Kurs:Analysis 3/6/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	5	3	4	0	7	0	6	0	0	0	3	0	4	40

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine ${}\sigma$-Algebra auf einer Menge ${}M$.
2. Ein Wahrscheinlichkeitsraum.
3. Die Zerlegungseigenschaft für eine Teilmenge  ${}Z\subseteq M$  bezüglich der Fortsetzung ${}{\tilde {\mu }}$ auf die Potenzmenge eines äußeren Maßes ${}\mu$ auf einem Präring ${}{\mathcal {P}}$ von ${}X$.
4. Eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$.
5. Eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ${}M\subseteq N$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}N$.
6. Eine Differentialform vom Grad ${}k$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.

Lösung

1. Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf ${}M$ heißt ${}\sigma$-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
   1. Es ist ${}M\in {\mathcal {A}}$.
   2. Mit ${}T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch das Komplement ${}M\setminus T$ zu ${}{\mathcal {A}}$.
   3. Für jede abzählbare Familie ${}T_{i}\in {\mathcal {A}}$, ${}i\in I$, ist auch

      $\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}.$

2. Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ mit ${}\mu (M)=1$.
3. Man sagt, dass eine Teilmenge  ${}Z\subseteq M$  die Zerlegungseigenschaft besitzt, wenn für alle  ${}S\subseteq M$  die Gleichheit  ${}{\tilde {\mu }}(S)={\tilde {\mu }}(S\cap Z)+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus Z))$  gilt.
4. Ein topologischer Hausdorff-Raum ${}M$ heißt eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$, wenn es eine offene Überdeckung  ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$  derart gibt, dass jedes ${}U_{i}$ homöomorph zu einer offenen Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist.
5. Eine abgeschlossene Teilmenge ${}M\subseteq N$ heißt abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, wenn es zu jedem Punkt ${}P\in M$ eine Karte gibt mit ${}P\in W\subseteq N$ offen, ${}\theta \colon W\rightarrow W'$, ${}W'\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und mit

   ${}M\cap W=\theta ^{-1}((\mathbb {R} ^{m}\times \{0\})\cap W')\,.$

6. Eine ${}k$-Differentialform ist ein Schnitt im ${}k$-fachen Dachprodukt des Kotangentialbündels.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. Die allgemeine Transformationsformel für Integrale.
3. /Fakt/Name

Lösung

1. /Fakt
2. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum, ${}(N,{\mathcal {B}})$ ein Messraum und

   $\varphi \colon M\longrightarrow N$

   eine messbare Abbildung. Es sei ${}\nu$ das Bildmaß von ${}\mu$ unter ${}\varphi$, das ebenfalls als ${}\sigma$- endlich vorausgesetzt sei, und es sei

   $f\colon N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

   eine ${}\nu$-integrierbare Funktion. Dann ist auch ${}f\circ \varphi$ ${}\mu$-integrierbar, und es gilt

   ${}\int _{N}f\,d\nu =\int _{M}(f\circ \varphi )\,d\mu \,.$

3. /Fakt

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ die Kugel mit Radius ${}r$ und Mittelpunkt ${}0=(0,0,0)$ im ${}\mathbb {R} ^{3}$. Wie lautet die Formel (ohne Begründung) für

a) das Volumen der Vollkugel.

b) den Flächeninhalt der Kugeloberfläche.

Lösung

a) Das Volumen der Vollkugel ist ${}{\frac {4}{3}}\pi r^{3}$.

b) Der Flächeninhalt der Kugeloberfläche ist ${}4\pi r^{2}$.

Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ zwei abzählbare Mengen, die beide mit der ${}\sigma$- Algebra aller Teilmengen und mit dem Zählmaß (genannt ${}\mu$ bzw. ${}\nu$) versehen seien.

a) Zeige, dass ${}M$ und ${}N$ ${}\sigma$- endliche Maßräume sind.

b) Zeige, dass das Produktmaß ${}\mu \otimes \nu$ auf ${}M\times N$ ebenfalls das Zählmaß ist.

Lösung

a) Wenn ${}M$ leer ist, so ist nichts zu zeigen. Es sei

$\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow M$

surjektiv. Dann ist ${}M_{n}:=\{\varphi (0),\ldots ,\varphi (n)\}$ eine Ausschöpfung von ${}M$ mit endlichen Mengen, die daher endliches (Zähl-)maß besitzen.

b) Das Produktmaß auf ${}M\times N$ ist dadurch gekennzeichnet, dass es auf Quadern ${}S\times T$ zu Seiten ${}S$ und ${}T$ mit endlichem Maß das Produkt ${}\mu (S)\cdot \nu (T)$ als Wert besitzt. Für einen Punkt ${}P=(x,y)$ ist ${}\{P\}=\{x\}\times \{y\}$ und daher ist

${}\mu \otimes \nu (\{P\})=\mu (\{x\})\cdot \nu (\{y\})=1\cdot 1=1\,.$

Wegen der Abzählbarkeit von ${}M\times N$ ist dadurch das Produktmaß festgelegt und gleich dem Zählmaß auf der Produktmenge.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M$ ein Messraum und ${}f\colon M\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass auch die Funktion

${\sqrt {f}}\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto {\sqrt {f(x)}},$

messbar ist.

Lösung

Wir schreiben die Funktion ${}{\sqrt {f}}$ als Hintereinanderschaltung

$M{\stackrel {f}{\longrightarrow }}\mathbb {R} _{\geq 0}{\stackrel {\sqrt {t}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} _{\geq 0}.$

Da die Wurzelfunktion stetig ist, ist sie auch messbar und da die Hintereinanderschaltung von messbaren Abbildungen wieder messbar ist, ergibt sich die Messbarkeit von ${}{\sqrt {f}}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die allgemeine Transformationsformel für Integrale.

Lösung

Für nichtnegatives ${}f$ ergibt sich dies unter Verwendung von Aufgabe ***** und Aufgabe ***** aus

${}{\begin{aligned}\int _{N}f\,d\nu &={\left(\nu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\\&={\left({\left(\varphi \times \operatorname {Id} \right)}_{*}{\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}\right)}(S(f))\\&={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}{\left({\left(\varphi \times \operatorname {Id} \right)}^{-1}(S(f))\right)}\\&={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f\circ \varphi ))\\&=\int _{M}(f\circ \varphi )\,d\mu .\end{aligned}}$

Daraus ergibt sich auch der allgemeine Fall.

Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (7 Punkte)

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto f(x),$

eine positive stetige Funktion (mit ${}a\leq b$ aus ${}\mathbb {R}$). Zeige direkt (ohne die Transformationsformel), dass die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers, also die Menge

${}M={\left\{(x,f(x)\cos \alpha ,f(x)\sin \alpha )\mid x\in [a,b],\,\alpha \in [0,2\pi [\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,,$

das Volumen ${}0$ besitzt.

Lösung

Nehmen wir an, dass ${}\lambda ^{3}(M)>0$ ist. Wir betrachten für ${}c\geq 1$ die durch die Matrix

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&c&0\\0&0&c\end{pmatrix}}$

gegebene lineare Abbildung ${}L_{c}$ des ${}\mathbb {R} ^{3}$ in sich. Wir setzen

$M_{c}=L_{c}(M).$

Für ${}c\neq c'$ sind ${}M_{c}$ und ${}M_{c'}$ disjunkt, da aus

${\begin{pmatrix}x\\cf(x)\cos \alpha \\cf(x)\sin \alpha \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\c'f(x')\cos \alpha '\\c'f(x')\sin \alpha '\end{pmatrix}}$

sofort ${}x=x'$ und somit aus der Gleichheit der zweiten und dritten Zeile die „Radius“-Beziehung ${}c^{2}f(x)=(c')^{2}f(x)$, also ${}c=c'$ folgt. Nach der Volumenformel für lineare Abbildungen ist

${}\lambda ^{3}(M_{c})=c^{2}\lambda ^{3}(M)\geq \lambda ^{3}(M)\,.$

Daher ist einerseits

${}\lambda ^{3}{\left(\bigcup _{c\in [1,2]\cap \mathbb {Q} }M_{c}\right)}=\sum _{c\in [1,2]\cap \mathbb {Q} }\lambda ^{3}(M_{c})\geq \sum _{c\in [1,2]\cap \mathbb {Q} }\lambda ^{3}(M)=\infty \,.$

Andererseits ist aber diese Menge in

$[a,b]\times [-R,R]\times [-R,R]$

mit ${}R=2\cdot {\operatorname {sup} \,{\left(f(x),x\in [a,b]\right)}}$ enthalten (wegen der Stetigkeit existiert das Supremum auf dem kompakten Intervall), die endliches Maß besitzt, sodass wir einen Widerspruch erhalten.

Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

a) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus ${}[a,b]$ mit einer reellen Zahl aus ${}[c,d]$ addiert?

b) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus ${}[a,b]$ mit einer reellen Zahl aus ${}[c,d]$ multiplizert?

c) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus ${}[a,b]$ durch eine reelle Zahl aus ${}[c,d]$ (${}c>0$) dividiert?

Lösung

a) Nach Fubini ist

${}{\begin{aligned}\int _{[a,b]\times [c,d]}x+yd\lambda ^{2}&=\int _{[a,b]\times [c,d]}xd\lambda ^{2}+\int _{[a,b]\times [c,d]}yd\lambda ^{2}\\&=\int _{a}^{b}xdx\int _{c}^{d}1dy+\int _{a}^{b}1dx\int _{c}^{d}ydy\\&={\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2})(d-c)+{\frac {1}{2}}(b-a)(d^{2}-c^{2}).\end{aligned}}$

Der Durchschnittswert ergibt sich, wenn man durch die Grundfläche dividiert, das ist also

${}{\frac {{\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2})(d-c)+{\frac {1}{2}}(b-a)(d^{2}-c^{2})}{(b-a)(d-c)}}={\frac {1}{2}}{\left(b+a+c+d\right)}\,.$

b) Es ist

${}{\begin{aligned}\int _{[a,b]\times [c,d]}xyd\lambda ^{2}&=\int _{a}^{b}xdx\cdot \int _{c}^{d}ydy\\&={\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2})\cdot {\frac {1}{2}}(d^{2}-c^{2})\\&={\frac {1}{4}}(b^{2}-a^{2})(d^{2}-c^{2}).\end{aligned}}$

Der Durchschnittswert ist also

${}{\frac {{\frac {1}{4}}(b^{2}-a^{2})(d^{2}-c^{2})}{(b-a)(d-c)}}={\frac {1}{4}}(b+a)(c+d)={\frac {1}{2}}(b+a)\cdot {\frac {1}{2}}(c+d)\,.$

c) Es ist

${}{\begin{aligned}\int _{[a,b]\times [c,d]}{\frac {x}{y}}d\lambda ^{2}&=\int _{a}^{b}xdx\cdot \int _{c}^{d}{\frac {1}{y}}dy\\&={\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2})\cdot {\left(\ln y|_{c}^{d}\right)}\\&={\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2}){\left(\ln d-\ln c\right)}.\end{aligned}}$

Der Durchschnittswert ist also

${}{\frac {{\frac {1}{2}}(b^{2}-a^{2}){\left(\ln d-\ln c\right)}}{(b-a)(d-c)}}={\frac {1}{2}}(b+a){\frac {\ln d-\ln c}{d-c}}\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (3 Punkte)

Es seien  ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{m}$  und  ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  offene Teilmengen und sei

$\psi \colon W\longrightarrow U$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass

${}d(\psi ^{*}f)=\psi ^{*}(df)\,$

gilt, wobei ${}\psi ^{*}$ das Zurückziehen von Differentialformen bezeichnet.

Lösung

Es sei  ${}P\in W$  und  ${}v\in \mathbb {R} ^{m}$.  Es ist einerseits

${}d(\psi ^{*}f)(P,v)=D_{P}(f\circ \psi )(v)={\left({\left(D_{\psi (P)}f\right)}\circ {\left(D_{P}\psi \right)}\right)}(v)=D_{\psi (P)}(f){\left(D_{P}\psi (v)\right)}\,.$

Andererseits ist auch

${}{\left(\psi ^{*}(df)\right)}(P,v)=(df){\left(\psi (P),(D_{P}\psi )(v)\right)}=D_{\psi (P)}(f){\left(D_{P}\psi (v)\right)}\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}\omega$ eine stetig differenzierbare ${}n-1$- Differentialform auf einer offenen Menge  ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  und sei die äußere Ableitung gleich

${}d\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$

mit einer Funktion ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$. Zeige für  ${}P\in U$  die Gleichheit

${}f(P)={\frac {1}{\beta _{n}}}\cdot \operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{S^{n-1}(P,\epsilon )}\omega \,,$

wobei ${}\beta _{n}$ das Volumen der ${}n$-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.

Lösung

Wir wenden den Satz von Stokes auf die Kugeln ${}B^{n}(P,\epsilon )$ mit dem Rand ${}S^{n-1}(P,\epsilon )$ (mit Mittelpunkt ${}P$ und Radius ${}\epsilon$) an und erhalten

${}{\begin{aligned}\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{S^{n-1}(P,\epsilon )}\omega &=\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{\partial B^{n}(P,\epsilon )}\omega \\&=\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{B^{n}(P,\epsilon )}d\omega \\&=\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{B^{n}(P,\epsilon )}fd\lambda ^{n}\\&=\beta _{n}\cdot f(P),\end{aligned}}$

wobei wir für das letzte Gleichheitszeichen die Stetigkeit von ${}f$ benutzt haben.