Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Vorlesung 56

Basiswechsel bei Tensorprodukten

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über ${}K$. Es seien ${}v_{1j},j\in J_{1},\ldots ,v_{nj},j\in J_{n}$, und ${}w_{1j},j\in J_{1},\ldots ,w_{nj},j\in J_{n}$, Basen von ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ mit den Basiswechselmatrizen

${}B_{i}=M_{{\mathfrak {w}}_{i}}^{{\mathfrak {v}}_{i}}={\left(a_{irs}\right)}_{1\leq r,s\leq \dim _{K}{\left(V_{i}\right)}}\,.$

Dann ist die Basiswechselmatrix (mit $J=J_{1}\times \cdots \times J_{n}$) zwischen den Basen

$v_{1j_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{nj_{n}},\,(j_{1},\ldots ,j_{n})\in J\,\,{\text{ und }}\,\,w_{1j_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}w_{nj_{n}},\,(j_{1},\ldots ,j_{n})\in J$

des Tensorproduktes durch die ${}J\times J$-Matrix mit den Einträgen

${}c_{(j_{1},\ldots ,j_{n}),(k_{1},\ldots ,k_{n})}=a_{1j_{1}k_{1}}\cdots a_{nj_{n}k_{n}}\,$

beschrieben.

Beweis

Nach der Definition 9.2 der Basiswechselmatrix ist

${}v_{is}=\sum _{r\in J_{i}}a_{irs}w_{ir}\,.$

Somit ist unter Verwendung von Lemma 55.9  (3)

${}{\begin{aligned}v_{1k_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{nk_{n}}&={\left(\sum _{j_{1}\in J_{1}}a_{1j_{1}k_{1}}w_{1j_{1}}\right)}\otimes _{}\cdots \otimes _{}{\left(\sum _{j_{n}\in J_{n}}a_{nj_{n}k_{n}}w_{nj_{n}}\right)}\\&=\sum _{(j_{1},\ldots ,j_{n})\in J}a_{1j_{1}k_{1}}\cdots a_{nj_{n}k_{n}}w_{1j_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}w_{nj_{n}},\end{aligned}}$

und diese Koeffizienten bilden die Basiswechselmatrix.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten den ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit den Basen ${}{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-3\\8\end{pmatrix}}$ und der Standardbasis ${}{\mathfrak {w}}$ und ${}{\mathbb {C} }$ als reellen Vektorraum mit den Basen ${}{\mathfrak {x}}=3-2{\mathrm {i} },4+5{\mathrm {i} }$ und ${}{\mathfrak {y}}=1,{\mathrm {i} }$. Damit sind die Basiswechselmatrizen, wie sie in Lemma 56.1 auftreten, gleich

${}B_{1}={\begin{pmatrix}5&-3\\6&8\end{pmatrix}}\,$

und

${}B_{2}={\begin{pmatrix}3&4\\-2&5\end{pmatrix}}\,.$

Wir folgen der Anordnung ${}(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$ und erhalten die Basiswechselmatrix

${\begin{pmatrix}15&20&-9&-12\\-10&25&6&-15\\18&24&24&32\\-12&30&-16&40\end{pmatrix}}.$

In der zweiten Spalte steht beispielsweise, wie man ${}v_{1}\otimes x_{2}$ als Linearkombination der ${}w_{1}\otimes y_{1},\,w_{1}\otimes y_{2},\,w_{2}\otimes y_{1},\,w_{2}\otimes y_{2}$ ausdrückt.

Tensorprodukt und Dualraum

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über ${}K$.

Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

${V_{1}}^{*}\otimes _{}\cdots \otimes _{}{V_{n}}^{*}\longrightarrow {\left(V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\right)}^{*},\,f_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}f_{n}\longmapsto {\left(v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}\mapsto f_{1}(v_{1})\cdots f_{n}(v_{n})\right)}.$

Beweis

Für fixierte Linearformen ${}f_{1}\in {V_{1}}^{*},\ldots ,f_{n}\in {V_{n}}^{*}$ ist die Abbildung

$V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow K,\,(v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto f_{1}(v_{1})\cdots f_{n}(v_{n}),$

nach Aufgabe 16.38 multilinear und definiert daher eine Linearform auf ${}V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}$. Dies ergibt die Abbildung

$\Psi \colon {V_{1}}^{*}\times \cdots \times {V_{n}}^{*}\longrightarrow {\left(V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\right)}^{*},\,(f_{1},\ldots ,f_{n})\longmapsto {\left((v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n})\mapsto f_{1}(v_{1})\cdots f_{n}(v_{n})\right)}.$

Diese Gesamtzuordnung ${}\Psi$ ist ebenfalls multilinear und ergibt somit eine lineare Abbildung

${V_{1}}^{*}\otimes _{}\cdots \otimes _{}{V_{n}}^{*}\longrightarrow {\left(V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\right)}^{*}$

Nach Korollar 55.13 und Korollar 13.12 haben die Räume die gleiche Dimension. Es seien ${}v_{ij}$, ${}1\leq j\leq \dim _{K}{\left(V_{i}\right)}$, Basen der ${}V_{i}$. Dann bilden die ${}v_{1j_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{nj_{n}}$ nach Satz 55.12  (3) eine Basis von ${}V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}$ und die Dualbasis dazu eine Basis des Dualraumes. Wir behaupten die Gleichheit der linearen Abbildungen

${}\Psi (v_{1j_{1}}^{*}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{nj_{n}}^{*})={\left(v_{1j_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{nj_{n}}\right)}^{*}\,.$

Diese ergibt sich, da beide Abbildungen, angewendet auf die Basiselemente ${}v_{1k_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{nk_{n}}$, bei ${}(k_{1},\ldots ,k_{n})=(j_{1},\ldots ,j_{n})$ den Wert ${}1$ und andernfalls den Wert ${}0$ ergeben. Daher ist ${}\Psi$ surjektiv und damit auch injektiv.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}U,V,W$ seien ${}K$- Vektorräume. Dann gelten folgende Aussagen (im Sinne einer kanonischen Isomorphie).

1. Es ist

   ${}U\otimes _{K}V\cong V\otimes _{K}U\,.$

2. Es ist

   ${}U\otimes _{K}{\left(V\otimes _{K}W\right)}\cong {\left(U\otimes _{K}V\right)}\otimes _{K}W\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 56.2.

$\Box$

Tensorprodukte von linearen Abbildungen

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n},W_{1},\ldots ,W_{n}$ Vektorräume über ${}K$. Es seien

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$

${}K$- lineare Abbildungen.

Dann gibt es eine wohldefinierte lineare Abbildung

$V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\longrightarrow W_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}W_{n}$

mit

${}\psi (v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}):=\varphi _{1}(v_{1})\otimes _{}\cdots \otimes _{}\varphi _{n}(v_{n})\,.$

Beweis

Die Gesamtabbildung

$V_{1}\times \cdots \times V_{n}{\stackrel {\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}}{\longrightarrow }}W_{1}\times \cdots \times W_{n}{\stackrel {\pi }{\longrightarrow }}W_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}W_{n}$

ist nach Aufgabe 16.30 multilinear. Dies induziert nach Lemma 55.4 eine lineare Abbildung

$V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\longrightarrow W_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}W_{n},\,v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}\longmapsto \varphi (v_{1})\otimes _{}\cdots \otimes _{}\varphi (v_{n}).$

$\Box$

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n},W_{1},\ldots ,W_{n}$ Vektorräume über ${}K$. Zu ${}K$- linearen Abbildungen

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$

heißt die lineare Abbildung

$V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\longrightarrow W_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}W_{n},\,v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}\longmapsto \varphi _{1}(v_{1})\otimes _{}\cdots \otimes _{}\varphi _{n}(v_{n}),$

das Tensorprodukt der ${}\varphi _{i}$. Es wird mit ${}\varphi _{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}\varphi _{n}$ bezeichnet.

Proposition

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}U,V,Z$ Vektorräume über ${}K$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einer ${}K$- linearen Abbildung ${}\varphi \colon U\rightarrow V$ gibt es eine natürliche ${}K$- lineare Abbildung ${}\varphi \otimes _{K}\operatorname {Id} _{Z}\colon U\otimes _{K}Z\rightarrow V\otimes _{K}Z$.
2. Wenn ${}\varphi$ surjektiv ist, ist auch ${}\varphi \otimes _{K}\operatorname {Id} _{Z}$ surjektiv.
3. Wenn ${}\varphi$ injektiv ist, so ist auch ${}\varphi \otimes _{K}\operatorname {Id} _{Z}$ injektiv.

Beweis

(1). Dies ist ein Spezialfall von Lemma 56.5.

(2). Die Surjektivität der Abbildung

$U\otimes _{K}Z\longrightarrow V\otimes _{K}Z$

ist klar, da die ${}v\otimes z$ ein ${}K$- Erzeugendensystem von ${}V\otimes _{K}Z$ bilden und diese im Bild der Abbildung liegen.

(3). Wegen der Injektivität können wir

${}U\subseteq V\,$

als Untervektorraum auffasen. Eine Basis ${}u_{i}$, ${}i\in I$, von ${}U$ können wir zu einer Basis ${}u_{i}$, ${}i\in J$, mit ${}I\subseteq J$ von ${}V$ ergänzen. Sei ${}z_{\ell }$, ${}\ell \in L$, eine Basis von ${}Z$. Dann ist nach Satz 55.12 die Familie ${}v_{j}\otimes z_{\ell }$, ${}(j,\ell )\in J\times L$, eine Basis von ${}V\otimes Z$ und ${}v_{i}\otimes z_{\ell }$, ${}(i,\ell )\in I\times L$, ist eine Teilmenge davon, die eine Basis von ${}U\otimes Z$ ist. Also wird unter

$U\otimes Z\longrightarrow V\otimes Z$

eine Basis auf linear unabhängige Elemente abgebildet und somit ist diese Abbildung injektiv.

$\Box$

Von daher werden wir zu Untervektorräumen ${}U_{1}\subseteq V_{1},\ldots ,U_{n}\subseteq V_{n}$ das Tensorprodukt ${}U_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}U_{n}$ als Untervektorraum von ${}V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}$ auffassen.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}U,V,W$ seien ${}K$- Vektorräume.

Dann ist

${}U\otimes _{K}{\left(V\oplus W\right)}\cong {\left(U\otimes _{K}V\right)}\oplus {\left(U\otimes _{K}W\right)}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 56.5.

$\Box$

Körperwechsel

Schon häufig haben wir ein reelles Problem dadurch vereinfacht, dass wir es als Problem über den komplexen Zahlen aufgefasst haben. Wenn die Situation mit einer reellen Matrix formuliert werden kann, so kann man diese direkt als eine komplexe Matrix auffassen und dafür die (nichtreellen) komplexen Eigenwerte berechnen und ähnliches. Matrizen sind im Allgemeinen von der Wahl von Basen abhängige Beschreibungen mathematischer Objekte. Mit dem Tensorprodukt kann man den Übergang zum Komplexen auf der Ebene der Objekte selbst sinnvoll beschreiben. Wir betrachten daher hier den Fall des Tensorproduktes, wenn über ${}K$ ein ${}K$-Vektorraum ${}V$ und eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ vorliegt. Wir fixieren die verwendeten Sprechweisen.

Definition

Eine Teilmenge ${}K\subseteq L$ eines Körpers ${}L$ heißt Unterkörper von ${}L$, wenn folgende Eigenschaften gelten.

1. Es ist ${}0,1\in K$.
2. Mit ${}a,b\in K$ ist auch ${}a+b\in K$.
3. Mit ${}a,b\in K$ ist auch ${}a\cdot b\in K$.
4. Mit ${}a\in K$ ist auch ${}-a\in K$.
5. Mit ${}a\in K,a\neq 0$, ist auch ${}a^{-1}\in K$.

Definition

Es sei ${}L$ ein Körper und ${}K\subseteq L$ ein Unterkörper von ${}L$. Dann heißt ${}L$ ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von ${}K$ und die Inklusion ${}K\subseteq L$ heißt eine Körpererweiterung.

Lemma

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung.

Dann ist ${}L$ in natürlicher Weise ein ${}K$- Vektorraum.

Beweis

Die Skalarmultiplikation

$K\times L\longrightarrow L,\,(\lambda ,x)\longmapsto \lambda x,$

wird einfach durch die Multiplikation in ${}L$ gegeben. Die Vektorraumaxiome folgen dann direkt aus den Körperaxiomen.

$\Box$

Definition

Zu einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ über einem Körper ${}K$ und einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ nennt man ${}L\otimes _{K}V$ den durch Körperwechsel gewonnenen ${}L$-Vektorraum.

Statt ${}L\otimes _{K}V$ schreibt man auch ${}V_{L}$.

Proposition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das Tensorprodukt ${}L\otimes _{K}V$ ist ein ${}L$-Vektorraum.
2. Es gibt eine kanonische ${}K$- lineare Abbildung

   $V\longrightarrow L\otimes _{K}V,\,v\longmapsto 1\otimes v.$

   Bei ${}K=L$ ist dies ein Isomorphismus.

3. Zu einer ${}K$- linearen Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ ist die induzierte Abbildung

   $\operatorname {Id} _{L}\otimes \varphi \colon L\otimes _{K}V\longrightarrow L\otimes _{K}W$

   eine ${}L$-lineare Abbildung.

4. Zu ${}V=K^{n}$ ist

   ${}L\otimes _{K}K^{n}\cong L^{n}\,.$

5. Zu einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$ ist

   ${}\dim _{K}{\left(V\right)}=\dim _{K}{\left(L\otimes _{K}V\right)}\,.$

6. Zu einer weiteren Körpererweiterung ${}L\subseteq M$ ist

   ${}M\otimes _{K}V\cong M\otimes _{L}{\left(L\otimes _{K}V\right)}\,$

   (eine Isomorphie von $M$-Vektorräumen).

Beweis

(1). Die Multiplikation

$L\times L\longrightarrow L,\,(r,s)\longmapsto rs,$

ist ${}L$- bilinear und insbesondere ${}K$-bilinear und führt nach Lemma 55.4 zu einer ${}K$- linearen Abbildung

$L\otimes _{K}L\longrightarrow L.$

Dies induziert nach Lemma 56.4  (2) und nach Proposition 56.7 eine ${}K$- lineare Abbildung

$L\otimes _{K}{\left(L\otimes _{K}V\right)}\cong {\left(L\otimes _{K}L\right)}\otimes _{K}V\longrightarrow L\otimes _{K}V.$

Dies ergibt eine wohldefinierte Skalarmultiplikation

$L\times {\left(L\otimes _{K}V\right)}\longrightarrow {\left(L\otimes _{K}V\right)},$

die explizit durch

${}s\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}r_{j}\otimes m_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}{\left(sr_{j}\right)}\otimes m_{j}\,$

gegeben ist. Aus dieser Beschreibung folgen direkt die Eigenschaften einer Skalarmultiplikation.
(2). Die ${}K$-Homomorphie folgt direkt aus der Bilinearität des Tensorprodukts. Bei ${}L=K$ ist die Abbildung surjektiv. Die Skalarmultiplikation ${}K\times V\rightarrow V$ induziert eine ${}K$- lineare Abbildung

$K\otimes _{K}V\longrightarrow V.$

Die Verknüpfung der kanonischen Abbildung ${}V\rightarrow K\otimes _{K}V$ mit dieser Abbildung ist die Identität auf ${}V$, sodass die erste Abbildung auch injektiv ist.
(3) folgt aus der expliziten Beschreibung in (1).
(4) folgt aus Korollar 56.8.
(5) folgt aus (4).
(6). Nach Teil (2) haben wir einerseits eine ${}K$-lineare Abbildung ${}V\rightarrow L\otimes _{K}V$. Dies führt zu einer ${}K$-multilinearen Abbildung

$M\times V\longrightarrow M\times {\left(L\otimes _{K}V\right)}\longrightarrow M\otimes _{L}{\left(L\otimes _{K}V\right)},$

die eine ${}K$-lineare Abbildung

$M\otimes _{K}V\longrightarrow M\otimes _{L}{\left(L\otimes _{K}V\right)}$

induziert. Andererseits haben wir eine ${}L$-lineare Abbildung

$L\otimes _{K}V\longrightarrow M\otimes _{K}V.$

Rechts steht ein ${}M$-Vektorraum, daher kann man die Skalarmultiplikation als eine ${}L$-multilineare Abbildung

$M\times {\left(L\otimes _{K}V\right)}\longrightarrow L\otimes _{K}V$

auffassen, die ihrerseits zu einer ${}L$-linearen Abbildung

$M\otimes _{L}{\left(L\otimes _{K}V\right)}\longrightarrow L\otimes _{K}V$

führt. Diese beiden Abbildungen sind invers zueinander, was man auf den zerlegbaren Tensoren überprüfen kann. Daran sieht man auch, dass sich die ${}M$-Multiplikationen entsprechen.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren aus ${}V$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ist genau dann ein ${}K$- Erzeugendensystem von ${}V$, wenn ${}1\otimes v_{i}$, ${}i\in I$, ein ${}L$-Erzeugendensystem von ${}L\otimes V$ ist.
2. Die Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ist genau dann ${}K$- linear unabhängig in ${}V$, wenn ${}1\otimes v_{i}$, ${}i\in I$, linear unabhängig (über ${}L$) in ${}L\otimes V$ ist.
3. Die Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ist genau dann ein ${}K$- Basis von ${}V$, wenn ${}1\otimes v_{i}$, ${}i\in I$, ein ${}L$-Basis von ${}L\otimes V$ ist.

Beweis

Siehe Aufgabe 56.15.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum. Die Tensorierung mit der ${}\mathbb {R}$- Algebra ${}{\mathbb {C} }$, also

${}V_{\mathbb {C} }:={\mathbb {C} }\otimes _{\mathbb {R} }V\,,$

nennt man die Komplexifizierung von ${}V$. Wenn ${}V$ die Dimension ${}n$ besitzt, so besitzt ${}V_{\mathbb {C} }$ als komplexer Vektorraum ebenfalls die Dimension ${}n$. Wenn man ${}V_{\mathbb {C} }$ als reellen Vektorraum betrachtet, so besitzt er die reelle Dimension ${}2n$.

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