Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/15a/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 2 3 3 4 5 7 2 4 8 2 2 3 4 9 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein angeordneter Körper.
  2. Die komplexe Konjugation.
  3. Ein Häufungspunkt einer reellen Folge .
  4. Die Stetigkeit in einem Punkt einer Abbildung .
  5. Die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge

    auf einer Teilmenge .

  6. Das Taylor-Polynom vom Grad zu einer -mal differenzierbaren Funktion

    im Entwicklungspunkt .

Lösung

  1. Ein Körper heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung“ auf gibt, die die beiden Eigenschaften
    1. Aus folgt (für beliebige )
    2. Aus und folgt (für beliebige )

    erfüllt.

  2. Die Abbildung

    heißt komplexe Konjugation.

  3. Eine reelle Zahl heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes unendlich viele Folgenglieder mit gibt.
  4. Man sagt, dass stetig im Punkt ist, wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt.
  5. Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

    derart gibt, dass es zu jedem ein mit

    gibt.

  6. Das Polynom

    heißt das Taylor-Polynom vom Grad zu im Entwicklungspunkt .


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
  2. Das Quotientenkriterium für eine komplexe Reihe .
  3. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.

Lösung

  1. Es sei eine [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|beschränkte]] Folge von [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|reellen Zahlen]]. Dann besitzt die Folge eine [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|konvergente]] Teilfolge.
  2. Es gebe eine reelle Zahl mit und ein mit

    für alle . Dann konvergiert die Reihe [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/


    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|absolut]].
  3. Sei ein {{Expansion depth limit exceeded}}{{Expansion depth limit exceeded|Seitenname=}} und sei

    eine {{Expansion depth limit exceeded}}{{Expansion depth limit exceeded|Seitenname=}} Dann gibt es ein mit


 

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass genau dann gilt, wenn gilt.

Lösung

Wenn ist, so folgt daraus durch Multiplikation mit die Abschätzung

und durch Multiplikation mit auch

woraus sich insgesamt

ergibt.

Sei nun

vorausgesetzt. Wenn

gelten würde, so würde sich mit der Hinrichtung direkt

ergeben, also insgesamt

Wegen folgt daraus

ein Widerspruch.


 

Aufgabe * (3 Punkte)

In einem Hörsaal befindet sich ein Tafelgestell mit drei hintereinander liegenden, vertikal verschiebbaren Tafeln. Diese seien mit (vordere Tafel), (mittlere Tafel) und (hintere Tafel) bezeichnet. Aufgrund der Höhe des Gestells sind nur (maximal) zwei Tafeln gleichzeitig einsehbar. Die Lehrperson schreibt in der Vorlesung jede Tafel genau einmal voll. In welcher Reihenfolge (alle Möglichkeiten!) muss sie die Tafeln einsetzen, wenn beim Beschreiben einer Tafel stets die zuletzt beschriebene Tafel sichtbar sein soll.

Lösung

Die Tafeln und sind nicht gleichzeitig sichtbar, da (mindestens) eine davon durch verdeckt wird. Dagegen sind sowohl und ( wird hinter geschoben) als auch und gleichzeitig einsehbar. Eine Beschreibungsreihenfolge erfüllt also genau dann die angegebene Bedingung, wenn und nicht direkt hintereinander beschrieben werden. Dies wird genau dann erreicht, wenn als zweite Tafel beschrieben wird. Erlaubt sind also die beiden Reihenfolgen und .


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Konvergenzverhalten der durch

gegebenen Folge.

Lösung

Wir schreiben die Folge (es sei ) als

Das Zählerpolynom konvergiert gegen und das Nennerpolynom konvergiert gegen . Damit konvergiert die Teilfolge für gerades gegen und die Teilfolge für ungerades gegen . Somit sind sowohl als auch Häufungspunkte der Folge und daher liegt keine Konvergenz vor.


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.

Lösung

Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle nichtnegative reelle Zahlen sind. Es ist

Somit folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der geometrischen Reihe.


 

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine Teilmenge,

eine Funktion und . Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. ist stetig im Punkt .
  2. Für jede konvergente Folge in mit ist auch die Bildfolge konvergent.

Lösung

Aufgrund des Folgenkriteriums müssen wir zeigen, dass wenn (2) erfüllt ist, dass dann der Grenzwert stets der Funktionswert des Grenzwertes ist. Sei also eine Folge in , die gegen konvergiert. Die Bildfolge konvergiert nach Voraussetzung, sagen wir gegen . Wir müssen zeigen. Wir betrachten dann die Folge

Diese Folge konvergiert offenbar gegen , deshalb muss nach Voraussetzung auch die Bildfolge konvergieren, sagen wir gegen . Jede Teilfolge davon muss ebenfalls gegen konvergieren. Die Teilfolge, die durch die ungeraden Folgenglieder gegeben ist, ist , und diese konvergiert gegen . Also ist . Die Teilfolge, die durch die geraden Folgenglieder gegeben ist, ist die konstante Folge , die gegen konvergiert. Also ist .


 

Aufgabe * (7 Punkte)

Zeige, dass eine stetige Funktion

gleichmäßig stetig ist.

Lösung

 Wir nehmen an, dass nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein mit der Eigenschaft, dass es für alle ein Punktepaar mit und gibt. Insbesondere gibt es somit für jedes eine Punktepaar mit und . Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die Folge eine in konvergente Teilfolge, deren Grenzwert, nennen wir ihn , wegen der Abgeschlossenheit zum Intervall gehören muss. Die Glieder der Teilfolge besitzen die eingangs beschriebenen Eigenschaften, deshalb können wir direkt annehmen, dass die Folge gegen konvergiert. Die Folge konvergiert ebenfalls gegen . Wegen der Stetigkeit konvergieren dann nach dem Folgenkriterium auch die beiden Bildfolgen und gegen . Es sei nun . Dann ist für hinreichend groß sowohl als auch . Dies ergibt mit der Dreiecksungleichung einen Widerspruch zu .


 

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

eine differenzierbare Funktion ohne Nullstelle. Bestimme die Ableitung von für .

Lösung

Es ist


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Funktion für ().

Lösung

Es ist

und somit ist

zu bestimmen. Da die Exponentialfunktion stetig ist, müssen wir

bestimmen. Sowohl die Zähler- als auch die Nennerfunktion besitzen den Grenzwert . Wir können die Regel von Hospital anwenden und betrachten

Dies konvergiert für gegen . Somit ist auch

und damit ist


 

Aufgabe * (8 (1+4+3) Punkte)

Es sei . Bestimme Polynome vom Grad , die jeweils folgende Bedingungen erfüllen.

(a) stimmt mit an den Stellen überein.

(b) stimmt mit in und in bis zur ersten Ableitung überein.

(c) stimmt mit in bis zur dritten Ableitung überein.

Lösung

a) Die Sinusfunktion hat an den angegebenen Stellen den Wert , daher ist

b) Es ist

Das gesuchte Polynom

besitzt die Ableitung

Somit müssen die Koeffizienten von die Bedingungen ,

also

und

erfüllen. Die beiden zuletzt genannten Gleichungen liefern

also

und damit ist

Das gesuchte Polynom ist also

c) Das gesuchte Polynom ist das Taylor-Polynom der Ordnung zu an der Stelle . Die Ableitungen an dieser Stelle sind

Das Taylor-Polynom der Ordnung ist daher


 

Aufgabe * (2 Punkte)

Finde den oder die Fehler im folgenden „Beweis“ für die Aussage, dass man zu zwei stetigen Funktionen

eine Stammfunktion zu finden kann, indem man (geeignete) Stammfunktionen zu und zu miteinander multipliziert.

„Es sei eine Stammfunktion zu und eine Stammfunktion zu , die wir beide positiv wählen, was wegen der Positivität von und möglich ist. Für positive Zahlen ist der natürliche Logarithmus definiert, so dass man diese Funktionen mit dem Logarithmus verknüpfen kann. Dann ist eine Stammfunktion von und eine Stammfunktion von . Nach der Additionsregel für Stammfunktionen ist somit eine Stammfunktion von . Wir wenden auf diese Situation die Umkehrfunktion des Logarithmus, also die Exponentialfunktion an, und erhalten mit Hilfe der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion, dass

eine Stammfunktion von

ist.“

Lösung

Es gibt zwei Fehler: Wenn eine Stammfunktion zu ist, so muss keine Stammfunktion zu sein (dies wird für und für verwendet), und wenn eine Stammfunktion zu ist, so muss keine Stammfunktion zu sein (im falschen Beweis ist ).


 

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für differenzierbare Funktionen

und ein kompaktes Intervall aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (es muss nicht gezeigt werden, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit im Innern des Intervalls angenommen wird).

Lösung

Aufgrund des Mittelwertsatz der Integralrechnung, angewendet auf die Ableitung , gibt es ein mit

Division durch liefert den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral

Lösung

Mit der Substitution ist


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von

unter Verwendung der Zerlegung

Lösung

Da das Polynom stets positiv ist, besitzt es keine reelle Nullstelle und daher lässt sich die angegebene Faktorzerlegung nicht weiter in Linearfaktoren aufspalten. Aufgrund von Fakt ***** gibt es also eine eindeutige Darstellung

Multiplikation mit dem Hauptnenner führt auf

Koeffizientenvergleich liefert

Daraus folgt und . Die Partialbruchzerlegung ist also


 

Aufgabe * (9 (3+3+3) Punkte)

a) Es sei

ein nullstellenfreies Vektorfeld, d.h. für alle . Zeige, dass jede Lösungskurve zur Differentialgleichung

injektiv ist.

b) Sei nun ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Zeige, dass genau dann nullstellenfrei ist, wenn jede Lösungskurve injektiv ist.

c) Man gebe ein Beispiel für ein Vektorfeld, das nicht nullstellenfrei ist, für das aber jede Lösungskurve injektiv ist.

Lösung

a) Es sei angenommen, dass es eine nicht injektive Lösungskurve

gibt. Dann gibt es Punkte , mit . Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es ein mit

Dies ist ein Widerspruch zu

b) Die Hinrichtung folgt aus Teil a). Sei nun

nicht nullstellenfrei. Dann gibt es ein mit . Für die konstante Funktion

gilt

für alle , so dass eine Lösung der Differentialgleichung vorliegt. Diese konstante Lösung ist nicht injektiv.

c) Wir betrachten die Differentialgleichung

zum ortsunabhängigen Vektorfeld

Bei liegen Nullstellen vor. Die Lösungen sind die Stammfunktionen zu , also . Da dritte Wurzeln im Reellen eindeutig sind, handelt es sich um injektive Funktionen.


 

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