matrix bezüglich der Basis

${\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\3\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}5\\0\\7\end{pmatrix}}$

aus?

Aufgabe

Es sei ${}\pi \in S_{n}$ eine Permutation und

$M_{\pi }\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

die zugehörige Permutationsmatrix bzw. lineare Abbildung. Zeige, dass ${}M_{\pi }$ eine Isometrie ist. Wann handelt es sich um eine eigentliche Isometrie?

Aufgabe

Man bestimme zu jeder Permutation ${}\pi \in S_{3}$ für die zugehörige Permutationsmatrix die Eigengerade.

Aufgabe *

Zeige, dass die Gruppe der räumlichen Drehungen nicht kommutativ ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer Raumdrehung, bei der sämtliche Matrixeinträge ${}\neq 0,1$ sind.

Aufgabe

Es seien ${}U_{1}=\langle {\begin{pmatrix}4\\-8\\7\end{pmatrix}}\rangle$ und ${}U_{2}=\langle {\begin{pmatrix}4\\-8\\7\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\-5\\2\end{pmatrix}}\rangle$ Untervektorräume im ${}\mathbb {R} ^{3}$. Finde eine Isometrie ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ mit ${}U_{1}=\langle \varphi (e_{1})\rangle$ und mit ${}U_{2}=\langle \varphi (e_{1}),\,\varphi (e_{2})\rangle$.

Aufgabe *

Durch die Matrix

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0&0\\\sin \alpha &-\cos \alpha &0&0\\0&0&\cos \beta &\sin \beta \\0&0&\sin \beta &-\cos \beta \end{pmatrix}}$

ist eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R} ^{4}$ gegeben (${}\alpha ,\beta \in [0,\pi [$). Bestimme die Eigenwerte und ihre algebraischen und geometrischen Vielfachheiten von ${}\varphi$.

Aufgabe *

Der ${}\mathbb {R} ^{n}$ sei mit der Maximumsnorm

${}\Vert {v}\Vert =\Vert {v}\Vert _{\rm {max}}\,$

versehen. Wir interessieren und für die reellen Matrizen

${}M=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\,$

mit der Eigenschaft

${}\Vert {Mv}\Vert =\Vert {v}\Vert \,$

für alle ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$. Eine solche Matrix nennen wir ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrisch.

1. Zeige, dass eine ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrische Matrix invertierbar ist.
2. Zeige, dass die Menge der ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrischen Matrizen eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe bildet.
3. Zeige, dass eine Permutationsmatrix ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrisch ist.
4. Unter einer Vorzeichen-Permutationsmatrix verstehen wir eine Matrix, die aus einer Permutationsmatrix entsteht, indem man eintragsweise vor die ${}1$ jeweils ein ${}+$ oder ein ${}-$-Zeichen setzt. Man gebe ein Beispiel für eine ${}3\times 3$-Vorzeichen-Permutationsmatrix, die keine Permutationsmatrix und keine obere Dreiecksmatrix ist und deren Determinante gleich ${}1$ ist.
5. Zeige, dass eine Vorzeichen-Permutationsmatrix ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrisch ist.
6. Zeige, dass jede ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$-isometrische Matrix eine Vorzeichen-Permutationsmatrix ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}u,v\in V$ normierte Vektoren in einem reellen Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt. Zeige, dass der Vektor ${}u+v$ die beiden Vektoren in gleich große Winkel unterteilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten eine Uhr mit Minuten- und Sekundenzeiger, die sich beide kontinuierlich bewegen. Bestimme eine Formel, die aus der Winkelstellung des Minutenzeigers die Winkelstellung des Sekundenzeigers (jeweils ausgehend von der 12-Uhr-Stellung im Uhrzeigersinn gemessen) berechnet.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass sich jede eigentliche lineare Isometrie des ${}\mathbb {R} ^{3}$ als Verknüpfung von Drehungen um die drei Koordinatenachsen realisieren lässt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass zu ${}a,b,c,d\in \mathbb {R}$ mit ${}a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1$ die Matrix

${\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(-ad+bc)&2(ac+bd)\\2(ad+bc)&a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}&2(-ab+cd)\\2(-ac+bd)&2(ab+cd)&a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}\end{pmatrix}}$

eine Isometrie des ${}\mathbb {R} ^{3}$ definiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine komplexe ${}2\times 2$- Matrix derart, dass die Spalten eine Orthonormalbasis des ${}{\mathbb {C} }^{2}$ bilden und die Determinante gleich ${}1$ ist. Zeige, dass ${}M$ die Gestalt

${}M={\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}\,$

mit ${}u,v\in {\mathbb {C} }$ und ${}\Vert {\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}\Vert =1$ besitzt.

Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}{\frac {5}{13}}&-{\frac {12}{13}}\\{\frac {12}{13}}&{\frac {5}{13}}\end{pmatrix}}\,.$

1. Zeige, dass ${}M$ eine Isometrie auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ und dem ${}{\mathbb {C} }^{2}$ definiert.
2. Bestimme die komplexen Eigenwerte zu ${}M$.
3. Bestimme eine Orthonormalbasis von ${}{\mathbb {C} }^{2}$, die aus Eigenvektoren zu ${}M$ besteht.