Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 10

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Die Norm für Zahlbereiche

Nach Korollar 7.11 ist die Norm eines Elementes eines Zahlbereiches ganzzahlig.



Lemma  

Es sei der Ganzheitsring einer endlichen Körpererweiterung .

Dann ist genau dann eine Einheit, wenn ist.

Beweis  

Wenn eine Einheit ist, so ist mit einem und aus der Multiplikativität der Norm folgt

woraus nach Korollar 7.11 folgt. Die Umkehrung folgt aus Korollar 8.6 und daraus, dass dann die Multiplikationsabbildung zu auf bijektiv ist.




Lemma  

Es sei ein Zahlbereich vom Grad und .

Dann ist die Norm von in gleich .

Beweis  



Die Norm von Idealen

Definition  

Zu einem Ideal in einem Zahlbereich heißt die (endliche) Anzahl des Restklassenringes die Norm von . Sie wird mit

bezeichnet.


Beispiel  

Zu einem von verschiedenen Ideal mit ist die Norm einfach gleich , da ja der Restklassenring genau Elemente besitzt.




Lemma  

Es sei ein Ideal in einem Zahlbereich .

Dann ist .

Beweis  

Wir betrachten die Abbildung

Der Ring rechts hat nach Definition Elemente. Deshalb gehört diese Zahl zum Kern der Gesamtabbildung.


Die Norm eines Ideals berechnet man am besten, indem man nach und nach den Restklassenring vereinfacht. Ein entscheidender Schritt ist dabei, eine ganze Zahl in dem Ideal zu finden, da man dann über dem endlichen Ring arbeiten und weiter vereinfachen kann. Dieses Verfahren hilft aufgrund der folgenden Aussage auch bei der Berechnung der Norm von Elementen.



Lemma  

Es sei ein Zahlbereich und , .

Dann ist der Betrag der Norm von gleich der Norm des Hauptideals .

Beweis  

Das Hauptideal ist das Bild des injektiven Gruppenhomomorphismus

Dieser wird unter einer Identifizierung (also der Wahl einer Ganzheitsbasis von ) durch die zu gehörende Multiplikationsmatrix beschrieben. Es liegt insgesamt dias kommutative Diagramm

mit vertikalen Isomorpien vor. Die Determinante von ist die Norm von , und die Anzahl der Elemente in der Restklassengruppe ist die Norm des Hauptideals. Daher folgt die Aussage aus Satz Anhang 7.1.



Beispiel  

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich zu das Ideal

Wir behaupten, dass es kein Hauptideal ist und verwenden dabei, dass die Norm dieses Ideals gleich ist. Wäre nämlich mit einem , so müsste nach . auch

gelten. Allerdings ist die Norm von gleich und dies kann nicht gleich sein.




Korollar  

Es sei ein Element in einem Zahlbereich .

Dann ist .

Insbesondere ist bei .

Beweis  

Dies folgt aus Lemma 10.6 und Lemma 10.5, angewendet auf das Hauptideal .


Die Norm hat die Eigenschaft, dass oberhalb von nur Einheiten liegen. Auch für die Elemente aus , deren Norm gleich einer fixierten ganzen Zahl ist, gibt es eine wichtige Gesetzmäßigkeit.



Lemma  

Es sei der Ganzheitsring einer endlichen Körpererweiterung und sei .

Dann gibt es endlich viele Elemente derart, dass jedes mit zu einem der assoziiert ist.

Beweis  

Der Restklassenring ist endlich nach Lemma 10.2 und Lemma 10.6. Wir behaupten, dass Elemente aus der gleichen Nebenklasse zu , die beide die Norm besitzen, zueinander assoziiert sind (für die wählen wir zu jeder Nebenklasse von einen Repräsentanten mit Norm aus, falls es überhaupt ein solches Element gibt). Seien dazu mit

und mit . Dann ist in

und dies gehört zu , da nach Korollar 10.8 zu gehört. Dies gilt auch, wenn man die Rollen von und vertauscht. Also teilen sich und gegenseitig und sind daher assoziiert.



Diskrete Bewertungsringe

Definition  

Ein diskreter Bewertungsring ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in gibt.

Einen Erzeuger des maximalen Ideals in einem diskreten Bewertungsring nennt man auch eine Ortsuniformisierende. Wir wollen zeigen, dass zu einem Zahlbereich die Lokalisierung an einem jeden maximalen Ideal ein diskreter Bewertungsring ist.



Lemma  

Ein diskreter Bewertungsring ist

ein lokaler, noetherscher Hauptidealbereich mit genau zwei Primidealen, nämlich und dem maximalen Ideal .

Beweis  

Ein diskreter Bewertungsring ist kein Körper. In einem Hauptidealbereich, der kein Körper ist, wird jedes maximale Ideal von einen Primelement erzeugt, und die Primerzeuger zu verschiedenen maximalen Idealen können nicht assoziiert sein. Also gibt es genau ein maximales Ideal. Nach Satz 9.18 ist ein Hauptidealbereich insbesondere ein Dedekindbereich, so dass es als weiteres Primideal nur noch das Nullideal gibt.



Beispiel  

Es sei ein Körper, der Polynomring und die Lokalisierung am maximalen Ideal . Dann ist ein diskreter Bewertungsring. Die beiden einzigen Primideale von sind , und ein Hauptidealbereich liegt vor, da ja ein Hauptidealbereich ist. Da es nur ein maximales Ideal gibt, kann es bis auf Assoziiertheit auch nur ein Primelement geben, nämlich .



Beispiel  

Es sei eine Primzahl und sei die Lokalisierung am maximalen Ideal . Dann ist ein diskreter Bewertungsring. Die beiden einzigen Primideale von sind , und ein Hauptidealbereich liegt vor, da ja ein Hauptidealbereich ist. Da es nur ein maximales Ideal gibt, kann es bis auf Assoziiertheit auch nur ein Primelement geben, nämlich .



Definition  

Zu einem Element , in einem diskreten Bewertungsring mit Primelement heißt die Zahl mit der Eigenschaft , wobei eine Einheit bezeichnet, die Ordnung von . Sie wird mit bezeichnet.

Die Ordnung ist also nichts anderes als der Exponent zum (bis auf Assoziiertheit) einzigen Primelement in der Primfaktorzerlegung. Sie hat folgende Eigenschaften.


Lemma

Es sei ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal .

Dann hat die Ordnung

folgende Eigenschaften.

  1. .
  2. .
  3. Es ist genau dann, wenn ist.
  4. Es ist genau dann, wenn ist.

Beweis

Siehe Aufgabe 10.18.


Wir wollen eine wichtige Charakterisierung für diskrete Bewertungsringe beweisen, die insbesondere beinhaltet, dass ein normaler lokaler Integritätsbereich mit genau zwei Primidealen bereits ein diskreter Bewertungsring ist. Dazu benötigen wir einige Vorbereitungen.



Lemma  

Es sei ein noetherscher lokaler kommutativer Ring. Es sei vorausgesetzt, dass das maximale Ideal das einzige Primideal von ist.

Dann gibt es einen Exponenten mit

Beweis  

Wir behaupten zunächst, dass jedes Element in eine Einheit oder nilpotent ist. Sei hierzu keine Einheit. Dann ist . Angenommen, ist nicht nilpotent. Dann gibt es nach Lemma 3.9 ein Primideal in mit . Damit ergibt sich der Widerspruch .

Es ist also jedes Element im maximalen Ideal nilpotent. Insbesondere gibt es für ein endliches Erzeugendensystem von eine natürliche Zahl mit für alle . Sei . Dann ist ein beliebiges Element aus von der Gestalt

Ausmultiplizieren ergibt eine Linearkombination mit Monomen und , so dass ein mit einem Exponenten vorkommt. Daher ist das Produkt .




Satz  

Es sei ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist ein diskreter Bewertungsring.
  2. ist ein Hauptidealbereich.
  3. ist faktoriell.
  4. ist normal.
  5. ist ein Hauptideal.

Beweis  

folgt direkt aus der Definition 10.10.

folgt aus Satz 2.19.

folgt aus Satz 6.12.

. Sei , . Dann ist ein noetherscher lokaler Ring mit nur einem Primideal (nämlich ). Daher gibt es nach Lemma 10.16 ein mit . Zurückübersetzt nach heißt das, dass gilt. Wir wählen minimal mit den Eigenschaften

Wähle mit und betrachte

(es ist ). Das Inverse, also , gehört nicht zu , sonst wäre . Da nach Voraussetzung normal ist, ist auch nicht ganz über . Nach dem Modulkriterium Lemma 6.7 für die Ganzheit gilt insbesondere für das maximale Ideal die Beziehung

ist. Nach Wahl von ist aber auch

Daher ist ein Ideal in , das nicht im maximalen Ideal enthalten ist. Also ist . Das heißt einerseits und andererseits gilt für ein beliebiges die Beziehung , also , also und somit .

. Sei . Dann ist ein Primelement und zwar bis auf Assoziiertheit das einzige. Sei , keine Einheit. Dann ist und daher . Dann ist eine Einheit oder . Im zweiten Fall ist wieder und .

Wir behaupten, dass man mit einem und einer Einheit schreiben kann. Andernfalls könnte man mit beliebig großem schreiben. Nach Lemma 10.16 gibt es ein mit . Bei ergibt sich und der Widerspruch .

Es lässt sich also jede Nichteinheit als Produkt einer Potenz des Primelements mit einer Einheit schreiben. Insbesondere ist faktoriell. Für ein beliebiges Ideal ist mit Einheiten . Dann sieht man leicht, dass ist mit .



Korollar  

Sei ein Dedekindbereich und sei ein maximales Ideal in .

Dann ist die Lokalisierung

ein diskreter Bewertungsring.

Beweis  

Die Lokalisierung ist lokal nach Satz 4.15, so dass es lediglich die beiden Primideale und gibt. Ferner ist noethersch. Da normal ist, ist nach Lemma 6.15 auch die Lokalisierung normal. Wegen Satz 10.17 ist ein diskreter Bewertungsring.


Bemerkung  

Korollar 10.18 besagt in Verbindung mit Satz 10.17, dass wenn man bei einem Dedekindbereich und spezieller einem Zahlbereich zur Lokalisierung an einem maximalen Ideal übergeht, dass dort die eindeutige Primfaktorzerlegung gilt.




Korollar  

Sei ein Dedekindbereich.

Dann ist der Durchschnitt von diskreten Bewertungsringen.

Beweis  

Nach Satz 4.16 ist

wobei durch alle maximalen Ideale von läuft. Nach Korollar 10.18 sind die beteiligten Lokalisierungen allesamt diskrete Bewertungsringe.



<< | Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021) | >>

PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)