Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 10/kontrolle

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Aufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein Zahlbereich und sei angenommen, dass jede ganze Zahl , , eine Primfaktorzerlegung in besitzt. Zeige, dass dann bereits faktoriell ist.


Aufgabe Aufgabe 10.2 ändern

Es sei quadratfrei und der zugehörige quadratische Zahlbereich. Es Sei eine Primzahl, die in nicht träge sei. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen.

  1. besitzt eine Primfaktorzerlegung in .
  2. ist nicht irreduzibel (also zerlegbar) in .
  3. oder ist die Norm eines Elementes aus .
  4. oder ist die Norm eines Primelementes aus .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei quadratfrei und der zugehörige imaginär-quadratische Zahlbereich. Bestimme für die Nichteinheiten mit minimaler Norm.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte in die beiden Elemente

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler der Normen und (in ) und das von und erzeugte Ideal in .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für einen quadratischen Zahlbereich, wo die als Norm eines Elementes auftritt, und ein Beispiel, wo dies nicht der Fall ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die Norm des Ideals im Zahlbereich .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Norm des Ideals im Zahlbereich .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

  1. Zeige, dass in die Ideale und übereinstimmen.
  2. Bestimme die Norm des Ideals im Zahlbereich .
  3. Bestimme die Norm des Ideals im Zahlbereich .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ein Zahlbereich und es sei ein Primideal. Zeige, dass die Norm von eine echte Primzahlpotenz ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme im quadratischen Zahlbereich endlich viele Elemente , deren Norm ist, und die die Eigenschaft erfüllen, dass jedes Element mit der Norm zu einem der assoziiert ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe das Spektrum eines diskreten Bewertungsringes.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein diskreter Bewertungsring und sei . Es sei der Restklassenkörper von . Zeige, dass es für jedes einen -Modulisomorphismus

gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein diskreter Bewertungsring, dessen Restekörper endlich mit Elementen sei. Zeige, dass ein endlicher Ring mit Elementen ist. Man folgere, dass zu die Gleichheit

gilt, und dass man die Ordnung von aus der Größe des Restklassenringes berechnen kann.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper . Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen und gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper . Charakterisiere die endlich erzeugten -Untermoduln von . Auf welche Form kann man ein Erzeugendensystem bringen?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper der Charakteristik und sei , , und . Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von an der Stelle übereinstimmen.

  1. Die Verschwindungsordnung von an der Stelle , also die maximale Ordnung einer formalen Ableitung mit .
  2. Der Exponent des Linearfaktors in der Zerlegung von .
  3. Die Ordnung von an der Lokalisierung von am maximalen Ideal .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein Körper und der Körper der rationalen Funktionen über . Finde einen diskreten Bewertungsring mit und mit .


Aufgabe Aufgabe 10.18 ändern

Beweise für einen diskreten Bewertungsring die Eigenschaften der Ordnung, die in Lemma 10.15 formuliert sind.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei eine fixierte Primzahl. Zu jeder ganzen Zahl bezeichne den Exponenten, mit dem die Primzahl in der Primfaktorzerlegung von vorkommt.

a) Zeige: die Abbildung ist surjektiv.

b) Zeige: es gilt .

c) Finde eine Fortsetzung der gegebenen Abbildung, die ein Gruppenhomomorphismus ist (wobei mit der Multiplikation und mit der Addition versehen ist).

d) Beschreibe den Kern des unter c) beschriebenen Gruppenhomomorphismus.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich das Primideal . Zeige direkt, dass das Ideal in der Lokalisierung ein Hauptideal ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei quadratfrei und . Finde in ein Primideal derart, dass die Lokalisierung an kein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Sei ein Körper und sei

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit für alle . Zeige, dass

ein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei der Einheitskreis über einem Körper und es sei ein Punkt.

  1. Zeige, dass der lokale Ring von im Punkt ein diskreter Bewertungsring ist.
  2. Folgere, dass der Koordinatenring normal ist (man kann algebraisch abgeschlossen annehmen).
  3. Zeige, dass nicht faktoriell ist.
  4. Bestimme die Ordnung von und von im lokalen Ring zum Punkt .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein Körper. Eine Potenzreihe in einer Variablen über ist ein formaler Ausdruck der Form

Es kann hier also unendlich viele von verschiedene Koeffizienten geben. Definiere eine Ringstruktur auf der Menge aller Potenzreihen, die die Ringstruktur auf dem Polynomring in einer Variablen fortsetzt. Zeige, dass dieser Ring ein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper . Es sei , wobei die , , alle diskrete Bewertungsringe seien. Zeige: ist normal.


Ein Modul, der außer keine Torsionselemente enthält, heißt torsionsfrei.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass ein torsionsfreier endlich erzeugter Modul über einem diskreten Bewertungsring frei ist.