Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/8/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 4 5 4 4 3 5 5 3 4 4 2 4 4 4 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine homogene lineare eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung.
  2. Eine offene Menge in einem metrischen Raum .
  3. Eine symmetrische Bilinearform auf einem reellen Vektorraum .
  4. Ein Zentralfeld

    auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum .

  5. Die partielle Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt .
  6. Das Gradientenfeld zu einer differenzierbaren Funktion

    auf einem euklidischen Vektorraum .


Lösung

  1. Eine Differentialgleichung der Form

    mit einer Funktion ( reelles Intervall)

    heißt homogene lineare Differentialgleichung.

  2. Eine Teilmenge heißt offen, wenn für jedes ein mit

    existiert.

  3. Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und eine Bilinearform auf . Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn

    für alle gilt.

  4. Es sei eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum , ein Intervall und es sei

    eine Funktion. Dann heißt das Vektorfeld

    ein Zentralfeld.

  5. Die Abbildung heißt partiell differenzierbar, wenn für jedes die Abbildung

    in differenzierbar ist.

  6. Die Abbildung

    heißt Gradientenfeld zu .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
  2. Der Satz über den Zusammenhang von totaler Differenzierbarkeit und Richtungsableitung für eine Abbildung

    in einem Punkt

    .
  3. Der Satz über die Beziehung zwischen der Definitheit der Hesse-Form und Extrema einer Funktion
    in einem Punkt .


Lösung

  1. Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Dann gilt die Abschätzung
    für alle .
  2. Sei im Punkt total differenzierbar mit dem totalen Differential . Dann ist in in jede Richtung differenzierbar, und es gilt
  3. Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, eine offene Teilmenge und

    eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei mit . Dann gelten folgende Aussagen.

    1. Wenn negativ definit ist, so besitzt ein isoliertes lokales Maximum in .
    2. Wenn positiv definit ist, so besitzt ein isoliertes lokales Minimum in .
    3. Wenn indefinit ist, so besitzt in weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem


Lösung

Wir machen den Ansatz

und vergleichen die Stammfunktionen. Dies führt auf

bzw.

bzw.

Die Anfangsbedingung

legt

fest, es ist also


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren für einen euklidischen Vektorraum .


Lösung

Die Aussage wird durch Induktion über bewiesen, d.h. es wird sukzessive eine Familie von orthonormalen Vektoren konstruiert, die jeweils den gleichen Untervektorraum aufspannen. Für muss man lediglich normieren, also durch

ersetzen. Es sei die Aussage für schon bewiesen und sei eine Familie von orthonormalen Vektoren mit bereits konstruiert. Wir setzen

Dieser Vektor steht senkrecht auf allen und offenbar ist . Durch Normieren von erhält man .


Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktionen

Es seien drei Vektoren. Wir definieren die Kurve

a) Berechne und .

b) Berechne .

c) Zeige, dass ein Vielfaches von und ein Vielfaches von ist.

d) Skizziere für , und das Bild der Kurve für .


Lösung

a) Es ist

und

b) Es ist

c) Es ist

und

d) Skizze.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

ein stetiges Vektorfeld, wobei die -te Komponente nur von der -ten Variabeln abhängen möge. Es sei

ein stetig differenzierbarer Weg. Zeige, dass das Wegintegral nur von und abhängt.


Lösung

Nach Voraussetzung können wir

mit stetigen Funktionen

schreiben. Es sei eine Stammfunktion zu . Das Wegintegral ist somit

Dies hängt offenbar nicht vom Verlauf von ab.


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

a) Zeige, dass die archimedischen Spiralen

(zu fixierten ) Lösungskurven für die Differentialgleichung (bei )

sind.

b) Man gebe eine Lösung für das Anfangswertproblem

zu dieser Differentialgleichung an.


Lösung

a) Es ist

b) Wir müssen die Bedingung

erfüllen. Der Vektor definiert eine Gerade durch den Nullpunkt und einen eindeutigen Winkel zwischen der -Achse und dieser Geraden. Daher muss , also

sein. Der Abstand des Punktes zum Nullpunkt ist . Daher ist

und somit ist

die Lösung des Anfangswertproblems.


Aufgabe (5 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

mit einem Potenzreihenansatz bis zur Ordnung .


Lösung

Wir machen den Ansatz

Die auszuwertende Potenzreihengleichung ist somit

Die Anfangsbedingung legt und fest. Für den konstanten Term (also zu ) ergibt sich aus der Potenzreihengleichung

also ist . Für ergibt sich

also ist . Für ergibt sich

also ist . Für ergibt sich

also ist . Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung ist demnach


Aufgabe (5 Punkte)

Der sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu , , die Vektoren

Geschwindigkeitsvektoren eines Beobachters sind. Zeige, dass jeder Beobachtervektor diese Gestalt besitzt.


Lösung

Es ist

und ebenso

somit sind dies Beobachtervektoren.

Es sei umgekehrt ein Beobachtervektor, also

Wir müssen zeigen, dass dieser Vektor von einer der angegebenen Gestalt ist und betrachten daher die Gleichung

Multiplikation mit führt auf

bzw. auf

und auf

wobei die Wurzel stets existiert, und zwar gleich ist. Je nachdem, ob positiv oder negativ ist, muss man entsprechend wählen.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Richtungsableitung von

im Punkt in Richtung .


Lösung

Es geht um die Ableitung der zusammengesetzten Funktion

mit dem linearen Weg

im Nullpunkt. Es ist

mit einem Polynom , das aber für die Ableitung an irrelevant ist. Die Richtungsableitung ist


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige für Polynomfunktionen

direkt, dass

gilt.


Lösung

Da partielle Ableitungen mit Addition und Skalarmultiplikation verträglich sind, und da ein Polynom eine Summe aus Monomen, multipiziert mit Konstanten ist, genügt es, die Aussage für Monome

zu zeigen. Bei ist die Aussage richtig, so dass wir annehmen. Es ist

Wenn ist, so ist dies , und in diesem Fall sind auch und die Nullfunktion, also gleich. Dies ist auch bei der Fall. Es seien also . Dann ist

Dies ist auch das Ergebnis in der umgekehrten Reihenfolge.


Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche die Funktion

auf kritische Punkte und Extrema.


Lösung

Die partiellen Ableitungen der Funktion sind

und

Eine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines lokalen Extremums ist, dass der Gradient ist. Aus

folgt sofort

also und daraus

Es kann also allenfalls im kritischen Punkt ein lokales Extremum vorliegen.

Die Hesse-Matrix der Funktion ist

Der Eintrag links oben ist also positiv und die Determinante ist negativ. Daher ist die Hesse-Matrix indefinit und somit liegt kein Extremum vor.


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Es sei

eine Funktion.

a) Realisiere den Graphen von als Faser zu einer Abbildung

über .

b) Es sei stetig differenzierbar. Zeige, dass die Punkte auf dem Graphen von regulär sind.


Lösung

a) Sei . Dann ist genau dann, wenn , d.h. wenn ein Punkt des Graphen ist.

b) Wenn stetig differenzierbar ist, so ist stetig differenzierbar mit der Jacobi-Matrix . Diese beschreibt eine surjektive lineare Abbildung in jedem Punkt, also ist in jedem Punkt regulär.


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

  1. Bestimme das totale Differential von in jedem Punkt .
  2. Bestimme die kritischen Punkte von .
  3. Bestimme eine Basis für den Tangentialraum an die Faser von durch den Punkt .


Lösung

  1. Das totale Differential ist
  2. Für einen kritischen Punkte müssen alle Komponenten des totalen Differentials gleich sein. Daher muss wegen der zweiten Komponente sein und damit und . Der einzige kritische Punkt liegt also in vor.
  3. Das totale Differential in ist

    Der Tangentialraum ist der Kern dieser linearen Abbildung, eine Basis davon ist und .


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ein Gradientenfeld ist.

b) Bestimme ein Potential zu .


Lösung

a) Es ist

und ebenso

es ist

und ebenso

und schließlich ist

und ebenso

die Integrabilitätsbedingungen sind also erfüllt. Da sternförmig ist, handelt es sich um ein Gradientenfeld.

b) Ein Potential zu ist

wie man durch Ableiten bestätigt.


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Eine Bratpfanne hat einen Durchmesser von cm und wird mit Öl und mit kreisrunden Bratkartoffeln überschneidungsfrei bedeckt, die alle einen Durchmesser von cm und eine Höhe von cm haben. Das Öl bildet unterhalb der Bratkartoffeln einen dünnen Ölfilm von mm Höhe und erreicht in den Zwischenräumen eine Höhe von mm.

a) Wie viel Öl befindet sich in der Pfanne (rechne mit ; Einheit nicht vergessen)?

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?


Lösung

a) Die Grundfläche der Pfanne ist und die Grundfläche einer Bratkartoffel ist (in Quadratzentimetern). Daher werden Quadratzentimeter von den Kartoffeln bedeckt und Quadratzentimeter nicht. Daher ist die Ölmenge in Kubikzentimetern

In der Pfanne befindet sich also Kubikzentimeter Öl.

b) Es wurde dabei die Formel für die Kreisfläche (für die Grundfläche der Pfanne und der Kartoffeln), die Produktformel für das Maß (bei der Berechnung der Ölmenge aus Grundfläche und Höhe) einer Produktmenge und das Additivitätsprinzip für disjunkte Teilmengen (bei der Zerlegung in den bedeckten und den unbedeckten Teil) angewendet.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Integral zur Funktion

über dem Rechteck .


Lösung

Mit dem Satz von Fubini ist