Kurs:Analysis/Teil I/38/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	4	2	2	4	5	4	4	4	3	3	4	6	4	3	6	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine rationale Zahl.
2. Ein abgeschlossenes Intervall in einem angeordneten Körper ${}K$.
3. Ein vollständig angeordneter Körper ${}K$.
4. Der natürliche Logarithmus

   $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .$

5. Die Zahl ${}\pi$ (gefragt ist nach der analytischen Definition).
6. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem kompakten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Lösung

1. Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form

   ${\frac {a}{b}},$

   wobei ${}a,b\in \mathbb {Z}$ und ${}b\neq 0$ sind, und wobei zwei Ausdrücke ${}{\frac {a}{b}}$ und ${}{\frac {c}{d}}$ genau dann als gleich betrachtet werden, wenn ${}ad=bc$ (in ${}\mathbb {Z}$) gilt.

2. Eine Teilmenge der Form

   ${}[a,b]={\left\{x\in K\mid a\leq x\leq b\right\}}\,$

   heißt abgeschlossenes Intervall in ${}K$.

3. Ein angeordneter Körper ${}K$ heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in ${}K$ konvergiert.
4. Der natürliche Logarithmus

   $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$

   ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.

5. Es sei ${}s$ die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall ${}[0,2]$. Die Kreiszahl ${}\pi$ ist definiert durch

   ${}\pi :=2s\,.$

6. Die Funktion ${}f$ heißt Riemann-integrierbar auf ${}I$, wenn Ober- und Unterintegral von ${}f$ existieren und übereinstimmen.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Intervallschachtelung für die Eulersche Zahl.
2. Die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion.
3. Der Satz über die Ableitung des Sinus.

Lösung

1. Die Intervalle ${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]$, ${}n\geq 1$, mit den Grenzen

   $a_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}{\text{ und }}b_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n+1}$

   definieren eine Intervallschachtelung.
2. Für komplexe Zahlen ${}z,w\in {\mathbb {C} }$ gilt

   ${}\exp \left(z+w\right)=\exp z\cdot \exp w\,.$

3. Die Sinusfunktion

   ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z,$

   ist differenzierbar mit

   ${}\sin \!'(z)=\cos z\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Hanny, Nanny, Fanny und Sanny leben auf dem Ponyhof. Heute machen sie einen Ausflug mit den Ponies Pona, Pone, Pono und Ponu. Jedes der Mädchen sitzt dabei genau auf einem Pony, und sie reiten hintereinander. Folgende Fakten sind bekannt.

1. Fanny sitzt nicht auf Pona.
2. Pone und Ponu vertragen sich nicht so gut und laufen daher nicht direkt hintereinander.
3. Nanny sitzt auf Pone oder auf Pono.
4. Sanny reitet auf Pona oder auf Pone.
5. Nanny reitet direkt hinter Sanny.
6. Auf Ponu sitzt nicht Sanny.
7. Pona läuft direkt zwischen Pone und Pono.
8. Auf Pono sitzt weder Fanny noch Hanny.
9. Sanny reitet weiter vorne als Hanny.

Wer sitzt auf welchem Pony und in welcher Reihenfolge laufen sie?

Lösung

Nach (7) liegt der Ponyabschnitt Pone-Pona-Pono oder Pono-Pona-Pone vor. Nach (2) sind somit nur die Ponyreihenfolgen Pone-Pona-Pono-Ponu oder Ponu-Pono-Pona-Pone möglich. Nach (8) sitzt auf Pono Nanny oder Sanny, nach (4) sitzt aber Sanny auf Pona oder Pone. Deshalb sitzt Nanny auf Pono. Nach (5) reitet Nanny direkt hinter Sanny. Bei der Reihenfolge Ponu-Pono-Pona-Pone müsste also Sanny auf Ponu reiten, was nach (4) ausgeschlossen ist. Also ist die Reihenfolge Pone-Pona-Pono-Ponu und Sanny reitet auf Pona. Nach (9) reitet Hanny auf Ponu und folglich reitet Fanny auf Pone.

Reihenfolge	Pony	Reiterin
1	Pone	Fanny
2	Pona	Sanny
3	Pono	Nanny
4	Ponu	Hanny

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}f\colon L\rightarrow M$ und ${}g\colon M\rightarrow N$ Abbildungen. Zeige, dass für jede Teilmenge ${}U\subseteq N$ die Beziehung

${}f^{-1}{\left(g^{-1}(U)\right)}={\left(g\circ f\right)}^{-1}(U)\,$

gilt.

Lösung

Es sei ${}U\subseteq N$ fixiert. Es sei ${}x\in f^{-1}{\left(g^{-1}(U)\right)}$. Das bedeutet

$f(x)\in g^{-1}(U)$

und das bedeutet

$g(f(x))\in U,$

also

$x\in (g\circ f)^{-1}(U).$

Wenn umgekehrt

$x\in (g\circ f)^{-1}(U)$

ist, so bedeutet dies

$g(f(x))\in U.$

Also ist

$f(x)\in g^{-1}(U)$

und damit

$x\in f^{-1}{\left(g^{-1}(U)\right)}.$

Aufgabe (2 Punkte)

Zwei Fahrradfahrer, ${}A$ und ${}B$, fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer ${}A$ macht pro Minute ${}40$ Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von ${}1$ zu ${}6$ und Reifen mit einem Radius von ${}39$ Zentimetern. Fahrer ${}B$ braucht für eine Pedaldrehung ${}2$ Sekunden, hat eine Übersetzung von ${}1$ zu ${}7$ und Reifen mit einem Radius von ${}45$ Zentimetern.

Wer fährt schneller?

Lösung

Wir vergleichen die Strecken, die die beiden Fahrer pro Minute zurücklegen. Für Fahrer ${}A$ ist dies (in Zentimetern)

$s_{A}=40\cdot 6\cdot 39\cdot 2\pi ,$

für Fahrer ${}B$, der ${}30$ Pedalumdrehungen pro Minute macht, ist dies

$s_{B}=30\cdot 7\cdot 45\cdot 2\pi .$

Der Quotient ist

${}{\frac {s_{A}}{s_{B}}}={\frac {40\cdot 6\cdot 39\cdot 2\pi }{30\cdot 7\cdot 45\cdot 2\pi }}={\frac {4\cdot 6\cdot 39}{3\cdot 7\cdot 45}}={\frac {4\cdot 2\cdot 13}{7\cdot 15}}={\frac {104}{105}}\,.$

Also fährt ${}B$ schneller als ${}A$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass ${}{\sqrt {2}}$ eine irrationale Zahl ist.

Lösung

Wir machen die Annahme, dass es eine rationale Zahl gibt, deren Quadrat gleich ${}2$ ist, und führen das zu einem Widerspruch. Es sei also angenommen, dass

${}x\in \mathbb {Q} \,$

die Eigenschaft besitzt, dass

${}x^{2}=2\,$

ist. Eine rationale Zahl hat die Beschreibung als ein Bruch, wobei Zähler und Nenner ganze Zahlen sind. Die rationale Zahl ${}x$ können wir somit als

${}x={\frac {a}{b}}\,$

ansetzen. Ferner können wir annehmen (dieses Annehmen ist eine Vereinfachung der Situation und hat nichts mit der zum Widerspruch zu führenden Annahme zu tun), dass dieser Bruch gekürzt ist, dass also ${}a$ und ${}b$ keinen echten gemeinsamen Teiler haben. In der Tat brauchen wir lediglich, dass wir annehmen dürfen, dass zumindest eine Zahl, ${}a$ oder ${}b$ ungerade ist (wenn beide gerade sind, so können wir mit ${}2$ kürzen, u.s.w.) Die Eigenschaft

${}x^{2}=2\,$

bedeutet ausgeschrieben

${}x^{2}={\left({\frac {a}{b}}\right)}^{2}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2\,.$

Multiplikation mit ${}b^{2}$ ergibt die Gleichung

${}2b^{2}=a^{2}\,$

(dies ist eine Gleichung in ${}\mathbb {Z}$ bzw. sogar in ${}\mathbb {N}$). Diese Gleichung besagt, dass ${}a^{2}$ gerade ist, da ja ${}a^{2}$ ein Vielfaches der ${}2$ ist. Daraus ergibt sich aber auch, dass ${}a$ selbst gerade ist, da ja das Quadrat einer ungeraden Zahl wieder ungerade ist. Deshalb können wir den Ansatz

${}a=2c\,$

mit einer ganzen Zahl ${}c$ machen. Dies setzen wir in die obige Gleichung ein und erhalten

${}2b^{2}=(2c)^{2}=2^{2}c^{2}\,.$

Wir können mit ${}2$ kürzen und erhalten

${}b^{2}=2c^{2}\,.$

Also ist auch ${}b^{2}$ und damit ${}b$ selbst gerade. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass nicht sowohl ${}a$ als auch ${}b$ gerade sind.

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die allgemeine binomische Formel.

Lösung

Wir führen Induktion nach ${}n$. Für ${}n=0$ steht einerseits ${}(a+b)^{0}=1$ und andererseits ${}a^{0}b^{0}=1$. Es sei die Aussage bereits für ${}n$ bewiesen. Dann ist

${}{\begin{aligned}(a+b)^{n+1}&=(a+b)(a+b)^{n}\\&=(a+b){\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)}\\&=a{\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)}+b{\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\left({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right)}a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Finde alle Lösungen ${}(a,b,c)\in K^{3}$, die das Gleichungssystem

${}a\cdot b=c\,,$

${}b\cdot c=a\,,$

${}a\cdot c=b\,,$

erfüllen.

Lösung

Wenn

${}a=0\,$

ist, so sind wegen der ersten und der dritten Gleichung auch ${}b$ und ${}c$ gleich ${}0$. Dies ergibt die Lösung ${}(0,0,0)$. Es kann ansonsten nur noch Lösungen geben, wo alle Zahlen ungleich ${}0$ sind. Wir setzen die erste Gleichung ${}c=a\cdot b$ in die zweite Gleichung ein und erhalten

${}b\cdot (a\cdot b)=a\,.$

Daraus folgt wegen ${}a\neq 0$ durch Kürzen

${}b^{2}=1\,.$

Somit ist ${}b=1$ oder ${}b=-1$. Entsprechende Überlegungen führen dazu, dass auch ${}a$ und ${}c$ nur ${}1$ oder ${}-1$ sein können. Bei ${}b=1$ folgt mit der ersten Gleichung

${}a=c\,.$

Dies führt zu den Lösungen ${}(1,1,1)$ und ${}(-1,1,-1)$ (wobei letzteres wegen ${}(-1)^{2}=1$ in der Tat eine Lösung ist). Bei ${}b=-1$ ist

${}a=-c\,,$

was zu den Lösungen

$(1,-1,-1)$

und

$(-1,-1,1)$

führt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zu jeder natürlichen Zahl ${}k$ sei eine Nullfolge ${}y_{k}$ gegeben, das ${}n$-te Folgenglied der ${}k$-ten Folge sei mit ${}y_{kn}$ bezeichnet. Ist die Folge ${}z_{n}$, deren ${}n$-tes Folgenglied durch

${}z_{n}=\prod _{k=1}^{n}y_{kn}\,$

gegeben ist, ebenfalls eine Nullfolge?

Lösung

Die Folge ${}z_{n}$ muss keine Nullfolge sein. Jede Folge sei bis auf ein einziges Ausnahmeglied die Folge der Stammbrüche, und zwar sei

${}y_{kn}={\frac {1}{n}}\,$

für alle ${}k$ und ${}n\neq k$ und

${}y_{kk}=k^{k-1}\,.$

Dann ist jede dieser Folge eine Nullfolge, da ja die Folge der Stammbrüche nur an einer einzigen Stelle abgeändert wurde und dies für das Konvergenzverhalten unerheblich ist. Damit ist

${}z_{n}=\prod _{k=1}^{n}y_{kn}={\left(\prod _{k=1}^{n-1}y_{kn}\right)}y_{nn}=\left({\frac {1}{n}}\right)^{n-1}n^{n-1}=1\,.$

Es handelt sich also um die konstante Folge mit dem Wert ${}1$, die gegen ${}1$ konvergiert, und keine Nullfolge ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper ${}K$.

Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über ${}d$. Für ${}d=0,1$ ist die Aussage offensichtlich richtig. Es sei also ${}d\geq 2$ und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Es sei ${}a$ eine Nullstelle von ${}P$ (falls ${}P$ keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig). Dann ist ${}P=Q(X-a)$ nach Lemma 11.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und ${}Q$ hat den Grad ${}d-1$, so dass wir auf ${}Q$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom ${}Q$ hat also maximal ${}d-1$ Nullstellen. Für ${}b\in K$ gilt ${}P(b)=Q(b)(b-a)$. Dies kann nach Lemma 3.4 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))  (5) nur dann ${}0$ sein, wenn einer der Faktoren ${}0$ ist, so dass eine Nullstelle von ${}P$ gleich ${}a$ ist oder aber eine Nullstelle von ${}Q$ ist. Es gibt also maximal ${}d$ Nullstellen von ${}P$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{2}}{e^{n}}}$

konvergiert.

Lösung

Wir verwenden das Quotientenkriterium. Der Quotient von aufeinander folgenden Reihengliedern ist

${}{\begin{aligned}{\frac {\frac {(n+1)^{2}}{e^{n+1}}}{\frac {n^{2}}{e^{n}}}}&={\frac {(n+1)^{2}e^{n}}{n^{2}e^{n+1}}}\\&={\frac {(n+1)^{2}}{n^{2}e}}\\&={\frac {n^{2}+2n+1}{n^{2}e}}\\&={\frac {\frac {n^{2}+2n+1}{n^{2}}}{e}}\\&={\frac {1+{\frac {2}{n}}+{\frac {1}{n^{2}}}}{e}}.\end{aligned}}$

Der Zähler konvergiert gegen ${}1$, deshalb konvergiert der Gesamtausdruck gegen ${}{\frac {1}{e}}<1$. Nach dem Quotientenkriterium konvergiert die Reihe.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}\mathbb {R}$. Wir betrachten die Funktionenfolge

$f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto tx_{n}.$

Zeige, dass diese Funktionenfolge punktweise, aber im Allgemeinen nicht gleichmäßig konvergiert. Was ist die Grenzfunktion?

Lösung

Es sei ${}x$ der Grenzwert der Folge. Für jedes feste ${}t$ konvergiert dann nach Lemma 6.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))  (3) die Folge ${}tx_{n}$ gegen ${}tx$. Daher liegt punktweise Konvergenz vor und die Grenzfunktion ist

${}f(t)=xt\,.$

Es liegt aber im Allgemeinen keine gleichmäßige Konvergenz vor. Für die Folge ${}x_{n}={\frac {1}{n}}$ ist die Grenzfunktion die Nullfunktion. Für ${}\epsilon =1$ gibt es zu jedem ${}n$ Punkte ${}t\in \mathbb {R}$ mit

${}f_{n}(t)={\frac {1}{n}}t>1\,,$

nämlich für

${}t>n\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Lösung

Wir betrachten die Hilfsfunktion

$g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto g(x):=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a).$

Diese Funktion ist ebenfalls stetig und in ${}]a,b[$ differenzierbar. Ferner ist ${}g(a)=f(a)$ und

${}g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))=f(a)\,.$

Daher erfüllt ${}g$ die Voraussetzungen von Satz 19.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und somit gibt es ein ${}c\in {]a,b[}$ mit ${}g'(c)=0$. Aufgrund der Ableitungsregeln gilt also

${}f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\,.$

Aufgabe (6 (2+1+2+1) Punkte)

1. Zeige, dass ${}x^{2}+x+1$ stets positiv ist.
2. Bestimme die Ableitung von ${}\ln \left(x^{2}+x+1\right)$.
3. Bestimme das Monotonieverhalten und die Extrema von ${}\ln \left(x^{2}+x+1\right)$.
4. Bestimme das Intervall, auf dem ${}\ln \left(x^{2}+x+1\right)$ negativ ist.

Lösung

1. Die Ableitung ist ${}2x+1$, die einzige Nullstelle der Ableitung ist bei ${}x=-{\frac {1}{2}}$, in diesem Punkt nimmt die Funktion ihr Minimum an mit dem Wert

   ${}{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{2}}+1={\frac {3}{4}}>0\,,$

   also ist die Funktion überall positiv.

2. Nach der Kettenregel ist

   ${}{\begin{aligned}{\left(\ln \left(x^{2}+x+1\right)\right)}'&={\frac {2x+1}{x^{2}+x+1}}\\\end{aligned}}$

3. Da ${}{\frac {1}{x^{2}+x+1}}$ stets positiv ist, ist die Ableitung ${}{\frac {2x+1}{x^{2}+x+1}}$ für ${}x<-{\frac {1}{2}}$ negativ und für ${}x>-{\frac {1}{2}}$ positiv. Daher ist nach Satz 19.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ${}\ln \left(x^{2}+x+1\right)$ für ${}x<-{\frac {1}{2}}$ streng fallend und für ${}x>-{\frac {1}{2}}$ streng wachsend und nimmt bei ${}x=-{\frac {1}{2}}$ ihr globales isoliertes Minimum mit dem Wert ${}\ln {\frac {3}{4}}$ an.
4. Die Gleichung ${}x^{2}+x+1=1$ führt auf ${}x=0$ oder ${}x=-1$, für ${}-1<x<0$ ist ${}x^{2}+x+1<1$ und somit ist auf dem offenen Intervall ${}]-1,0[$ die Funktion ${}\ln \left(x^{2}+x+1\right)$ negativ.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}I,J\subseteq \mathbb {R}$ reelle Intervalle und

$f\colon I\longrightarrow J$

eine bijektive wachsende konvexe Funktion. Zeige, dass die Umkehrfunktion

$f^{-1}\colon J\longrightarrow I$

konkav ist.

Lösung

Es seien ${}c<d$ Elemente aus ${}J$ mit ${}c=f(a)$ und ${}d=f(b)$, ${}a<b$. Die verbindende Strecke ist ${}{\frac {b-a}{d-c}}y+{\frac {-cb+da}{d-c}}$, ${}y\in [c,d]$. Für ein solches ${}y$ ist

${}f^{-1}(y)\geq {\frac {b-a}{d-c}}y+{\frac {-cb+da}{d-c}}\,$

zu zeigen. Es sei

${}x=f^{-1}(y)\,.$

Wegen der Konvexität von ${}f$ gilt

${}f(x)\leq {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}x+{\frac {-af(b)+bf(a)}{b-a}}={\frac {d-c}{b-a}}x+{\frac {-ad+bc}{b-a}}\,.$

Multiplikation mit ${}{\frac {b-a}{d-c}}$ ergibt

${}{\frac {b-a}{d-c}}f(x)\leq x+{\frac {-ad+bc}{d-c}}\,$

und somit

${}f^{-1}(y)=x\geq {\frac {b-a}{d-c}}f(x)-{\frac {-ad+bc}{d-c}}={\frac {b-a}{d-c}}y+{\frac {ad-bc}{d-c}}\,$

wie behauptet.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{2}^{5}{\frac {x}{x+1}}\,dx$

Lösung

Mit der Substitution

${}y=x+1\,$

ist das bestimmte Integral gleich

${}{\begin{aligned}\int _{2}^{5}{\frac {x}{x+1}}\,dx&=\int _{3}^{6}{\frac {y-1}{y}}\,dy\\&=\int _{3}^{6}1-{\frac {1}{y}}\,dy\\&=\left(y-\ln y\right)|_{3}^{6}\\&=3+\ln 3-\ln 6\\&=3+\ln \left({\frac {1}{2}}\right).\end{aligned}}$

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über das Lösungsverfahren für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.

Lösung

Da ${}h$ stetig ist und keine Nullstelle besitzt, ist ${}h$ bzw. ${}{\frac {1}{h}}$ nach dem Zwischenwertsatz entweder stets positiv oder stets negativ, so dass ${}H$ nach Satz 19.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) streng monoton und daher nach Aufgabe 2.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) injektiv (also bijektiv auf sein Bild) ist.

Sei ${}y(t)=H^{-1}(G(t))$ wie angegeben. Dann ist

${}{\begin{aligned}y'(t)&={\frac {G'(t)}{H'{\left(H^{-1}(G(t))\right)}}}\\&={\frac {g(t)}{{\frac {1}{h}}{\left(H^{-1}(G(t))\right)}}}\\&=g(t)\cdot h{\left(H^{-1}(G(t))\right)}\\&=g(t)\cdot h(y(t)),\end{aligned}}$

so dass in der Tat eine Lösung vorliegt.

Es sei nun ${}y(t)$ eine differenzierbare Funktion, die die Differentialgleichung erfüllt. Daraus folgt

${}\int _{t_{1}}^{t_{2}}g(t)\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {y'(t)}{h(y(t))}}\,dt=\int _{y(t_{1})}^{y(t_{2})}{\frac {1}{h(z)}}\,dz\,,$

wobei wir die Substitution ${}z=y(t)$ angewendet haben. Für die zugehörigen Stammfunktionen (mit den unteren Integralgrenzen ${}t_{1}$ bzw. ${}y(t_{1})$) bedeutet dies ${}G(t)=H(y(t))$, also ist ${}y(t)=H^{-1}(G(t))$.