Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 9

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Quadratische Zahlbereiche

Wir beschreiben nun die bisher entwickelten Konzepte im Fall von quadratischen Zahlbereichen genauer. In diesen lassen sich sehr häufig viele Sachen mit einem vertretbaren Aufwand ausrechnen, zugleich zeigen sich aber auch schon viele typische Phänomene der allgemeinen Theorie.


Definition  

Ein quadratischer Zahlbereich ist der Ring der ganzen Zahlen in einem Erweiterungskörper von vom Grad .

Notation

Zu einer quadratfreien Zahl bezeichnet man den zugehörigen quadratischen Zahlbereich, also den Ring der ganzen Zahlen in , mit


Eine quadratische Körpererweiterung der rationalen Zahlen wird durch ein normiertes irreduzibles Polynom beschrieben, das man durch quadratisches Ergänzen auf die Form bringen kann. Durch Multiplikation mit einem Quadrat (siehe Aufgabe 9.1) kann man durch eine quadratfreie ganze Zahl ersetzen. Die quadratische Körpererweiterung kann man also als mit einer quadratfreien Zahl ansetzen. Ein großer Unterschied besteht je nachdem, ob positiv oder negativ ist. Im positiven Fall ist eine reelle irrationale Zahl, im negativen Fall handelt es sich um eine imaginäre Zahl. Man definiert:


Definition  

Es sei quadratfrei und sei der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann heißt reell-quadratisch, wenn positiv ist, und imaginär-quadratisch, wenn negativ ist.


Definition  

Es sei eine quadratfreie Zahl und sei die zugehörige quadratische Körpererweiterung und der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann wird der Automorphismus (auf , auf und auf )

als Konjugation bezeichnet.

Wir bezeichnen die Konjugation von mit .

Bemerkung  

Im imaginär-quadratischen Fall, wenn also ist, so ist mit reell. Die Konjugation schickt dies dann auf , so dass diese Konjugation mit der komplexen Konjugation übereinstimmt. Im reell-quadratischen Fall allerdings hat die Konjugation nichts mit der komplexen Konjugation zu tun.


Bemerkung  

Bei einer endlichen Körpererweiterung werden Norm und Spur eines Elementes über die Determinante und die Spur der Multiplikationsabbildung definiert. Im Fall einer quadratischen Erweiterung

sind diese beiden Invarianten einfach zu berechnen: Da und eine -Basis bilden, ist und damit ist die Multiplikationsmatrix durch

gegeben. Somit ist

und




Lemma  

Es sei eine quadratische Körpererweiterung und . Dann ist genau dann ganz über , wenn sowohl die Norm als auch die Spur von zu gehören.

Beweis  

Dies folgt aus Satz 7.5, aus Satz 8.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)), und aus der Gestalt des Minimalpolynoms (nämlich gleich , falls ) im quadratischen Fall.


Wir kommen zur expliziten Beschreibung eines quadratischen Zahlbereiches.



Satz  

Es sei eine quadratfreie Zahl und der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann gilt

und

Beweis  

Sei gegeben, , . Aus Lemma 9.7 folgt

Aus der zweiten Gleichung folgt, dass mit ist. Sei mit teilerfremd, . Die erste Gleichung wird dann zu bzw. . Dies bedeutet, da und teilerfremd sind, dass von geteilt wird. Da ferner quadratfrei ist, folgt, dass oder ist. Im ersten Fall ist ein Vielfaches von (da ein Vielfaches von ist), so dass ist.

Sei also , was zur Bedingung

führt. Wir betrachten diese Gleichung modulo . Bei und gerade ist . Die einzigen Quadrate in sind und , so dass für keine weitere Lösung existiert. Für hingegen gibt es auch noch die Lösung und , also und beide ungerade. Diese Lösungen gehören alle zu .

Die umgekehrte Inklusion ist klar, sei also . Dann ist aber

und dabei ist eine ganze Zahl, so dass dies sofort eine Ganzheitsgleichung über ergibt.


In den im vorstehenden Satz beschriebenen Fällen kann man jeweils den Ring der ganzen Zahlen durch eine Variable und eine Gleichung beschreiben. Für ist

Für setzt man häufig für den Algebra-Erzeuger. Dieser Erzeuger erfüllt die Gleichung . Wir haben also

Wir werden häufiger in beiden Fällen diese Ganzheitsbasis nennen, mit im ersten Fall und

im zweiten Fall.



Lemma  

Es sei eine quadratfreie Zahl und der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann ist die Diskriminante von gleich

und

Beweis  

Im Fall ist nach Satz 9.8 und daher bilden und eine Ganzheitsbasis. Die möglichen Produkte zu dieser Basis sind in Matrixschreibweise

Wendet man darauf komponentenweise die Spur an so erhält man

und die Determinante davon ist .

Im Fall ist hingegen

und eine Ganzheitsbasis ist und . Die Matrix der Basisprodukte ist dann

Wendet man darauf die Spur an (die Spur von ist ), so erhält man

und die Determinante davon ist



Die Summe von Quadraten

Wir haben nun die Mittel an der Hand, um die Zahlen, die die Summe von zwei Quadratzahlen sind, mit Hilfe des Ringes der Gaußschen Zahlen zu charakterisieren.


Satz

Es sei ein ungerade Primzahl. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist die Summe von zwei Quadraten, mit .
  2. ist die Norm eines Elementes aus .
  3. ist zerlegbar (nicht prim) in .
  4. ist ein Quadrat in .
  5. Es ist .

Beweis

Siehe Aufgabe 9.22.



Satz

Es sei eine positive natürliche Zahl. Wir schreiben , wobei jeder Primfaktor von nur einfach vorkomme. Dann ist die Summe von zwei Quadraten genau dann, wenn in der Primfaktorzerlegung von nur und Primzahlen vorkommen, die modulo den Rest haben.

Beweis

Siehe Aufgabe 9.23.




Noethersche Ringe und Dedekindbereiche



Definition  

Ein kommutativer Ring heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.



Korollar  

Beweis  

Nach Korollar 8.5 ist jedes von verschiedene Ideal als additive Gruppe isomorph zu , also ist insbesondere jedes Ideal als abelsche Gruppe endlich erzeugt. Insbesondere sind die Ideale dann als Ideale (also als -Moduln) endlich erzeugt.




Satz  

Zu einem Ideal in einem Zahlbereich

ist der Restklassenring endlich.

Beweis  

Nach Lemma 7.6 gibt es ein , . Damit ist und damit hat man eine surjektive Abbildung

Der Ring links ist nach Korollar 8.8 endlich (mit Elementen), also besitzt der Ring rechts auch nur endlich viele Elemente.


Wir geben noch einen zweiten Beweis der vorstehenden Aussage.

Als kommutative Gruppe ist . Sei , . Dann ist das von erzeugte Hauptideal eine Untergruppe

Deshalb ist die Restklassengruppe endlich und wegen der natürlichen Surjektion ist auch der Restklassenring endlich.



Satz  

Sei ein Zahlbereich. Dann ist jedes von verschiedene Primideal von bereits ein maximales Ideal.

Beweis  

Sei ein Primideal in . Dann ist der Restklassenring nach Lemma 3.3 ein Integritätsbereich und nach Satz 9.14 endlich. Ein endlicher Integritätsbereich ist aber nach Aufgabe 5.33 bereits ein Körper, so dass nach Lemma 3.5 ein maximales Ideal vorliegt.



Die bisher etablierten Eigenschaften von Zahlbereichen lassen sich im folgenden Begriff zusammenfassen.


Definition  

Einen Integritätsbereich nennt man einen Dedekindbereich, wenn er noethersch und normal ist und wenn jedes von verschiedene Primideal darin maximal ist.

Die Eigenschaft, dass jedes von verschiedene Primideal maximal ist, bedeutet, dass die maximalen Ketten von Primidealen die Form besitzen (wenn ein Körper vorliegt, so gibt es nur das einzige Primideal ). Man sagt auch, dass die Krulldimension des Ringes gleich ist.



Korollar  

Jeder Zahlbereich ist ein Dedekindbereich.

Beweis  

Dies folgt aus Satz 7.2, aus Korollar 9.13 und aus Satz 9.15.




Satz  

Beweis  

Die Normalität folgt aus Satz 2.19 und Satz 6.12. Die Eigenschaft noethersch folgt, da in einem Hauptidealbereich jedes Ideal sogar von einem Element erzeugt wird. Die Maximalität der von verschiedenen Primideale folgt aus Lemma 3.8.


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