Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Vorlesung 31/kontrolle

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Euklidische Vektorräume

Im Anschauungsraum kann man nicht nur Vektoren addieren und skalieren, sondern ein Vektor hat auch eine Länge, und die Lagebeziehung von zwei Vektoren zueinander wird durch den Winkel zwischen ihnen ausgedrückt. Länge und Winkel werden beide durch den Begriff des Skalarprodukts präzisiert. Dafür muss ein reeller Vektorraum[1] vorliegen.


Definition  Referenznummer erstellen

Sei ein reeller Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ist eine Abbildung

mit folgenden Eigenschaften:

  1. Es ist

    für alle , und ebenso in der zweiten Komponente.

  2. Es ist

    für alle .

  3. Es ist für alle und genau dann, wenn ist.

Die dabei auftretenden Eigenschaften heißen Bilinearität (das ist nur eine andere Bezeichnung für multilinear, wenn der Definitionsbereich das Produkt von zwei Vektorräumen ist), Symmetrie und positive Definitheit.


Beispiel  Referenznummer erstellen

Auf dem ist die Abbildung

ein Skalarprodukt, das man das Standardskalarprodukt nennt. Eine einfache Rechnung zeigt, dass dies in der Tat ein Skalarprodukt ist.


Beispielsweise ist im mit dem Standardskalarprodukt


Definition  Referenznummer erstellen

Ein reeller, endlichdimensionaler Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist, heißt euklidischer Vektorraum.

Zu einem euklidischen Vektorraum ist jeder Untervektorraum selbst wieder ein euklidischer Vektorraum, da man das Skalarprodukt auf einschränken kann und dabei die definierenden Eigenschaften erhalten bleiben.



Norm und Abstand

Mit einem Skalarprodukt kann man die Länge eines Vektors und damit auch den Abstand zwischen zwei Vektoren erklären.


Definition  Referenznummer erstellen

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Dann nennt man zu einem Vektor die reelle Zahl

die Norm von .



Satz  Satz 31.5 ändern

Sei ein [[{{:MDLUL/MDLUL/|opt=Ziel}}|]] über mit einem [[{{:MDLUL/MDLUL/ ()|opt=Ziel}}|]] und der zugehörigen Norm .

Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung, nämlich

für alle .

Beweis  

Bei ist die Aussage richtig. Sei also und damit auch . Damit hat man die Abschätzungen

Multiplikation mit und Wurzelziehen ergibt das Resultat.


Bemerkung   Referenznummer erstellen

Für zwei von verschiedene Vektoren und in einem euklidischen Vektorraum folgt aus der Ungleichung von Cauchy-Schwarz, dass

ist. Damit kann man mit Hilfe der trigonometrischen Funktion Kosinus (als bijektive Abbildung ) bzw. der Umkehrfunktion den Winkel zwischen den beiden Vektoren definieren, nämlich durch

Der Winkel ist also eine reelle Zahl zwischen und .




Lemma  Referenznummer erstellen

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Dann gelten für die zugehörige Norm folgende Eigenschaften.

  1. ,
  2. genau dann, wenn ist.
  3. Für und gilt
  4. Für gilt

Beweis  

Die ersten beiden Eigenschaften folgen direkt aus der Definition des Skalarprodukts.
Die Multiplikativität folgt aus


Zum Beweis der Dreiecksungleichung schreiben wir

Aufgrund von Satz 31.5 ist dies . Diese Abschätzung überträgt sich auf die Quadratwurzeln.



Lemma Lemma 31.8 ändern

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm .

Dann gilt die Beziehung

Beweis

Siehe Aufgabe *****.



Definition  Referenznummer erstellen

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Zu zwei Vektoren nennt man

den Abstand zwischen und .



Lemma Referenznummer erstellen

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Dann besitzt der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften (dabei sind ).

  1. Es ist .
  2. Es ist genau dann, wenn .
  3. Es ist .
  4. Es ist

Beweis

Siehe Aufgabe *****.


Damit ist ein euklidischer Raum insbesondere ein metrischer Raum, womit wir uns in den nächsten Vorlesungen beschäftigen werden.



Orthogonalität

Mit dem Skalarprodukt kann man die Eigenschaft zweier Vektoren, aufeinander senkrecht zu stehen, ausdrücken.


Definition  Referenznummer erstellen

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Man nennt zwei Vektoren orthogonal zueinander (oder senkrecht), wenn

ist.


Definition  Referenznummer erstellen

Sei ein euklidischer Vektorraum und ein Untervektorraum. Dann heißt

das orthogonale Komplement von .


Beispiel  Referenznummer erstellen

Sei versehen mit dem Standardskalarprodukt. Zum eindimensionalen Untervektorraum zum Standardvektor besteht das orthogonale Komplement aus allen Vektoren , deren -ter Eintrag ist. Zum eindimensionalen Untervektorraum zu einem Vektor

kann man das orthogonale Komplement bestimmen, indem man den Lösungsraum der linearen Gleichung

bestimmt. Der Orthogonalraum

besitzt die Dimension , es handelt sich also um eine sogenannte Hyperebene. Man nennt dann einen Normalenvektor für die Hyperebene .

Zu einem Untervektorraum , der durch eine Basis (oder ein Erzeugendensystem) , , gegeben ist, bestimmt man das orthogonale Komplement als Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

wobei die aus den gebildete Matrix ist.



Definition  Referenznummer erstellen

Sei ein euklidischer Vektorraum. Eine Basis von heißt Orthonormalbasis, wenn

gilt.

Die Elemente in einer Orthonormalbasis haben alle die Norm und sie stehen senkrecht aufeinander. Im ist die Standardbasis eine Orthonormalbasis. Das folgende Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren erlaubt es, ausgehend von einer Basis eine Orthonormalbasis zu konstruieren.



Satz  Satz 31.15 ändern

Es sei ein euklidischer Vektorraum und es sei eine Basis von .

Dann gibt es eine Orthonormalbasis von mit[2]

für alle .

Beweis  

Die Aussage wird durch Induktion über bewiesen, d.h. es wird sukzessive eine Familie von orthonormalen Vektoren konstruiert, die jeweils den gleichen Unterraum aufspannen. Für muss man lediglich normieren, also durch ersetzen. Sei die Aussage für schon bewiesen und sei eine Familie von orthonormalen Vektoren mit bereits konstruiert. Wir setzen

Dieser Vektor steht senkrecht auf allen und offenbar ist . Durch Normieren von erhält man .



Beispiel  Referenznummer erstellen

Es sei der Kern der linearen Abbildung

Als Unterraum des trägt ein Skalarprodukt. Wir möchten eine Orthonormalbasis von bestimmen. Dazu betrachten wir die Basis bestehend aus den Vektoren

Es ist und somit ist

der zugehörige normierte Vektor. Gemäß dem[3] Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren setzen wir

Es ist

und daher ist

der zweite Vektor der Orthonormalbasis.




Isometrien

Definition  Referenznummer erstellen

Es seien und euklidische Vektorräume und sei

eine lineare Abbildung. Dann heißt eine Isometrie, wenn für alle gilt:



Lemma  Referenznummer erstellen

Es seien und euklidische Vektorräume und sei

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist eine Isometrie.
  2. Für alle ist .
  3. Für alle ist .

Beweis  

Die Richtungen und sind Einschränkungen und folgt aus Lemma 31.8.




Fußnoten
  1. Auch für komplexe Vektorräume gibt es Skalarprodukte, was wir aber nicht behandeln werden.
  2. Hier bezeichnet den von den Vektoren erzeugten Untervektorraum, nicht das Skalarprodukt.
  3. Häufig ist es numerisch geschickter, zuerst nur zu orthogonalisieren und die Normierung erst zum Schluss durchzuführen, siehe Beispiel Anhang 1.1.


<< | Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II | >>

PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)