Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 21

Reguläre Ringe

Definition

Ein noetherscher lokaler Ring ${}(R,{\mathfrak {m}})$ der Dimension ${}n$ heißt regulär, wenn es ${}n$ Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathfrak {m}}$ gibt, die das maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ erzeugen.

Ein regulärer nulldimensionaler lokaler Ring ist einfach ein Körper. Eindimensionale reguläre lokale Ringe nennt man auch diskrete Bewertungsringe. In ihnen wird das maximale Ideal durch ein Element ${}\neq 0$ erzeugt.

Beispiel

Zu einem Körper ${}K$ und Variablen ${}X_{1},\ldots ,X_{n}$ ist die Lokalisierung

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{(X_{1},\ldots ,X_{n})}$

ein lokaler regulärer Ring. Er besitzt die Dimension ${}n$ und das maximale Ideal wird eben durch ${}X_{1},\ldots ,X_{n}$ erzeugt.

Wenn ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})\in K^{n}$ ist, so ist auch die Lokalisierung des Polynomrings am maximalen Ideal ${}(X-a_{1},\ldots ,X-a_{n})$ regulär, und zwar isomorph zur Lokalisierung im Nullpunkt ${}(0,\ldots ,0)$. Es ist schwieriger zu zeigen, dass überhaupt die Lokalisierung an jedem maximalen Ideal

${}{\mathfrak {m}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

ein lokaler regulärer Ring der Dimension ${}n$ ist, siehe Aufgabe 21.12.

Beispiel

Wir betrachten die Neilsche Parabel ${}V=V{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$. In jedem Punkt ${}P\in V$ ist die Einbettungsdimension des lokalen Ringes

${}{\mathcal {O}}_{P}=K[X,Y]_{{\mathfrak {n}}_{P}}/{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}\,$

höchstens ${}2$, da dies für ${}K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ gilt. Dabei ist ${}{\mathfrak {n}}_{P}$ das zugehörige maximale Ideal im Polynomring und ${}{\mathfrak {m}}_{P}$ sei das maximale Ideal im lokalen Ring ${}{\mathcal {O}}_{P}$. Es gilt

${}{\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}={\mathfrak {n}}_{P}/{\left({\mathfrak {n}}_{P}^{2}+{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}\right)}\,.$

Bei ${}P=(0,0)$ ist ${}{\mathfrak {n}}_{P}=(X,Y)$ und ${}X^{2}-Y^{3}\in {\mathfrak {n}}_{P}^{2}$, also ist

${}{\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}={\mathfrak {n}}_{P}/{\left({\mathfrak {n}}_{P}^{2}+{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}\right)}={\mathfrak {n}}_{P}/{\mathfrak {n}}_{P}^{2}=K^{2}\,$

und die Einbettungsdimension ist ${}2$. Der lokale Ring im Nullpunkt ist also nicht regulär. Im Punkt ${}Q=(1,1)$ ist ${}{\mathfrak {n}}_{Q}=(X-1,Y-1)$ und wir schreiben ${}X^{2}-Y^{3}=(X-1)(X+1)-(Y-1){\left(Y^{2}+Y+1\right)}$. In ${}{\mathcal {O}}_{Q}$ gilt daher

${}X-1={\frac {Y^{2}+Y+1}{X+1}}(Y-1)\,,$

wobei eben die rationale Funktion zu ${}{\mathcal {O}}_{Q}$ gehört. Daher ist dort

${}{\mathfrak {m}}_{Q}={\left(Y-1\right)}\,$

und die Einbettungsdimension ist ${}1$. Der lokale Ring in ${}(1,1)$ ist also regulär.

Lemma

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler regulärer Ring der Dimension ${}d$ und seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathfrak {m}}$ Elemente. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Es gibt Elemente ${}f_{n+1},\ldots ,f_{d}$ mit ${}(f_{1},\ldots ,f_{d})={\mathfrak {m}}$.
2. Die Restklassen von ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ in ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ sind linear unabhängig über ${}K=R/{\mathfrak {m}}$.
3. Der Restklassenring ${}R/(f_{1},\ldots ,f_{n})$ ist regulär der Dimension ${}d-n$.

Beweis

Wir beweisen zuerst die Äquivalenz zwischen (1) und (2). Der Restklassenmodul ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ ist ein ${}R/{\mathfrak {m}}$-Vektorraum, der nach dem Lemma von Nakayama die Dimension ${}d$ besitzt. Wenn

${}(f_{1},\ldots ,f_{n},f_{n+1},\ldots ,f_{d})={\mathfrak {m}}\,$

ist, so bilden die Restklassen eine Basis von ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ und jedes Teilsystem davon ist linear unabhängig. Wenn umgekehrt die Restklasen von ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ in ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ linear unabhängig sind, so lassen diese sich nach dem Basisergänzungssatz durch ${}g_{n+1},\ldots ,g_{d}\in {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ zu einer Basis von ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ ergänzen. Diese Elemente werden wiederum durch Elemente ${}f_{n+1},\ldots ,f_{d}\in {\mathfrak {m}}$ repräsentiert, und nach dem Lemma von Nakayama gilt

${}(f_{1},\ldots ,f_{n},f_{n+1},\ldots ,f_{d})={\mathfrak {m}}\,.$

Wir beweisen nun die Äquivalenz zwischen (1) und (3). Wir setzen

${}{\mathfrak {a}}:=(f_{1},\ldots ,f_{n})\,.$

Es sei zunächst wieder durch ${}f_{n+1},\ldots ,f_{d}$ eine Ergänzung zu einem vollen Erzeugendensystem von ${}{\mathfrak {m}}$ gegeben. Dann sind die Restklassen von ${}f_{n+1},\ldots ,f_{d}$ in ${}R/{\mathfrak {a}}$ ein Erzeugendensystem des maximalen Ideals

${}{\mathfrak {n}}={\mathfrak {m}}/{\mathfrak {a}}\,$

von ${}R/{\mathfrak {a}}$. Damit ist die Einbettungsdimension von ${}R/{\mathfrak {a}}$ gleich ${}d-n$ und somit ist nach Satz 20.12 die Dimension von ${}R/{\mathfrak {a}}$ höchstens ${}d-n$. Andererseits ist die Dimension aber auch zumindest ${}d-n$ nach Korollar 18.9. Wäre nämlich die Dimension von ${}R/{\mathfrak {a}}$ gleich

${}m<d-n\,,$

so würde es Parameter

${}g_{1},\ldots ,g_{m}\in R/{\mathfrak {a}}\,$

geben, und diese würden zusammen mit den ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ in ${}R$ das maximale Ideal als Radikal beschreiben, was nach Satz 18.7 nicht sein kann.

Wenn umgekehrt ${}R/{\mathfrak {a}}$ regulär der Dimension ${}d-n$ ist, so sei

${}{\mathfrak {n}}=(g_{n+1},\ldots ,g_{d})\,.$

Diese ${}g_{i}$ werden durch ${}f_{n+1},\ldots ,f_{d}\in {\mathfrak {m}}$ repräsentiert und die ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ erzeugen ${}{\mathfrak {m}}$.

$\Box$

Satz

Ein regulärer lokaler Ring

ist ein Integritätsbereich.

Beweis

Wir führen Induktion über die Dimension ${}d$ von ${}R$. Bei ${}d=0$ ist ${}{\mathfrak {m}}=0$ und es liegt ein Körper vor. Es sei die Aussage für reguläre Ringe kleinerer Dimension schon bewiesen. Es seien ${}{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}$ die minimalen Primideale von ${}R$. Es ist ${}n=1$ und ${}{\mathfrak {p}}_{1}=0$ zu zeigen. Wir wenden Lemma Anhang 15.2 auf diese Primideale und auf ${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {m}}$ und ${}{\mathfrak {b}}={\mathfrak {m}}^{2}$ an. Es ist ${}{\mathfrak {m}}\not \subseteq {\mathfrak {p}}_{i}$, da die Dimension zumindest ${}1$ ist, und es ist ${}{\mathfrak {m}}\not \subseteq {\mathfrak {m}}^{2}$, denn sonst wäre ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=0$. Somit ist ${}{\mathfrak {m}}\not \subseteq {\mathfrak {m}}^{2}\cup \bigcup _{i=1}^{n}{\mathfrak {p}}_{i}$, d.h. es gibt ein ${}h\in {\mathfrak {m}}$, das in keinem minimalen Primideal und nicht in ${}{\mathfrak {m}}^{2}$ enthalten ist. Nach Lemma 21.4 ist ${}R/(h)$ ein regulärer Ring der Dimension ${}d-1$, es ist also ein Integritätsbereich nach Induktionsvoraussetzung. Somit ist das Hauptideal ${}(h)$ ein Primideal in ${}R$. Da jedes Primideal ein minimales Primideal umfasst, gilt

${}{\mathfrak {p}}_{i}\subseteq (h)\,$

für ein ${}i$, und die Inklusion muss nach der Wahl von ${}h$ echt sein. Somit muss

${}{\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {a}}\cdot (h)\,$

mit einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ sein. Aus der Primeigenschaft in Verbindung mit ${}h\notin {\mathfrak {p}}_{i}$ folgt

${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}_{i}\,$

und somit

${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{i}\,.$

Die Gleichheit

${}{\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {p}}_{i}\cdot (h)\,$

erzwingt aber nach dem Lemma von Nakayama ${}{\mathfrak {p}}_{i}=0$.

$\Box$

Reguläre Ringe und glatte Punkte

Satz

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper

${}P\in V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,$

ein Punkt der affin-algebraischen Menge zum Ideal ${}{\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{m})$ mit dem lokalen Ring

${}R=(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}})_{{\mathfrak {m}}_{P}}\,.$

Dann ist der Punkt genau dann glatt, wenn ${}R$ regulär ist.

Beweis

Ohne Einschränkung sei ${}P$ der Nullpunkt mit dem zugehörigen maximalen Ideal ${}{\mathfrak {n}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})$ im Polynomring, dem zugehörigen maximalen Ideal ${}{\mathfrak {r}}={\mathfrak {n}}/{\mathfrak {a}}$ in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ und dem zugehörigen maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}_{P}={\mathfrak {r}}(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}})_{\mathfrak {r}}$ in ${}R$. Wir betrachten die ${}K$- lineare Abbildung

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K^{n},\,g\longmapsto ((\partial _{1}g)(P),\ldots ,(\partial _{n}g)(P)).$

Dabei werden die Variablen ${}X_{i}$ auf die Standardvektoren ${}e_{i}$ abgebildet und die Abbildung ist surjektiv. Ein Element

${}g=c_{0}+c_{1}X_{1}+\cdots +c_{n}X_{n}+{\text{ höhere Terme}}\,$

wird auf ${}\left(c_{1},\,\ldots ,\,c_{n}\right)$ abgebildet. Ein homogenes Element

${}g\in {\mathfrak {n}}^{2}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{\geq 2}\,$

besitzt zumindest den Grad ${}2$ und wird daher auf ${}0$ abgebildet, da die partiellen Ableitungen den Grad um ${}1$ reduzieren und somit ergibt sich jeweils ein Element von positivem Grad. Durch Einsetzen des Nullpunktes ergibt sich dann ${}0$. Insgesamt induziert dies eine ${}K$-lineare Abbildung

${\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}\longrightarrow K^{n},$

die bijektiv ist, da die Räume die gleiche Vektorraumdimension besitzen.

Nach Lemma 18.9 ist ${}{\mathfrak {r}}/{\mathfrak {r}}^{2}\cong {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$. Unter der surjektiven Abbildung

${\mathfrak {n}}\longrightarrow {\mathfrak {r}}\longrightarrow {\mathfrak {r}}/{\mathfrak {r}}^{2}$

wird ${}{\mathfrak {n}}^{2}$ und ${}{\mathfrak {a}}$ auf ${}0$ abgebildet, und zwar ist der Kern genau ${}{\mathfrak {n}}^{2}+{\mathfrak {a}}$. Somit gibt es eine ${}K$-lineare Bijektion

${\mathfrak {n}}/({\mathfrak {n}}^{2}+{\mathfrak {a}})\longrightarrow {\mathfrak {r}}/{\mathfrak {r}}^{2}.$

Wir betrachten die Abbildungen

$K^{m}{\stackrel {\operatorname {Jak} }{\longrightarrow }}K^{n}\cong {\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}\longrightarrow {\mathfrak {n}}/{\left({\mathfrak {n}}^{2}+{\mathfrak {a}}\right)}.$

Ein Element ${}[g]\in {\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}$ wird rechts genau dann auf ${}0$ geschickt, wenn der lineare Anteil von ${}g$ zu ${}{\mathfrak {n}}^{2}+{\mathfrak {a}}$ gehört. Dies bedeutet, dass eine Gleichung der Form

${}g=\sum _{i=1}^{m}h_{i}f_{i}\,$

modulo ${}{\mathfrak {n}}^{2}$ besteht und dies bedeutet (für die ${}h_{i}$ ist nur der konstante Term relevant), dass eine lineare Gleichung der Form

${}{\begin{pmatrix}(\partial _{1}g)(P)\\\vdots \\(\partial _{n}g)(P)\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{m}h_{i}{\begin{pmatrix}(\partial _{1}f_{i})(P)\\\vdots \\(\partial _{n}f_{i})(P)\end{pmatrix}}\,$

Dies ist genau dann der Fall, wenn ${}{\begin{pmatrix}(\partial _{1}g)(P)\\\vdots \\(\partial _{n}g)(P)\end{pmatrix}}$ im Bild der Jacobimatrix liegt. Daher ist das Bild der Jacobimatrix gleich dem Kern der surjektiven Abbildung rechts. Somit ist nach der Dimensionsformel

${}n=\operatorname {rang} \,(\operatorname {Jak} )+\dim _{K}{\left({\mathfrak {n}}/{\left({\mathfrak {n}}^{2}+{\mathfrak {a}}\right)}\right)}=\operatorname {rang} \,(\operatorname {Jak} )+\dim _{K}{\left({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\right)}\,.$

Es sei nun ${}d$ die Dimension von ${}V({\mathfrak {a}})$ im Punkt ${}P$, die mit der Dimension des lokalen Ringes ${}R$ übereinstimmt. Nach Definition ist ${}P$ genau dann nichtsingulär, wenn ${}n=\operatorname {rang} \,(\operatorname {Jak} )+d$ ist. Dies ist daher genau dann der Fall, wenn

${}\dim _{K}{\left({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\right)}=d\,$

ist, und dies ist die Definition eines regulären Ringes.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K$ ein vollkommener Körper und ${}R$ die Lokalisierung einer endlich erzeugten ${}K$- Algebra. Der Restklassenkörper ${}R/{\mathfrak {m}}$ sei isomorph zu ${}K$.

Dann ist ${}R$ genau dann regulär, wenn der Modul der Kähler-Differentiale frei ist und sein Rang mit der Dimension des Ringes übereinstimmt.

Beweis

Wir verwenden Lemma 13.5, also den natürlichen ${}R/{\mathfrak {m}}$- Isomorphismus

${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\longrightarrow \Omega _{R{|}K}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}},\,[f]\longmapsto df\otimes 1.$

Wenn ${}\Omega _{R{|}K}$ ein freier ${}R$-Modul und sein Rang gleich der Dimension ${}d$ ist, so gilt dies auch für den ${}R/{\mathfrak {m}}$-Modul ${}\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}$ und dann ist insbesondere ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ ein ${}d$-dimensionaler ${}R/{\mathfrak {m}}$- Vektorraum. Dies bedeutet nach Definition, dass ${}R$ regulär ist. Umgekehrt folgt aus der Regularität, dass ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ und entsprechend ${}\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}$ ein ${}d$-dimensionaler Vektorraum ist, und nach dem Lemma von Nakayama, dass ${}\Omega _{R{|}K}$ als ${}R$-Modul von ${}d$ Elementen erzeugt wird. Nach Satz 21.5 ist ${}R$ ein Integritätsbereich, sei ${}Q(R)$ sein Quotientenkörper. Nach Satz 19.7 ist der Transzendenzgrad von ${}Q(R)$ über ${}K$ gleich der Dimension von ${}R$. Da der Modul der Kähler-Differentiale mit Nenneraufnahmen verträglich ist, gilt

${}\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}Q(R)=\Omega _{Q(R){|}K}\,.$

Da ${}K$ vollkommen ist, ist die Körpererweiterung ${}K\subseteq Q(R)$ nach Satz Anhang 15.4 (nicht endlich, aber) separabel. Damit ist ${}\Omega _{Q(R){|}K}$ ein freier ${}Q(R)$-Modul, dessen Rang gleich dem Transzendenzgrad ist. Zusammenfassend besitzt also der ${}R$-Modul ${}\Omega _{Q(R){|}K}$ die Eigenschaft, dass er von ${}d$ Elementen ${}\omega _{1},\ldots ,\omega _{d}$ erzeugt wird und dass die Tensorierung mit ${}Q(R)$ ein ${}Q(R)$- Vektorraum der Dimension ${}d$ ist. Somit müssen die ${}\omega _{1},\ldots ,\omega _{d}$ ${}R$- linear unabhängig sein, da sie dies über ${}Q(R)$ sind, und daher handelt es sich um eine Basis. Also ist ${}\Omega _{R{|}K}$ frei vom Rang ${}d$.

$\Box$

Reguläre Ringe und Multiplizität

Satz

Es sei ${}R$ ein lokaler noetherscher Ring.

Dann ist ${}R$ genau dann regulär, wenn der assoziierte graduierte Ring ${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R$ ein Polynomring über ${}R/{\mathfrak {m}}$ in ${}\operatorname {dim} {\left(R\right)}$ Variablen ist.

Beweis

Das maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ sei durch die Erzeuger ${}f_{1},\ldots ,f_{e}$ gegeben, wobei ${}e$ die Einbettungsdimension von ${}R$ bezeichnet. Dazu gehört ein surjektiver graduierter ${}R/{\mathfrak {m}}$- Algebrahomomorphismus

$R/{\mathfrak {m}}[X_{1},\ldots ,X_{e}]\longrightarrow \operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R=R/{\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\oplus {\mathfrak {m}}^{2}/{\mathfrak {m}}^{3}\ldots ,\,X_{i}\longmapsto [f_{i}],$

(${}[f_{i}]$ bezeichnet die Klasse von ${}f_{i}$ in ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$). Es steht links ein Ring der Dimension ${}e$ und rechts nach Satz 19.10 bzw. der graduierten Version davon ein Ring der Dimension ${}d=\operatorname {dim} {\left(R\right)}$. Wenn ${}R$ regulär ist, so ist ${}d=e$ und der Kern muss trivial sein, da echte Restklassenringe eines Integritätsbereiches eine kleinere Dimension besitzen. Wenn umgekehrt ein Isomorphismus vorliegt, so muss ${}d=e$ sein.

$\Box$

Korollar

Die Hilbert-Samuel-Multiplizität eines lokalen regulären Ringes ist ${}1$.

Beweis

Dies folgt aus Satz 21.8 in Verbindung mit Satz 16.13.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten den lokalen Ring

${}R=K[X,Y,Z]_{(X,Y,Z)}/(XY,XZ)\,,$

der geometrisch aus einer Ebene und einer Geraden besteht. Für die Potenzen des maximalen Ideals ${}{\mathfrak {m}}=(X,Y,Z)$ gilt

${}{\mathfrak {m}}^{n}=(X^{n})+(Y,Z)^{n}\,,$

da ja sämtliche Monome, in denen neben ${}X$ noch eine weitere Variable vorkommt, gleich ${}0$ sind. Somit gilt für die Restklassenräume

${}{\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}=K\langle X^{n},Y^{n},Y^{n-1}Z,\ldots ,Z^{n}\rangle \,$

und dessen ${}K$- Dimension ist ${}n+2$. Somit ist die Hilbert-Samuel-Funktion des Ringes gleich ${}H_{R}(n)=n+2$ und die Hilbert-Samuel-Multiplizität des Ringes ist ${}1$. Der Ring ist aber nicht regulär.

<< | Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019) | >> PDF-Version dieser Vorlesung Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)