Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 10

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Diskrete Bewertungsringe

Definition  

Ein diskreter Bewertungsring ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in gibt.

Wir wollen zeigen, dass zu einem Zahlbereich die Lokalisierung an einem jeden Primideal ein diskreter Bewertungsring ist.



Lemma  

Ein diskreter Bewertungsring ist

ein lokaler, noetherscher Hauptidealbereich mit genau zwei Primidealen, nämlich und dem maximalen Ideal .

Beweis  

Ein diskreter Bewertungsring ist kein Körper. In einem Hauptidealbereich, der kein Körper ist, wird jedes maximale Ideal von einen Primelement erzeugt, und die Primerzeuger zu verschiedenen maximalen Idealen können nicht assoziiert sein. Also gibt es genau ein maximales Ideal. Nach Fakt ***** ist ein Hauptidealbereich insbesondere ein Dedekindbereich, so dass es als weiteres Primideal nur noch das Nullideal gibt.



Definition  

Zu einem Element , in einem diskreten Bewertungsring mit Primelement heißt die Zahl mit der Eigenschaft , wobei eine Einheit bezeichnet, die Ordnung von . Sie wird mit bezeichnet.

Die Ordnung ist also nichts anderes als der Exponent zum (bis auf Assoziiertheit) einzigen Primelement in der Primfaktorzerlegung. Sie hat folgende Eigenschaften.


Lemma

Sei ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal .

Dann hat die Ordnung

folgende Eigenschaften.

  1. .
  2. .
  3. genau dann, wenn .
  4. genau dann, wenn .

Beweis

Siehe Aufgabe *****.


Wir wollen eine wichtige Charakterisierung für diskrete Bewertungsringe beweisen, die insbesondere beinhaltet, dass ein normaler lokaler Integritätsbereich mit genau zwei Primidealen bereits ein diskreter Bewertungsring ist. Dazu benötigen wir einige Vorbereitungen.



Lemma  

Sei ein kommutativer Ring und sei nicht nilpotent.

Dann gibt es ein Primideal in mit .

Beweis  

Wir betrachten die Menge der Ideale

Diese Menge ist nicht leer, da sie das Nullideal enthält. Ferner ist sie induktiv geordnet (bezüglich der Inklusion). Ist nämlich , , eine total geordnete Teilmenge von , so ist deren Vereinigung ebenfalls ein Ideal, das keine Potenz von enthält. Nach dem Lemma von Zorn gibt es daher maximale Elemente in .

Wir behaupten, dass ein solches maximales Element ein Primideal ist. Sei dazu und , und sei angenommen. Dann hat man echte Inklusionen

Wegen der Maximalität können die beiden Ideale rechts nicht zu gehören, und das bedeutet, dass es Exponenten gibt mit

Dann ergibt sich der Widerspruch




Lemma  

Sei ein noetherscher lokaler kommutativer Ring. Es sei vorausgesetzt, dass das maximale Ideal das einzige Primideal von ist.

Dann gibt es einen Exponenten mit

Beweis  

Wir behaupten zunächst, dass jedes Element in eine Einheit oder nilpotent ist. Sei hierzu keine Einheit. Dann ist . Angenommen, ist nicht nilpotent. Dann gibt es nach Aufgabe ***** ein Primideal in mit . Damit ergibt sich der Widerspruch .

Es ist also jedes Element im maximalen Ideal nilpotent. Insbesondere gibt es für ein endliches Erzeugendensystem von eine natürliche Zahl mit für alle . Sei . Dann ist ein beliebiges Element aus von der Gestalt

Ausmultiplizieren ergibt eine Linearkombination mit Monomen und , so dass ein mit einem Exponenten vorkommt. Daher ist das Produkt .




Satz  

Sei ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist ein diskreter Bewertungsring.
  2. ist ein Hauptidealbereich.
  3. ist faktoriell.
  4. ist normal.
  5. ist ein Hauptideal.

Beweis  

folgt direkt aus der Definition *****.

folgt aus Fakt *****.

folgt aus Satz 6.12.

. Sei , . Dann ist ein noetherscher lokaler Ring mit nur einem Primideal (nämlich ). Daher gibt es nach Fakt ***** ein mit . Zurückübersetzt nach heißt das, dass gilt. Wir wählen minimal mit den Eigenschaften

Wähle mit und betrachte

(es ist ). Das Inverse, also , gehört nicht zu , sonst wäre . Da nach Voraussetzung normal ist, ist auch nicht ganz über . Nach dem Modulkriterium Fakt ***** für die Ganzheit gilt insbesondere für das maximale Ideal die Beziehung

ist. Nach Wahl von ist aber auch

Daher ist ein Ideal in , das nicht im maximalen Ideal enthalten ist. Also ist . Das heißt einerseits und andererseits gilt für ein beliebiges die Beziehung , also , also und somit .

. Sei . Dann ist ein Primelement und zwar bis auf Assoziiertheit das einzige. Sei , keine Einheit. Dann ist und daher . Dann ist eine Einheit oder . Im zweiten Fall ist wieder und .

Wir behaupten, dass man mit einer Einheit schreiben kann. Andernfalls könnte man mit beliebig großem schreiben. Nach Fakt ***** gibt es ein mit . Bei ergibt sich und der Widerspruch .

Es lässt sich also jede Nichteinheit als Produkt einer Potenz des Primelements mit einer Einheit schreiben. Insbesondere ist faktoriell. Für ein beliebiges Ideal ist mit Einheiten . Dann sieht man leicht, dass ist mit .




Korollar  

Sei ein Dedekindbereich und sei ein maximales Ideal in .

Dann ist die Lokalisierung

ein diskreter Bewertungsring.

Beweis  

Die Lokalisierung ist lokal nach Fakt *****, so dass es lediglich die beiden Primideale und gibt. Ferner ist noethersch. Da normal ist, ist nach Fakt ***** auch die Lokalisierung normal. Wegen Fakt ***** ist ein diskreter Bewertungsring.


Bemerkung  

Fakt ***** besagt in Verbindung mit Fakt *****, dass wenn man bei einem Dedekindbereich und spezieller einem Zahlbereich zur Lokalisierung an einem maximalen Ideal übergeht, dass dort die eindeutige Primfaktorzerlegung gilt.




Korollar  

Sei ein Dedekindbereich.

Dann ist der Durchschnitt von diskreten Bewertungsringen.

Beweis  

Nach Fakt ***** ist

wobei durch alle maximalen Ideale von läuft. Nach Fakt ***** sind die beteiligten Lokalisierungen allesamt diskrete Bewertungsringe.



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