Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesung 67/kontrolle
- Das Verhalten von Maßen bei linearen Abbildungen
Es sei ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum und
eine bijektive lineare Abbildung. Dann gelten für das Bildmaß des Borel-Lebesgue-Maßes unter folgende Eigenschaften.
- ist translationsinvariant.
- Bei ist , wobei das von den Bildvektoren erzeugte Parallelotop bezeichnet.
(1). Es sei die Translation um den Vektor . Es sei . Dabei ist
Somit ist für eine beliebige messbare Menge aufgrund der Translationsinvarianz von
(2) folgt aus (1) mit
Korollar 66.13.
Wenn nicht bijektiv ist, so steht links und rechts einfach , wie aus Lemma 66.11 und Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)) folgt. Wir können also annehmen, dass bijektiv ist. Dann kann man die Aussage mit dem Bildmaß als
formulieren.
Aufgrund von
Satz 12.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016))
in Verbindung mit
Lemma 12.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016))
gibt es
Elementarmatrizen
und eine Diagonalmatrix mit
Aufgrund
des Determinantenmultiplikationssatzes
und wegen
Lemma 63.10
und
Aufgabe 67.7
genügt es, die Aussage für Diagonalmatrizen und Elementarmatrizen zu beweisen.
Wegen Lemma 67.1 ist also für diese Matrizen zu zeigen, dass das Volumen des von den Bildvektoren der Standardvektoren erzeugten Parallelotops gleich dem Betrag der Determinante der Matrix ist. Für eine Diagonalmatrix ist das erzeugte Parallelotop der Quader, dessen Seitenlängen die Beträge der Diagonaleinträge sind, sodass das Volumen das Produkt davon ist. Nach Lemma 16.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist die Determinante das Produkt der Diagonaleinträge, sodass im Betrag Gleichheit gilt. Damit gilt die Aussage auch für eine elementare Skalierungsmatrix, die ja eine Diagonalmatrix ist.
Da die Determinante der übrigen Elementarmatrizen oder ist, müssen wir zeigen, dass das Volumen des von den Spaltenvektoren einer solchen Elementarmatrix erzeugten Parallelotops gleich ist. Dies ist klar für den Typ (1), also für die elementare Vertauschungsmatrix, da es sich um den Einheitswürfel handelt, wobei lediglich die Reihenfolge der erzeugenden Vektoren geändert wird. Es bleibt also eine elementare Scherungsmatrix mit und zu betrachten. Wegen (Wir notieren nur die zweidimensionale Situation, da sich alles in zwei Zeilen und zwei Spalten abspielt)
und dem schon bewiesenen kann man annehmen. Ferner kann man durch umnummerieren annehmen, dass und ist. Es geht dann um das Volumen des von
erzeugten Parallelotops, also um
Wir betrachten
und
Dann ist
wobei die Durchschnitte dieser drei Mengen jeweils in einer Hyperebene enthalten sind und daher nach Lemma 66.11 das Maß besitzen. Also ist einerseits
Andererseits geht durch verschieben um aus
hervor und besitzt damit wegen der Translationsinvarianz dasselbe Volumen wie . Da der Einheitswürfel ist, wobei der Durchschnitt wieder in einer Hyperebene liegt, ist
und somit ist
.
Insbesondere kann man das Maßverhältnis bei einer linearen Abbildung mit einer beliebigen Teilmenge mit positivem Maß im Definitionsraum ablesen.
Dies folgt unmittelbar aus Satz 67.2.
Dies folgt wegen Lemma 67.1 und Satz 67.2 aus Lemma 33.13 (Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)).
Dies folgt wegen Satz 67.2 aus Satz 15.10(6).
Ein achsenparalleles Ellipsoid wird im durch
mit beschrieben. Es ist das Bild der Einheitskugel
unter der linearen Abbildung
also mit , und . Nach Satz 67.2 ist daher das Volumen dieses Ellipsoids gleich
Das Volumen der Einheitskugel ist , siehe Beispiel 72.4.
- Volumina in euklidischen Räumen
Auf jedem reellen -dimensionalen Vektorraum kann man ein sinnvolles Maß definieren, indem man eine Isomorphie
wählt und das Bildmaß zum Borel-Lebesgue-Maß nimmt. Dieses Maß ist allerdings abhängig von der gewählten Isomorphie, bei zwei verschiedenen Isomorphien unterscheiden sich die so gewonnenen Maße um einen skalaren positiven Faktor. Bei euklidischen Räumen kann man aber mit Hilfe von Orthonormalbasen ein kanonisches Borel-Lebesgue-Maß definieren.
Es sei ein euklidischer Vektorraum.
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes translationsinvariantes Maß auf den Borelmengen von , das jedem von einer Orthonormalbasis aufgespannten Parallelotop den Wert zuweist.
Es sei eine Orthonormalbasis von und es sei
die dadurch definierte lineare Isometrie. Dann ist das Bildmaß nach Lemma 67.1 translationsinvariant und besitzt auf dem von den erzeugten Parallelotop den Wert . Es bleibt also zu zeigen, dass dieses Maß auch jedem anderen orthonormalen Parallelotop den Wert zuweist. Es sei also eine weitere Orthonormalbasis mit dem zugehörigen Parallelotop und der zugehörigen Isometrie
Dann ist
wobei den Einheitswürfel im bezeichnet. Da eine Isometrie des ist, folgt die Aussage aus Korollar 67.4.
Das in dieser Aussage für euklidische Vektorräume definierte Maß heißt ebenfalls Borel-Lebesgue-Maß.
Es sei ein euklidischer Vektorraum, sei eine Basis von und sei das davon erzeugte Parallelotop.
Dann gilt für das Borel-Lebesgue-Maß auf
Die Positivität der Determinante der Gramschen Matrix folgt aus Korollar 48.12. Es sei eine Orthonormalbasis von und es sei
Die Spalten der Matrix sind also die Koeffizienten von bezüglich der gegebenen Orthonormalbasis. Nach Satz 67.2 und aufgrund der Definition des Maßes in Satz 67.7 ist somit
Wegen
ist
Nach Satz 17.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)) ist , sodass sich die Aussage aus Satz 17.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)) ergibt.
Die vorstehende Aussage erlaubt es, auch bei das -dimensionale Maß eines -dimensionalen Parallelotops im auszurechnen (ihr -dimensionales Maß ist , da sie in einem echten Untervektorraum liegen). Die einfachste Situation liegt bei vor, dann handelt es sich um eine einfache Längenberechnung mit Hilfe des Skalarproduktes. Ein typischeres Beispiel ist die Flächenberechnung eines Parallelogramms im .
Wir betrachten das von den Vektoren und aufgespannte Parallelogramm im . Nach Satz 67.8 müssen wir die Skalarprodukte dieser Vektoren berechnen. Es ist
Dies führt zur Matrix
mit der Determinante . Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist also .