Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 21

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Reguläre Ringe

Definition  

Ein noetherscher lokaler Ring der Dimension heißt regulär, wenn es Elemente gibt, die das maximale Ideal erzeugen.

Ein regulärer nulldimensionaler lokaler Ring ist einfach ein Körper. Eindimensionale reguläre lokale Ringe nennt man auch diskrete Bewertungsringe. In ihnen wird das maximale Ideal durch ein Element erzeugt.


Beispiel  

Zu einem Körper und Variablen ist die Lokalisierung

ein lokaler regulärer Ring. Er besitzt die Dimension und das maximale Ideal wird eben durch erzeugt.


Wenn ist, so ist auch die Lokalisierung des Polynomrings am maximalen Ideal regulär, und zwar isomorph zur Lokalisierung im Nullpunkt . Es ist schwieriger zu zeigen, dass überhaupt die Lokalisierung an jedem maximalen Ideal

ein lokaler regulärer Ring der Dimension ist, siehe Aufgabe 21.12.


Beispiel  

Wir betrachten die Neilsche Parabel . In jedem Punkt ist die Einbettungsdimension des lokalen Ringes

höchstens , da dies für gilt. Dabei ist das zugehörige maximale Ideal im Polynomring und sei das maximale Ideal im lokalen Ring . Es gilt

Bei ist und , also ist

und die Einbettungsdimension ist . Der lokale Ring im Nullpunkt ist also nicht regulär. Im Punkt ist und wir schreiben . In gilt daher

wobei eben die rationale Funktion zu gehört. Daher ist dort

und die Einbettungsdimension ist . Der lokale Ring in ist also regulär.




Lemma  

Es sei ein lokaler regulärer Ring der Dimension und seien Elemente. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. Es gibt Elemente mit .
  2. Die Restklassen von in sind linear unabhängig über .
  3. Der Restklassenring ist regulär der Dimension .

Beweis  

Wir beweisen zuerst die Äquivalenz zwischen (1) und (2). Der Restklassenmodul ist ein -Vektorraum, der nach dem Lemma von Nakayama die Dimension besitzt. Wenn

ist, so bilden die Restklassen eine Basis von und jedes Teilsystem davon ist linear unabhängig. Wenn umgekehrt die Restklasen von in linear unabhängig sind, so lassen diese sich nach dem Basisergänzungssatz durch zu einer Basis von ergänzen. Diese Elemente werden wiederum durch Elemente repräsentiert, und nach dem Lemma von Nakayama gilt

Wir beweisen nun die Äquivalenz zwischen (1) und (3). Wir setzen

Sei zunächst wieder durch eine Ergänzung zu einem vollen Erzeugendensystem von gegeben. Dann sind die Restklassen von in ein Erzeugendensystem des maximalen Ideals

von . Damit ist die Einbettungsdimension von gleich und somit ist nach Satz 20.12 die Dimension von höchstens . Andererseits ist die Dimension aber auch zumindest nach Korollar 18.9. Wäre nämlich die Dimension von gleich

so würde es Parameter

geben, und diese würden zusammen mit den in das maximale Ideal als Radikal beschreiben, was nach Satz 18.7 nicht sein kann.

Wenn umgekehrt regulär der Dimension ist, so sei

Diese werden durch repräsentiert und die erzeugen .




Satz  

Beweis  

Wir führen Induktion über die Dimension von . Bei ist und es liegt ein Körper vor. Sei die Aussage für reguläre Ringe kleinerer Dimension schon bewiesen. Es seien die minimalen Primideale von . Es ist und zu zeigen. Wir wenden Lemma Anhang 15.2 auf diese Primideale und auf und an. Es ist , da die Dimension zumindest ist, und es ist , denn sonst wäre . Somit ist , d.h. es gibt ein , das in keinem minimalen Primideal und nicht in enthalten ist. Nach Lemma 21.4 ist ein regulärer Ring der Dimension , es ist also ein Integritätsbereich nach Induktionsvoraussetzung. Somit ist das Hauptideal ein Primideal in . Da jedes Primideal ein minimales Primideal umfasst, gilt

für ein , und die Inklusion muss nach der Wahl von echt sein. Somit muss

mit einem Ideal sein. Aus der Primeigenschaft in Verbindung mit folgt

und somit

Die Gleichheit

erzwingt aber nach dem Lemma von Nakayama .



Reguläre Ringe und glatte Punkte



Satz  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper

ein Punkt der affin-algebraischen Menge zum Ideal mit dem lokalen Ring

Dann ist der Punkt genau dann glatt, wenn regulär ist.

Beweis  

Ohne Einschränkung sei der Nullpunkt mit dem zugehörigen maximalen Ideal im Polynomring, dem zugehörigen maximalen Ideal in und dem zugehörigen maximalen Ideal in . Wir betrachten die -lineare Abbildung

Dabei werden die Variablen auf die Standardvektoren abgebildet und die Abbildung ist surjektiv. Ein Element

wird auf abgebildet. Ein homogenes Element

besitzt zumindest den Grad und wird daher auf abgebildet, da die partiellen Ableitungen den Grad um reduzieren und somit ergibt sich jeweils ein Element von positivem Grad. Durch Einsetzen des Nullpunktes ergibt sich dann . Insgesamt induziert dies eine -lineare Abbildung

die bijektiv ist, da die Räume die gleiche Vektorraumdimension besitzen.

Nach Lemma 18.9 ist . Unter der surjektiven Abbildung

wird und auf abgebildet, und zwar ist der Kern genau . Somit gibt es eine -lineare Bijektion

Wir betrachten die Abbildungen

Ein Element wird rechts genau dann auf geschickt, wenn der lineare Anteil von zu gehört. Dies bedeutet, dass eine Gleichung der Form

modulo besteht und dies bedeutet (für die ist nur der konstante Term relevant), dass eine lineare Gleichung der Form

Dies ist genau dann der Fall, wenn im Bild der Jacobimatrix liegt. Daher ist das Bild der Jacobimatrix gleich dem Kern der surjektiven Abbildung rechts. Somit ist nach der Dimensionsformel

Es sei nun die Dimension von im Punkt , die mit der Dimension des lokalen Ringes übereinstimmt. Nach Definition ist genau dann nichtsingulär, wenn ist. Dies ist daher genau dann der Fall, wenn

ist, und dies ist die Definition eines regulären Ringes.



Satz  

Es sei ein vollkommener Körper und die Lokalisierung einer endlich erzeugten -Algebra. Der Restklassenkörper sei isomorph zu .

Dann ist genau dann regulär, wenn der Modul der Kähler-Differentiale frei ist und sein Rang mit der Dimension des Ringes übereinstimmt.

Beweis  

Wir verwenden Lemma 13.5, also den natürlichen -Isomorphismus

Wenn ein freier -Modul und sein Rang gleich der Dimension ist, so gilt dies auch für den -Modul und dann ist insbesondere ein -dimensionaler -Vektorraum. Dies bedeutet nach Definition, dass regulär ist. Umgekehrt folgt aus der Regularität, dass und entsprechend ein -dimensionaler Vektorraum ist, und nach dem Lemma von Nakayama, dass als -Modul von Elementen erzeugt wird. Nach Satz 21.5 ist ein Integritätsbereich, sei sein Quotientenkörper. Nach Satz 19.7 ist der Transzendenzgrad von über gleich der Dimension von . Da der Modul der Kähler-Differentiale mit Nenneraufnahmen verträglich ist, gilt

Da vollkommen ist, ist die Körpererweiterung nach Satz Anhang 15.4 (nicht endlich, aber) separabel. Damit ist ein freier -Modul, dessen Rang gleich dem Transzendenzgrad ist. Zusammenfassend besitzt also der -Modul die Eigenschaft, dass er von Elementen erzeugt wird und dass die Tensorierung mit ein -Vektorraum der Dimension ist. Somit müssen die -linear unabhängig sein, da sie dies über sind, und daher handelt es sich um eine Basis. Also ist frei vom Rang .




Reguläre Ringe und Multiplizität



Satz  

Es sei ein lokaler noetherscher Ring.

Dann ist genau dann regulär, wenn der assoziierte graduierte Ring ein Polynomring über in Variablen ist.

Beweis  

Das maximale Ideal sei durch die Erzeuger gegeben, wobei die Einbettungsdimension von bezeichnet. Dazu gehört ein surjektiver graduierter -Algebrahomomorphismus

( bezeichnet die Klasse von in ). Es steht links ein Ring der Dimension und rechts nach Satz 19.10 bzw. der graduierten Version davon ein Ring der Dimension . Wenn regulär ist, so ist und der Kern muss trivial sein, da echte Restklassenringe eines Integritätsbereiches eine kleinere Dimension besitzen. Wenn umgekehrt ein Isomorphismus vorliegt, so muss sein.




Korollar  

Die Hilbert-Samuel-Multiplizität eines lokalen regulären Ringes ist .

Beweis  

Dies folgt aus Satz 21.8 in Verbindung mit Satz 16.13.



Beispiel  

Wir betrachten den lokalen Ring

der geometrisch aus einer Ebene und einer Geraden besteht. Für die Potenzen des maximalen Ideals gilt

da ja sämtliche Monome, in denen neben noch eine weitere Variable vorkommt, gleich sind. Somit gilt für die Restklassenräume

und dessen -Dimension ist . Somit ist die Hilbert-Samuel-Funktion des Ringes gleich und die Hilbert-Samuel-Multiplizität des Ringes ist . Der Ring ist aber nicht regulär.



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