Kurs:Analysis/Teil II/9/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Punkte 3 3 4 7 2 6 4 4 7 5 9 9 1 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Abstandsfunktion auf einem reellen Vektorraum mit einem Skalarprodukt .
  2. Die Vollständigkeit eines metrischen Raumes .
  3. Ein inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten (über ).
  4. Eine symmetrische Bilinearform auf einem reellen Vektorraum .
  5. Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .

  6. Die Integrabilitätsbedingung eines differenzierbaren Vektorfeldes

    wobei eine offene Teilmenge ist.


Lösung

  1. Zu zwei Vektoren nennt man

    den Abstand zwischen und .

  2. Ein metrischer Raum heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in konvergiert.
  3. offenes Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

    wobei

    eine Matrix mit Einträgen ist und

    eine Abbildung, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
  4. Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und eine Bilinearform auf . Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn

    für alle gilt.

  5. Es seien die Richtungsableitungen in Richtung des -ten Einheitsvektors. Zu heißt die Matrix

    die Hesse-Matrix zu im Punkt .

  6. Die Integrabilitätsbedingung besagt, dass

    für alle und alle gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Eigenschaften des Abstandes auf einem reellen Vektorraum mit einem Skalarprodukt.
  2. Der Satz von Schwarz.
  3. Der Satz über die Grenzabbildung einer gleichmäßig konvergenten Abbildungsfolge

    zwischen metrischen Räumen

    und .


Lösung

  1. Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Dann besitzt der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften (dabei sind ).
    1. Es ist .
    2. Es ist genau dann, wenn .
    3. Es ist .
    4. Es ist
  2. Es sei offen und eine Abbildung, so dass für die zweiten Richtungsableitungen und existieren und stetig sind. Dann gilt
  3. Wenn die Abbildungen alle stetig sind, so ist auch die Grenzabbildung stetig.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine abzählbare Teilmenge (). Es sei eine Metrik auf derart, dass für und mit der euklidischen Metrik übereinstimmt. Zeige, dass auf ganz die euklidische Metrik ist.


Lösung

Es seien zwei Punkte und die dadurch definierte Gerade. Wir identifizieren mit den reellen Zahlen, mit dem Nullpunkt und mit einer positiven reellen Zahl. Die induzierte euklidische Metrik ist dann der Betrag. Der Durchschnitt ist ebenfalls abzählbar. Wir wählen mit

Mit der Dreiecksungleichung ist dann einerseits

und andererseits

also ist


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion zwischen metrischen Räumen in einem Punkt .


Lösung

Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar.
Es sei nun (2) erfüllt und sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass ist. Dazu sei gegeben. Wegen (2) gibt es ein mit der angegebenen Eigenschaft und wegen der Konvergenz von gegen gibt es eine natürliche Zahl derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Nach der Wahl von ist dann

so dass die Bildfolge gegen konvergiert.

Es sei (3) erfüllt und vorgegeben.  Wir nehmen an, dass es für alle Elemente gibt, deren Abstand zu maximal gleich ist, deren Wert unter der Abbildung aber zu einen Abstand größer als besitzt. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche , . D.h. für jede natürliche Zahl gibt es ein mit

Diese so konstruierte Folge konvergiert gegen , aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen , da der Abstand der Bildfolgenwerte zu zumindest ist. Dies ist ein Widerspruch zu (3).


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

a) Skizziere die (Bahn der) archimedische Spirale

b) Skizziere die (Bahn der) archimedische Spirale


Lösung

a)










b) Es ist

D.h. der Wert des Weges an einer negativen Stelle ergibt sich aus dem Wert an der zugehörigen positiven Stelle, indem man in der ersten Komponenten negiert und die zweite Komponente beibehält. Die Bahn im Negativen ergibt sich also aus der Bahn im Positiven, indem man an der -Achse spiegelt.


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise die Integralabschätzung für stetige Kurven.


Lösung

Wenn ist, so ist nichts zu zeigen. Es sei also

Es sei . Das ergänzen wir zu einer Orthonormalbasis von . Es seien die Koordinatenfunktionen von bezüglich dieser Basis. Dann besteht aufgrund unserer Basiswahl die Beziehung

da ja ein Vielfaches von ist und somit die anderen Koeffizienten gleich sind. Daher ist


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

mit .


Lösung

Es handelt sich um ein Zentralfeld, das auf die eindimensionale Differentialgleichung

mit führt. Dies ist eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen. Es ist

und somit

Also ist

und wegen der Anfangsbedingung muss sein, also ist

Die Lösung für das Zentralfeld ist somit


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige für Polynomfunktionen

direkt, dass

gilt.


Lösung

Da partielle Ableitungen mit Addition und Skalarmultiplikation verträglich sind, und da ein Polynom eine Summe aus Monomen, multipiziert mit Konstanten ist, genügt es, die Aussage für Monome

zu zeigen. Bei ist die Aussage richtig, so dass wir annehmen. Es ist

Wenn ist, so ist dies , und in diesem Fall sind auch und die Nullfunktion, also gleich. Dies ist auch bei der Fall. Es seien also . Dann ist

Dies ist auch das Ergebnis in der umgekehrten Reihenfolge.


Aufgabe (7 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetige Funktion

die im Nullpunkt partiell differenzierbar ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die Richtungsableitung in keine Richtung mit existiert.


Lösung Stetige Funktion/Partiell differenzierbar/Sonst keine Richtungsableitung/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Offenheit der positiven Definitheit der Hesse-Form.


Lösung Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Offenheit der positiv definiten Hesse-Form/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (9 (2+2+5) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung . Zeige, dass regulär ist.

b) Beschreibe für den Punkt den Tangentialraum an die Faser von durch .

c) Man gebe für einen lokalen Diffeomorphismus zwischen einem offenen Intervall und einer offenen Umgebung von in der Faser durch an.


Lösung

a) Die Jacobi-Matrix der Abbildung ist

Diese Matrix besitzt maximalen Rang, wenn die erste Zeile kein Vielfaches der zweiten Zeile ist. Die Bedingung lautet also

D.h. die singulären Punkte der Abbildung sind die Punkte der von erzeugten Geraden. Der Punkt gehört nicht zu dieser Geraden, da keine Lösung besitzt.

b) Der Tangentialraum an in ist der Kern des totalen Differentials, also der Kern von

Zur Bestimmung des Kerns muss man also das lineare Gleichungssystem

lösen. Durch Subtraktion der beiden Zeilen folgt und daher ist der Tangentialraum gleich der Geraden

c) Der Punkt wird unter der Abbildung auf abgebildet. Die Faser darüber wird durch die beiden Gleichungen

beschrieben. Wir lösen die lineare Gleichung nach auf und setzen das Ergebnis

in die quadratische Gleichung ein. Das ergibt

bzw.

Wir lösen dies nach auf und erhalten zunächst

und durch quadratisches Ergänzen

Daraus ergibt sich

Dabei ist die Wurzel für und damit insbesondere für definiert. Da für ja sein soll, muss man das negative Vorzeichen nehmen. Somit liefert die Abbildung

eine Bijektion dieses offenen Intervalls mit der offenen Teilmenge der Faser durch , die durch gegeben ist. Es ist ein Diffeomorphismus, da diese Abbildung differenzierbar ist und ihre Ableitung wegen der zweiten Komponenten nirgendwo verschwindet.


Aufgabe (9 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und

ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Es sei die Menge der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen von nach . Wir betrachten die Abbildung

mit

Man erhält also aus der Funktion die neue Funktion , indem man an einem Punkt die Richtungsableitung der Funktion in Richtung berechnet. Zeige, dass für folgende Eigenschaften äquivalent sind.

  1. Es ist .
  2. Das Bild einer jeden Lösung zur Differentialgleichung liegt in einer Faser von .


Lösung

Von (1) nach (2). Es sei

eine auf einem Intervall definierte Lösungskurve zur Differentialgleichung , d.h. es gilt für alle . Wir betrachten die Ableitung der Verknüpfung

Nach der Kettenregel ist

Also ist die Ableitung von gleich für alle und daher ist konstant.

Von (2) nach (1). Es sei fixiert. Nach dem Satz von Picard-Lindelöf gibt es zum Anfangswertproblem und eine (eindeutige) Lösung, also eine differenzierbare Abbildung

mit und (und ). Nach Voraussetzung liegt das Bild von ganz in einer Faser von , d.h. die zusammengesetzte Abbildung

ist konstant. Daher ist die Ableitung davon gleich und somit ist

für . Für bedeutet dies


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere den Graphen einer Funktion

mit der Eigenschaft, dass der Subgraph nicht konvex, aber sternförmig ist.


Lösung Funktionsgraph/Subgraph/Nicht konvex/Sternförmig/Skizze/Aufgabe/Lösung





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