Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/14/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Punkte 3 3 6 2 6 6 4 6 8 3 8 5 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Anfangswertproblem auf einer offenen Teilmenge zu einer Funktion
  2. Die Abstandsfunktion auf einem reellen Vektorraum mit einem Skalarprodukt .
  3. Das Wegintegral zu einem stetigen Vektorfeld längs eines stetig differenzierbaren Weges .
  4. Die Jacobi-Determinante zu einer total differenzierbaren Abbildung

    auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum in einem Punkt .

  5. Ein isoliertes lokales Minimum einer Funktion

    auf einem metrischen Raum .

  6. Den Tangentialraum an die Faser einer stetig differenzierbare Abbildung

    zwischen endlichdimensionalen -Vektorräumen durch einen Punkt , in dem das totale Differential surjektiv ist.


Lösung

  1. Man nennt

    das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung .

  2. Zu zwei Vektoren nennt man

    den Abstand zwischen und .

  3. Das Wegintegral ist
  4. Man nennt die Determinante

    des totalen Differentials die Jacobi-Determinante in .

  5. Man sagt, dass in einem Punkt ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle  mit  und die Abschätzung

    gilt.

  6. Unter dem Tangentiaraum in an die Faser versteht man


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über eine Differentialgleichung höherer Ordnung und das zugehörige System erster Ordnung.
  2. Das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.
  3. Der Satz über die Integration einer Funktion über ein ebenes stetig berandetes Gebiet.


Lösung

  1. Es sei ein Intervall, eine offene Menge und

    eine Funktion. Dann ist die Differentialgleichung höherer Ordnung

    über die Beziehung

    äquivalent zum Differentialgleichungssystem

  2. Sei eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei eine Basis von . Es sei die Gramsche Matrix zu bezüglich dieser Basis. Die Determinanten der quadratischen Untermatrizen

    seien alle von verschieden für . Es sei die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

    Dann ist vom Typ

    .
  3. Es sei ein reelles Intervall und es seien

    zwei stetige Funktionen mit für alle . Es sei das durch die beiden zugehörigen Graphen begrenzte Flächenstück über , und es sei

    eine stetige Funktion. Dann ist


Aufgabe (6 (1+1+4) Punkte)

  1. Es sei und die Exponentialfunktion zur Basis . Zeige, dass es ein mit für alle gibt.
  2. Es sei vorgeben. Zeige, dass es eine Exponentialfunktion mit und mit

    für alle gibt.

  3. Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion mit für alle , die keine Exponentialfunktion ist.


Lösung

  1. Es sei und die Exponentialfunktion zur Basis . Zeige, dass es ein mit für alle gibt. Wir setzen

    Dann ist

  2. Aus der Bedingung folgt

    Damit ist in der Tat

  3. Wir betrachten die Funktion

    mit . Jedes liegt in einem eindeutigen halboffenen Intervall mit . Wir setzen die Funktion auf ganz durch die Festlegung

    fort. Dies stimmt für mit überein, da dort ist. Für ist

    Die Funktion ist stetig, was auf den ganzzahligen Intervallen klar ist und an den Intervallgrenzen wegen (der Funktionslimes ist für )

    gilt. Die Funktion ist auch streng monoton wachsend, was ebenfalls auf den ganzzahligen Intervallen klar ist und an den Übergängen wegen der Stetigkeit gilt. Die Funktion ist keine Exponentialfunktion, da sie auf linear ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Kurve

in jedem Punkt .


Lösung

Die Ableitung rechnet man komponentenweise aus, sie ist


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise die Integralabschätzung für stetige Kurven.


Lösung

Wenn ist, so ist nichts zu zeigen. Sei also

Es sei . Das ergänzen wir zu einer Orthonormalbasis von . Es seien die Koordinatenfunktionen von bezüglich dieser Basis. Dann besteht aufgrund unserer Basiswahl die Beziehung

da ja ein Vielfaches von ist und somit die anderen Koeffizienten gleich sind. Daher ist


Aufgabe (6 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.


Lösung

Wir machen den Ansatz

aufgrund der Anfangswertbedingungen ist und . Es ist und . Aus der Gleichung

lassen sich die Koeffizienten bestimmen.

Koeffizientenvergleich zu ergibt

also ist .

Koeffizientenvergleich zu ergibt

also ist .

Koeffizientenvergleich zu ergibt

also ist .

Daher ist

die Lösung des Anfangswertproblems bis zur Ordnung .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

im Punkt .


Lösung

Die relevanten Ableitungen sind

Somit sind die Werte der relevanten Ableitungen im Punkt gleich

Daher ist das Taylor-Polynom der Ordnung zwei gleich


Aufgabe (6 (1+5) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

  1. Beschreibe den Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu zur Intervallunterteilung in Abhängigkeit von und .
  2. Bestimme das Punktepaar zwischen und , für das der Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu zur Intervallunterteilung maximal wird. Welchen Wert hat dieser Flächeninhalt?


Lösung

  1. Da streng fallend ist, besitzt die maximale untere Treppenfunktion auf jedem Teilintervall den Wert von an der oberen Intervallgrenze. Der Flächeninhalt der maximalen unteren Treppenfunktion zu

    ist also

  2. Es ist

    und

    Damit beide partiellen Ableitungen gleich sind, muss

    also und

    also sein. Dies ergibt für die Bedingung

    also, da ,

    und damit

    Der einzige kritische Punkt liegt also in

    vor.

    Die Hesse-Matrix ist

    Die Determinante ist

    Im kritischen Punkt ist dies wegen

    positiv. Also ist die Hesse-Form im kritischen Punkt negativ definit und somit liegt in diesem Punkt ein isoliertes lokales Maximum vor. Da es der einzige kritische Punkt ist, und in Randpunkten kein Maximum vorliegt, da diese ja einer Unterteilung mit weniger Punkten entsprechen, liegt auch ein globales Maximum vor.

    Das Flächenintegral für diesen Punkt ist gleich


Aufgabe (8 (1+2+1+3+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

  1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu in einem Punkt .
  2. Bestimme die kritischen Punkte von .
  3. Bestimme die Hesse-Matrix zu in einem Punkt .
  4. Bestimme die Eigenräume der Hesse-Matrix zu im Punkt .
  5. Bestimme den Typ der Hesse-Form zu im Punkt mit Hilfe des Eigenwertkriteriums.


Lösung

  1. Die Jacobi-Matrix zu in ist
  2. Ein kritischer Punkt liegt genau dann vor, wenn alle drei partiellen Ableitungen sind. Bei

    muss

    sein, dass ist die -Achse. Wegen der Symmetrie der Situation sind also die kritischen Punkte genau die Punkte der drei Raumachsen.

  3. Die Hesse-Matrix zu in ist
  4. Die Hesse-Matrix zu in ist

    Das charakteristische Polynom davon ist

    Der Eigenraum zum Eigenwert ist . Der Eigenraum zum Eigenwert ist

  5. Nach Teil (4) und dem Eigenwertkriterium ist der Typ der Hesse-Form zu im Punkt gleich .


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer Funktion

das zeigt, dass im Satz über die (lokale) Umkehrbarkeit die Bijektivität im Allgemeinen nur auf echten Teilintervallen besteht.


Lösung

Wir betrachten die Funktion

Diese Funktion ist stetig differenzierbar mit . Im Punkt gilt , so dass dort der Satz über die lokale Umkehrbarkeit anwendbar ist (und zwar liegt eine Bijektion mit der Quadratwurzel als Umkehrfunktion vor). Es gibt aber keine Umkehrfunktion auf ganz , da wegen die Funktion nicht injektiv ist.


Aufgabe (8 Punkte)

Es sei

ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Menge und es sei

Zeige

wobei den einmal gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreisweg um mit Radius bezeichnet.


Lösung

Der Weg ist durch

gegeben. Somit ist

Wir analysieren die einzelnen Summanden getrennt. Ganz rechts wird der Integrand für aufgrund der Eigenschaften von und der Stetigkeit des Skalarproduktes beliebig klein, was sich auf das Integral überträgt. Dieser Term spielt also im Limes keine Rolle. Das linke Integral ist

so dass alles vom mittleren Summanden abhängt. Der Integrand ist

Wegen

fallen diese Terme weg. Übrig bleiben

und

Alles zusammen ergibt


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass der Flächeninhalt der Rotationsfläche, die entsteht, wenn man den Graphen

um die -Achse rotieren lässt, kleiner als ist.


Lösung

Wir betrachten die Oberfläche für mit einer beliebigen negativen Zahl . Der Flächeninhalt ist nach der Rotationsformel gleich

Da sich im negativen Bereich bewegt, ist und somit ist der Integrand . Damit ist dieses Integral kleiner/gleich

Diese Abschätzung gilt auch für .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

ein Quader im und sei

ein Monom. Berechne .


Lösung

Die Funktion ist ein Produkt von Funktionen, nämlich , die jeweils nur von der einen Variablen abhängen. Daher kann man (eine geeignete Verallgemeinerung von) Korollar 59.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) anwenden und erhält