Elementare und algebraische Zahlentheorie/10/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 1 3 4 6 2 0 2 5 3 3 4 5 0 0 44




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Ideal in einem kommutativen Ring .
  2. Die Folge der euklidischen Reste zu Elementen mit in einem euklidischen Bereich.
  3. Ein faktorieller Bereich .
  4. Eine primitive Einheit in .
  5. Ein Primideal in einem kommutativen Ring .
  6. Der Hauptdivisor zu einem Element , in einem Zahlbereich .


Lösung

  1. Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge , für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
    1. Für alle ist auch .
    2. Für alle und ist auch .
  2. Man nennt die durch die Anfangsbedingungen und und die mittels der Division mit Rest

    rekursiv bestimmte Folge die Folge der euklidischen Reste.

  3. Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
    1. Jedes irreduzible Element in ist prim.
    2. Jedes Element , , ist ein Produkt aus irreduziblen Elementen.
  4. Eine Einheit heißt primitiv, wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.
  5. Ein Primideal ist ein Ideal, wenn ist und wenn für mit folgt: oder .
  6. Der durch definierte Hauptdivisor ist die Abbildung, die jedem Primideal in die Ordnung zuordnet.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der kleine Fermat.
  2. Der Satz über die Darstellbarkeit einer natürlichen Zahl als Summe von zwei Quadraten.
  3. Der Satz über die Diskriminante quadratischer Zahlbereiche.


Lösung

  1. Für eine Primzahl und eine beliebige ganze Zahl gilt
  2. Sei eine positive natürliche Zahl. Schreibe , wobei jeder Primfaktor von nur einfach vorkomme. Dann ist die Summe von zwei Quadraten genau dann, wenn in der Primfaktorzerlegung von nur und Primzahlen vorkommen, die modulo den Rest haben.
  3. Sei eine quadratfreie Zahl und der zugehörige quadratische Zahlbereich Dann ist die Diskriminante von gleich

    und


Aufgabe (1 Punkt)

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe und deren Produkt ist.


Lösung

Die Primfaktorzerlegung von ist

Die beiden gesuchten Zahlen müssen also Teiler davon sein, also von der Form mit . Da die Summe ungerade ist, besitzt die eine Zahl die Form

Dies führt auf die und .


Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstablelle, in der alle Produkte mit stehen. Bestimme die Primfaktorzerlegung des Produktes über alle Einträge in der Tabelle.


Lösung

Es sei das Produkt aller Zahlen im kleinen Einmaleins. Als Primfaktoren kommen nur in Frage. Jede Zahl wird mit jeder der neun einstelligen Zahl sowohl von links als auch von rechts multipliziert und dadurch tritt die Primfaktorzerlegung von in der -ten Potenz auf. Somit ergibt sich


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.


Lösung

Da und teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout Elemente mit . Die Voraussetzung, dass das Produkt teilt, schreiben wir als . Damit gilt

was zeigt, dass ein Vielfaches von ist.


Aufgabe (6 (1+1+2+2) Punkte)

In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring .

a) Schreibe als Produktring (im Sinne des chinesischen Restsatzes).

b) Wie viele Einheiten besitzt ?

c) Schreibe das Element in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.

d) Berechne die Ordnung von in .


Lösung

a) Es ist

daher ist

b) Nach der Formel für die eulersche -Funktion ist die Anzahl der Einheiten gleich

c) Die Reste von modulo und sind

Da jede Komponente teilerfremd zu den zugehörigen Modulozahlen sind, handelt sich es sich insgesamt um eine Einheit. Das Inverse ist

d) Zur Berechnung der Ordnung von modulo schreiben wir

Die Ordnung in der ersten und der dritten Komponente ist , die Ordnung in der zweiten Komponente ist wegen , gleich , da ja die Ordnung besitzt. Daher ist die Ordnung von gleich .


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel an, wo das Jacobi-Symbol den Wert hat, aber kein Quadratrest vorliegt.


Lösung

Betrachte in

das Element . Die ist weder modulo noch modulo ein Quadratrest, also erst recht nicht modulo . Andererseits ist aber nach Definition


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass ein Ideal in einem kommutativen Ring genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring reduziert ist.


Lösung

Sei ein Radikal und nilpotent. Dann ist in . Zurückübersetzt nach bedeutet dies . Da ein Radikal vorliegt, ist und damit im Restklassenring. Also ist dieser reduziert.

Sei umgekehrt ein Ideal

mit reduziertem Restklassenring gegeben. Sei . Dann ist die Restklasse von gleich . Wegen der Reduziertheit ist bereits . Dies bedeutet , also ist das Ideal ein Radikal.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise, dass ein faktorieller Integritätsbereich normal ist.


Lösung

Sei der Quotientenkörper von und ein Element, das die Ganzheitsgleichung

mit erfüllt. Wir schreiben  mit , , wobei wir annehmen können, dass die Darstellung gekürzt ist, dass also und keinen gemeinsamen Primteiler besitzen. Wir haben zu zeigen, dass eine Einheit in ist, da dann zu gehört.

Wir multiplizieren die obige Ganzheitsgleichung mit und erhalten in

Wenn keine Einheit ist, dann gibt es einen Primteiler von . Dieser teilt alle Summanden für und daher auch den ersten, also . Das bedeutet aber, dass selbst ein Vielfaches von ist im Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es in jedem Zahlbereich abzählbar unendlich viele Primideale gibt.


Lösung

Die Aussage ist für richtig. Es sei der Zahlbereich. Zu jeder Primzahl ist ein Fakt endlicher Ring und besitzt somit endlich viele (und mindestens eins) Primideale. Diese Primideale entsprechen den Primidealen von oberhalb von , und jedes von verschiedene Primideal wird dadurch erfasst. Also ist die Menge der Primideale eine abzählbar unendliche Vereinigung von endlichen (nichtleeren) Mengen und damit abzählbar unendlich.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme ein Element aus , das unter allen Nichteinheiten minimale Norm besitzt. Begründe, dass dieses Element irreduzibel ist.


Lösung

Die Elemente in haben die Form

mit . Die Norm davon ist

Bei ergibt sich zumindest . Bei und ergibt sich die Norm . Bei und liegt eine Einheit vor, so dass die Nichteinheiten mit minimaler Norm sind. Ein solches Element ist irreduzibel, da aus folgt . Da es aber kein Element mit Norm gibt, muss oder die Norm haben, also eine Einheit sein.


Aufgabe (4 Punkte)

Seien und Integritätsbereiche und sei eine ganze Ringerweiterung. Es sei ein Element, das in eine Einheit ist. Zeige, dass dann schon in eine Einheit ist.


Lösung

Sei das Inverse von , also . Da ganz über ist, gibt es eine Ganzheitsgleichung für , sagen wir

mit . Wir multiplizieren diese Gleichung mit und erhalten

bzw.

Ausklammern von ergibt

und damit

wobei der Ausdruck in der Klammer zu gehört. Also besitzt auch ein Inverses in .


Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen.

  1. Zeige, dass die Polynomfunktionen

    mit linear unabhängig sind.

  2. Zeige, dass die Exponentialfunktionen

    mit linear unabhängig sind.


Lösung

  1. Nach dem Interpolationssatz kann man jede Abbildung

    eindeutig als ein Polynom vom Grad schreiben. Wegen der Eindeutigkeit sind die Potenzfunktionen linear unabhängig.

  2. Wir betrachten die -Matrix

    In der -ten Spalte stehen alle Werte (eine vollständige Wertetabelle) von (an den Stellen ). Diese Tupel sind nach Teil (1) linear unabhängig. In der -ten Zeile stehen alle Werte der Exponentialfunktion zur Basis (an den Stellen ). Nach Fakt sind mit den Spalten auch die Zeilen linear unabhängig. Somit sind die Exponentialfunktionen linear unabhängig.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung