Lösung
- Der Betrag von ist folgendermaßen definiert.
-
- Der Grad eines von verschiedenen Polynoms
-
mit ist .
- Man sagt, dass in
ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein
derart gibt, dass für alle
mit
die Abschätzung
-
gilt.
- Es sei die
eindeutig bestimmte
reelle
Nullstelle
der
Kosinusfunktion
auf dem
Intervall
. Die Kreiszahl ist definiert durch
-
- Die Potenzreihe in ist die
Reihe
-
- Die
gewöhnliche Differentialgleichung
-
heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion nicht von abhängt, wenn also gilt mit einer Funktion in der einen Variablen .
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der
Satz über beschränkte Teilmengen
von .
- Die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion.
- Der Satz über
partielle Integration.
Lösung
Lösung
a) Die ganze Prozentzahl wird bei Ja-Antworten von Zuschauern bei der angegebenen Rundung durch
-
berechnet.
b) Für ist die Abbildung aus Anzahlgründen nicht surjektiv. Sie ist injektiv, da der ungerundete Prozentwert einer Person größer als ist und daher die Hinzunahme einer Person die gerundete Prozentanzahl um mindestens erhöht. Für ist die Abbildung die Identität, also injektiv und surjektiv. Für ist die Abbildung aus Anzahlgründen nicht injektiv. Sie ist surjektiv, da der ungerundete Prozentwert einer Person weniger als ist und daher die Hinzunahme einer Person die gerundete Prozentanzahl um höchstens erhöht.
c) Die Prozentzahl kommt nicht vor. Für ist das Ergebnis
-
(wegen
)
und für ist das Ergebnis
-
(wegen
).
d) Die Prozentzahl kommt doppelt vor. Für ist das Ergebnis
-
(wegen
)
und für ist das Ergebnis
-
(wegen
).
e) Die Prozentzahl kommt doppelt vor. Für ist das Ergebnis
-
(wegen
)
und für ist das Ergebnis ebenfalls
-
(wegen
).
Wegen der Symmetrie der Situation
(bis auf die Rundung)
kommt auch die Prozentzahl doppelt vor, für .
Lösung
Lösung
Wenn ein Vielfaches von ist, so kann man
-
mit einem weiteren Polynom schreiben. Einsetzen ergibt
-
Im Allgemeinen gibt es
aufgrund der Division mit Rest
eine Darstellung
-
wobei
oder aber den Grad besitzt, also so oder so eine Konstante ist. Einsetzen ergibt
-
Wenn also
ist, so muss der Rest
sein, und das bedeutet, dass
ist.
Lösung
Wir betrachten
-
Diese Funktion ist nach
[[Reelle Funktion/Stetigkeit/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt|Kurs:Analysis/Stetigkeit/K/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Faktreferenznummer (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]]
wieder stetig und es ist
-
und
-
Nach
dem Zwischenwertsatz
gibt es ein mit
-
also ist
-
Beweise die Funktionalgleichung für die komplexe Exponentialfunktion.
Lösung
Untersuche die Funktionenfolge
-
mit
-
auf
a) punktweise Konvergenz und auf
b) gleichmäßige Konvergenz.
Lösung
a) Man gebe ein quadratisches Polynom an, dessen Graph die Diagonale und die Gegendiagonale bei
jeweils tangential schneidet.
b) Man zeige, dass der Graph des Lösungspolynoms aus Teil a) innerhalb des oberen, durch die Diagonale und die Gegendiagonale begrenzten Viertels der Ebene liegt.
Lösung
a) Das gesuchte Polynom sei
-
Dann ist
-
Die Bedingung, dass der Graph zu die Diagonale und die Gegendiagonale bei
schneidet, bedeutet
-
Die Steigung der Diagonale ist . Da der Schnitt tangential sein soll, bedeutet dies
-
Die Steigung der Gegendiagonale ist . Dies bedeutet somit
-
Die Summe der beiden letzten Gleichungen ergibt direkt
-
und somit
-
Daraus ergibt sich mit der ersten
(oder der zweiten)
Gleichung
-
Das gesuchte Polynom ist also
-
b) Für ist zu zeigen, dass und für ist zu zeigen, dass ist. Im ersten Fall ist
-
und im zweiten Fall ist
-
Lösung
a) Es ist
-
genau dann, wenn ein ganzzahliges Vielfaches von ist. Der Definitionsbereich ist also .
b)
c) Nach
der Quotientenregel
ist
-
Weiterhin ist
und
d) Wegen
und
ist
-
-
-
und
-
daher ist das Taylor-Polynom der Ordnung gleich
-
Es sei
-
eine
periodische Funktion
mit der Periode .
a) Es sei
differenzierbar.
Zeige, dass die Ableitung ebenfalls periodisch mit der Periode ist.
b) Man gebe ein Beispiel einer nichtkonstanten, periodischen,
stetigen Funktion
,
deren
Stammfunktion
nicht periodisch ist.
Lösung
a) Es ist
-
daher ist die Ableitung periodisch mit Periodenlänge .
b) Wir betrachten
-
Diese Funktion ist periodisch mit der Periodenlänge . Die Stammfunktion ist
nach Satz 19.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
streng wachsend, also nicht periodisch.
Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
-
Lösung
Wir führen die Substitution
durch und müssen dann für
-
eine Stammfunktion finden
().
Division mit Rest ergibt
-
Die Partialbruchzerlegung für
-
führt auf
-
und auf
-
Also ist
-
Daher ist
-
Eine Stammfunktion davon ist
-
Rüchsubstitution ergibt für die Stammfunktion
-
Es sei
-
eine zeitunabhängige Differentialgleichung mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion
-
und es sei
-
eine Lösung dazu auf einem offenen Intervall .
a) Drücke die zweite Ableitung von mit und aus.
b) Drücke die dritte Ableitung von mit und aus.
c) Zeige, dass die -te Ableitung von die Form
-
mit gewissen Zahlen für jedes -Tupel
mit besitzt.
Lösung
a) Es ist
-
da es sich um eine Lösung handelt. Die rechte Seite ist differenzierbar, da
und
differenzierbar sind, und nach der Kettenregel ist somit
b) Da beliebig oft differenzierbar ist, ist
-
differenzierbar, und es ist
c) Wir führen Induktion nach . Die Aussage ist für richtig nach Teil a) und b), der Induktionsanfang ist also gesichert. Zum Beweis des Induktionsschrittes von nach können wir von einer Darstellung
-
ausgehen. Dies zeigt zunächst, dass auch -mal ableitbar ist. Zur Berechnung der Form der Ableitung genügt es, einen Summanden der Form
-
zu betrachten. Die Ableitung davon ist nach der Ketten- und der Produktregel gleich
Dabei erhöht sich die höchste Ableitungs von , die vorkommt, auf , die Potenzen von erhöhen sich maximal um und die Koeffizienten sind nach wie vor aus . Daher liegt insgesamt wieder eine Form wie beschrieben vor.