Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 17

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Assoziierter graduierter Ring

Definition  

Zu einem Ideal in einem kommutativen Ring nennt man die direkte Summe von -Moduln

mit der durch gegebenen Multiplikation den assoziierten graduierten Ring zu .

Diese Verknüpfung ist wohldefiniert. Der assoziierte graduierte Ring ist -graduiert und von der ersten Stufe erzeugt. Diese Konstruktion erlaubt es häufig, Fragen für einen beliebigen kommutativen Ring auf eine graduierte Situation zurückzuführen. Wenn ein endlich erzeugtes Ideal ist, so ist der graduierte Ring als Algebra endlich erzeugt, und zwar liefert ein Modulerzeugendensystem von ein Algebraerzeugendensystem, siehe Aufgabe 17.4. Wenn ein noetherscher lokaler Ring ist und man das maximale Ideale nimmt, so erhält man eine standard-graduierte Algebra mit dem Restekörper als nullte Stufe.



Beispiel  

Zum Ring der Neilschen Parabel, also zu mit dem maximalen Ideal , kann man den assoziierten graduierten Ring wie folgt berechnen. Es gibt eine surjektive Abbildung

die auf die Restklasse von und auf die Restklasse von in abbildet. Dabei ist

da ja die dritte Potenz von zu gehört. Da die Monome mit nicht in einer höheren Potenz liegen, hat man die Isomorphie

Insbesondere ist der assoziierte graduierte Ring nicht reduziert, obwohl ein Integritätsbereich ist.


Zu einem -Modul und einem Ideal besitzt die Folge der -Untermoduln

die Eigenschaften

  1. für alle .
  2. Es ist für alle .

Definition  

Es sei ein Ideal in einem kommutativen Ring und ein -Modul. Dann nennt man die direkte Summe

den assoziierten graduierten Modul zu .



Lemma  

Es sei ein Ideal in einem kommutativen Ring und ein -Modul.

Dann ist der assoziierte graduierte Modul in natürlicher Weise ein graduierter Modul über dem assoziierten graduierten Ring . Wenn der Modul endlich erzeugt ist, so ist ein endlich erzeugter -Modul.

Beweis  

Wir gehen aus von der Multiplikation

die wegen wohldefiniert ist. Wegen induziert dies eine Abbildung

Die Gesamtheit dieser Abbildung ergibt eine Abbildung

die zu einem graduierten -Modul macht.

Ein Erzeugendensystem von ergibt direkt ein Erzeugendensystem für den graduierten Modul.

Zumeist wird das Ideal ein maximales Ideal sein, insbesondere das maximale Ideal eines lokalen Ringes. Die beiden folgenden Lemmata zeigen, dass man bei der Bestimmung des assoziierten graduierten Ringes die Lokalisierung umgehen kann.



Lemma  

Sei ein noetherscher kommutativer Ring, ein maximales Ideal und ein -Modul. Es sei die Lokalisierung an mit dem maximalen Ideal und die Lokalisierung des Moduls.

Dann ist

Beweis  

Nach Aufgabe 14.10 ist , so dass der gleiche Restklassenkörper vorliegt. Die natürlichen -Modulhomomorphismen und

induzieren einen -Modulhomomorphismus

und einen -Vektorraumhomomorphismus

Dieser ist surjektiv, da -Modulerzeuger von auf ein -Erzeugendensystem von abbilden, und diese auf ein -Erzeugendensystem von abbilden.

Zum Beweis der Injektivität sei ein Element, das rechts auf abgebildet wird. D.h. es gilt in der Lokalisierung . Dies bedeutet, dass es Elemente und Elemente (also mit und ) mit

gibt. Dies bedeutet zurückübersetzt nach , dass es ein Element mit

für gewisse gibt. Da nicht zum maximalen Ideal gehört, gibt es ein und mit . Wir multiplizieren die obige Gleichung mit und erhalten

bzw.

Dabei gehört die rechte Seite offensichtlich zu , und damit definiert das Nullelement in .




Lemma  

Sei ein noetherscher kommutativer Ring, ein maximales Ideal und ein -Modul. Es sei die Lokalisierung an mit dem maximalen Ideal und die Lokalisierung des Moduls.

Dann gibt es eine natürliche graduierte -Algebraisomorphie

Beweis  

Dies folgt unmittelbar aus Lemma 17.5.




Die Hilbert-Samuel-Multiplizität eines lokalen Ringes

Definition  

Es sei ein noetherscher lokaler Ring und ein endlich erzeugter -Modul. Dann nennt man die Multiplizität des assoziierten graduierten Moduls die Hilbert-Samuel-Multiplizität von .

Entsprechend wird die Hilbert-Samuel-Funktion und das Hilbert-Samuel-Polynom zu unter Bezug auf den assoziierten graduierten Moduls definiert. Insbesondere sind diese Konzepte für den lokalen Ring selbst definiert und die Hilbert-Samuel-Multiplizität liefert eine Invariante für lokale Ringe.

Bemerkung  

Entscheidend für die Hilbert-Samuel-Multiplizität eines endlich erzeugten Moduls über einem noetherschen lokalen Ring sind die -Vektorraumdimensionen von , denn diese sind nach Definition die -te Stufe des assoziierten graduierten Moduls. Es liegt eine standard-graduierte -Algebra und darüber nach Lemma 16.5 ein endlich erzeugter graduierter Modul vor, so dass die Multiplizität wohldefiniert ist. Nach Satz 16.15 ist die Multiplizität eine natürliche Zahl.




Lemma  

Es sei ein maximales Ideal in einem noetherschen Ring und es sei ein endlich erzeugter -Modul.

Dann ist die Hilbert-Samuel-Funktion des -Moduls gleich

Beweis  

Dies folgt unmittelbar aus Lemma 17.5.




Lemma  

Es sei ein noetherscher lokaler Ring und ein endlich erzeugter -Modul.

Dann ist

d.h. die kumulative Hilbertfunktion des assoziierten graduierten Moduls misst die Vektorraumdimensionen von .

Beweis  

Wir betrachten die kurze exakte Sequenz von -Homomorphismen

zwischen endlichdimensionalen -Vektorräumen. Dabei gilt

Somit ist

und das ist die Definition der kumulativen Hilbertfunktion.




Satz  

Es sei

ein Polynom mit dem Untergrad .

Dann ist die Hilbert-Samuel-Multiplizität des Hyperflächenringes gleich .

Beweis  

Nach Voraussetzung hat die Gestalt

Es sei das maximale Ideal im Polynomring . Dabei gilt

Für ein weiteres Polynom (mit ) ist . Daher liegt eine kurze exakte Sequenz

vor. Dabei folgt die Injektivität links aus einer direkten Gradbetrachtung (siehe Aufgabe 17.14). Die Dimension von ist nach Aufgabe 4.7 gleich

Daher ergibt sich für die Gleichheit

Dies ist die Behauptung.

Wegen des letzten Satzes und wegen Satz 15.4 stimmt die Hilbert-Samuel-Multiplizität eines Hyperflächenringes mit der über das Schnittverhalten mit einer generischen Gerade definierte Multiplizität überein. Die Beziehung zwischen Multiplizität und Glattheit werden wir in Korollar 21.9 diskutieren.


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