Kurs:Analysis/Teil I/35/Klausur mit Lösungen/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Punkte | 3 | 3 | 4 | 2 | 7 | 2 | 4 | 5 | 4 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 5 | 3 | 4 | 3 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
- Die Abbildung heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
- Es sei eine Folge in . Ein Element heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes unendlich viele Folgenglieder mit gibt.
- Zu einer komplexen Zahl nennt man den Imaginärteil von .
- Die
Funktion
heißt Exponentialfunktion zur Basis .
- Die Funktion heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von auf jedes kompakte Intervall Riemann-integrierbar ist.
- Die
gewöhnliche Differentialgleichung
heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion nicht von abhängt, wenn also gilt mit einer Funktion in der einen Variablen .
Aufgabe (3 Punkte)
- Für und ist
- Die Potenzreihe sei für eine komplexe Zahl , , konvergent. Dann ist für jeden reellen Radius mit die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe punktweise absolut und gleichmäßig konvergent.
- Zu
mit
ist auch die Umkehrfunktion in
differenzierbar mit
Aufgabe (4 (1+3) Punkte)
In einer Höhle befinden sich im Innern am Ende des Ganges vier Personen. Sie haben eine Taschenlampe bei sich und der Gang kann nur mit der Taschenlampe begangen werden. Dabei können höchstens zwei Leute gemeinsam durch den Gang gehen. Die Personen sind unterschiedlich geschickt, die erste Person benötigt eine Stunde, die zweite Person benötigt zwei Stunden, die dritte Person benötigt vier Stunden und die vierte Person benötigt fünf Stunden, um den Gang zu durchlaufen. Wenn zwei Personen gleichzeitig gehen, entscheidet die langsamere Person über die Geschwindigkeit.
- Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?
- Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?
Aufgabe (2 Punkte)
Berechne
Das Ergebnis soll in einer entsprechenden Form angegeben werden.
Es ist
und
Somit ist das Produkt
Die Kommadarstellung davon ist
Aufgabe (7 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
die einem Vierertupel das Vierertupel
zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.
Es sei das Maximum der beteiligten vier Zahlen . Wir zeigen, dass dieses Maximum nach endlich vielen Iterationen kleiner wird. Da wir uns innerhalb der natürlichen Zahlen befinden, folgt daraus, dass das Maximum irgendwann wird, was bedeutet, dass dann alle vier Zahlen sind. Da alle Zahlen aus sind und die nichtnegative Differenz genommen wird, wird das Maximum definitiv nicht größer bei einer Iteration. Allerdings kann das Maximum gleich bleiben. Dies kann aber nur dann sein, wenn ein Nachbar (zyklisch gedacht, die vierte Zahl ist also auch ein Nachbar der ersten Zahl) des Maximums gleich ist. Wir müssen (durch zyklisches Vertauschen und Spiegeln) nur noch die Situation anschauen, wo das Tupel die Form
mit hat. Wenn ist, so liefert die Abbildung
Wir müssen also nur noch die Situation anschauen, wo es höchstens zwei Nullen gibt. Bei
mit ergibt sich im nächsten Schritt
was keine Nullen mehr hat. Bei
mit ergibt sich im nächsten Schritt
Bei besitzt dies nur eine Null, bei sind wir in einem schon behandelten Fall. Es sei das Tupel jetzt
mit
Das Ergebnis ist
Bei ist dies
mit dem Folgetupel
Bei besitzt dies ein kleineres Maximum, bei ist das Folgetupel gleich
und davon ist das Folgetupel
Es sei also . Das Folgetupel ist bei gleich
und dessen Folgetupel ist
Allenfalls in der dritten Position könnte eine stehen, doch diese ist nicht benachbart zum einzigen Vorkommen von , sodass das Folgetupel keine Null besitzt.
Das Folgetupel ist bei
gleich
und dabei ist wieder allenfalls in der dritten Position eine , stehen, doch diese ist nicht benachbart zum einzigen Vorkommen von , sodass das Folgetupel keine Null besitzt.
Aufgabe (2 Punkte)
Man gebe ein Beispiel für eine natürliche Zahl, die man als Summe von vier Quadraten darstellen kann, aber nicht als Summe von drei Quadraten.
Es ist
darstellbar mit vier Quadraten. Die einzigen Quadrate unterhalb von sind . Die trägt nicht zu einer minimalen Darstellung bei. Zweimal die ist schon zu groß, daher gibt es keine Darstellung als Summe von drei Quadraten.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein angeordneter Körper und es sei eine konvergente Folge in mit für alle und . Zeige, dass ebenfalls konvergent mit
ist.
Da der Limes der Folge nicht ist, gilt für die Bedingung und damit
Es sei vorgegeben. Wegen der Konvergenz von gibt es ein mit
Dann gilt für alle die Abschätzung
Aufgabe (5 Punkte)
Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise und , wobei den Mittelpunkt und den Radius und den Mittelpunkt und den Radius besitzt.
Die Kreisgleichungen der beiden Kreise sind
und
Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt
Also ist
Dies setzen wir in die erste Kreisgleichung ein und erhalten
Nach der Lösungsformel für eine quadratische Gleichung ist
Somit ist
und
Die Schnittpunkte sind also
und
Aufgabe (4 Punkte)
Von einem Rechteck sind der Umfang und die Fläche bekannt. Bestimme die Längen der Seiten des Rechtecks.
Zwei Seiten haben die Länge , zwei andere Seiten die Länge ; gegebenenfalls ist . Es gilt und .
Auflösen der ersten Gleichung nach ergibt . Einsetzen in die zweite Gleichung: . Umstellen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: .
Man beachte, dass der Wert unter der Wurzel nie negativ wird und nur für den Speziallfall eines Quadrats null wird: Alle allgemeinen Rechtecke haben im Verhältnis zum Quadrat bei gleicher Fläche einen größeren Umfang.
Also hat diese Gleichung typischerweise zwei Lösungen für , nämlich . Eine der beiden Lösungen ist dann , die andere ist . Wenn unter der Wurzel der Wert null steht, hat man ein Quadrat und es gibt nur eine Lösung .
Aufgabe (5 Punkte)
Beweise die Funktionalgleichung für die komplexe Exponentialfunktion.
Das Cauchy-Produkt der beiden Exponentialreihen ist
mit . Diese Reihe ist nach Lemma 15.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) absolut konvergent und der Grenzwert ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der -te Summand der Exponentialreihe von nach der allgemeinen binomischen Formel gleich
sodass die beiden Seiten übereinstimmen.
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion
vom Grad maximal lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd streng wachsend oder streng fallend ist.
Die Ableitung ist ein Polynom vom Grad . Dieses besitzt nach Korollar 11.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) höchstens Nullstellen. Nach Satz 19.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) besitzt daher höchstens lokale Extrema. Zwischen zwei benachbarten Nullstellen der Ableitung und auch unterhalb der kleinsten und oberhalb der größten Nullstelle ist die Ableitung entweder echt positiv oder echt negativ. Wenn wir stets benachbarte Intervalle zusammenlegen, auf denen die Ableitung jeweils positiv oder jeweils negativ ist, so erhalten wir eine Zerlegung von in Intervalle, auf denen die Ableitung positiv oder negativ mit eventuell endlich vielen Ausnahmepunkten ist, und positiv und negativ wechseln sich ab. In diesen Intervallen ist dann nach Satz 19.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) streng wachsend oder streng fallend.
Aufgabe (3 Punkte)
Beweise die Regel von l'Hospital unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass die Nennerfunktion überall differenzierbar und die Ableitung keine Nullstelle besitzt, mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.
Wir schreiben
und
mit in stetigen Funktionen , die dort den Wert haben. Dann ist (für )
Wegen der Voraussetzung konvergiert die rechte und damit auch die linke Seite für gegen .
Aufgabe (2 Punkte)
Beweise den Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen .
Nach Aufgabe 17.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist
Die Ableitung nach ist aufgrund von Satz 20.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)), Korollar 20.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und der Kettenregel gleich
Aufgabe (1 Punkt)
Bestimme die Ableitung der Funktion
Es ist
Aufgabe (5 Punkte)
Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.
Es sei
eine stetige Funktion. Über dem kompakten Intervall ist die Funktion nach oben und nach unten beschränkt, es seien und das Minimum bzw. das Maximum der Funktion. Dann ist insbesondere für alle und
Daher ist mit einem und aufgrund des Zwischenwertsatzes gibt es ein mit .
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion ()
Die Stammfunktion von
berechnet sich unter Verwendung von Lemma 27.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) folgendermaßen.
Eine Stammfunktion von ist . Daher ist
eine Stammfunktion von .
Aufgabe (4 Punkte)
Die Graphen der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion überkreuzen sich mehrfach und begrenzen dabei Gebiete mit einem endlichen Flächeninhalt. Bestimme den Flächeninhalt eines solchen Gebietes.
Aufgrund von [[Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) (3)]] ist und damit
Diese Überkreuzung wiederholt sich mit der Periode . Wegen
ist der Wert an den Überkreuzungsstellen abwechselnd gleich
Von bis verläuft der Sinus oberhalb des Kosinus. Der eingeschlossene Flächeninhalt ist somit
Aufgabe (3 Punkte)
Finde die Lösung des Anfangwertproblems
mit
Es liegt eine zeitunabhängige Differentialgleichung vor, wir verwenden Korollar 30.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)). Eine Stammfunktion zu
ist . Die Umkehrfunktion ist . Daher sind die Lösungen der Differentialgleichung von der Form
mit einer Konstanten , und wobei die Lösungen auf definiert sind. Die Anfangsbedingung bedeutet
also ist
Die Lösung des Anfangswertproblems ist also auf .