Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 11/kontrolle

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Wir möchten zeigen, dass sich ein eindimensionaler komplexer Torus zu einem Gitter als eine glatte kubische projektive Kurve algebraisch realisieren lässt. Dazu müssen wir meromorphe Funktionen auf studieren, die wiederum von meromorphen Funktionen auf herrühren, die das Gitter berücksichtigen.



Elliptische Funktionen

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Es sei ein Gitter. Eine meromorphe Funktion

heißt elliptisch bezüglich oder doppeltperiodisch, wenn

für alle gilt.

Es genügt natürlich zu zeigen, dass

für zwei Erzeuger des Gitters (und alle ) gilt. Diese Erzeuger sind die Perioden, die die Bezeichnung doppeltperiodisch rechtfertigen. Diese Eigenschaft hängt wesentlich von dem gegebenen Gitter ab, es stellt sich aber bald heraus, dass die doppeltperiodischen Funktionen strukturelle Eigenschaften erfüllen, die für alle Gitter gleich sind. Eine doppeltperiodische Funktion ist auf einem Fundamentalbereich des Gitters, beispielsweise einer Fundamentalmasche, eindeutig bestimmt.


Definition  Referenznummer erstellen

Es sei ein Gitter. Die Menge aller elliptischen Funktionen bezüglich mit der natürlichen Addition und Multiplikation nennt man den Körper der elliptischen Funktionen.

Es ist einfach zu zeigen (vergleiche Aufgabe 11.1 und Aufgabe 11.2), dass dies in der Tat ein Körper ist. Es ist deutlich schwieriger, die Menge der elliptischen Funktionen explizit zu bestimmen. Zunächst ist keineswegs klar, dass es außer den konstanten Funktionen überhaupt elliptische Funktionen gibt.



Lemma  Lemma 11.3 ändern

Es sei ein Gitter.

Dann ist jede -elliptische Funktion, die holomorph ist, konstant.

Beweis  

Es sei eine Grundmasche des Gitters. Diese ist kompakt und die holomorph Funktion ist darauf nach Satz Anhang B.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) und Satz 81.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) beschränkt. Da elliptisch ist, ist mit und . Daher ist auf ganz beschränkt und daher nach dem Satz von Liouville konstant.


Wir beweisen drei fundamentale Lemmas über elliptische Funktionen, aus denen später die Charakterisierung aller elliptischen Funktionen (siehe insbesondere Lemma 11.12 und Satz 12.11) und die algebraische Realisierung eines komplexen Torus (siehe Satz 12.14) folgt.



Lemma  Lemma 11.4 ändern

Es sei ein Gitter mit der Grundmasche und es sei eine elliptische Funktion. Es sei derart, dass auf dem Rand von polstellenfrei ist.

Dann ist die Summe der Residuen von auf gleich .

Beweis  

Es sei . Es sei ein Weg, der den Rand von einfach gegen den Uhrzeigersinn durchläuft. Dann ist nach einem Satz (Funktionentheorie) die Summe der Residuen gleich . Der Weg besteht aus den vier linearen Teilwegen von nach , von nach , von nach und von nach . Da elliptisch ist, ist insbesondere und . D.h. die Integranden auf den gegenüberliegenden Teilwegen stimmen überein. Da sie unterschiedlich orientiert durchlaufen werden, ist das Gesamtergebnis gleich .




Lemma  Lemma 11.5 ändern

Es sei ein Gitter mit der Grundmasche und es sei eine elliptische Funktion. Es sei derart, dass auf dem Rand von weder eine Nullstelle noch einen Pol besitzt.

Dann ist die Summe der Ordnungen von auf gleich .

Beweis  

Dies folgt aus Lemma 11.4 angewendet auf die elliptische Funktion unter Verwendung von einem Satz (Funktionentheorie).




Lemma  Lemma 11.6 ändern

Es sei ein Gitter mit der Grundmasche und es sei eine elliptische Funktion. Es sei derart, dass auf dem Rand von weder eine Nullstelle noch einen Pol besitzt.

Dann ist

Beweis  

Es sei . Es sei die einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufene Umrandung von mit den linearen Teilwegen wie im Beweis zu Lemma 11.4. Wir betrachten die Funktion auf . Nach einem Satz der Funktionentheorie und dem Residuensatz ist

Wir verarbeiten das zweite und das vierte Integral, indem wir auf das zweite Integral die lineare Substitution anwenden. Dabei erhalten wir unter Verwendung der Periodizität und der Umkehrung des Weges

Entsprechend ergibt das erste und das dritte Integral . Nach einem weiteren Satz aus der Funktionentheorie ist ganzzahlig. Daher ist eine ganzzahlige Kombination von und , gehört also zum Gitter.



Die Weierstraßfunktion

Wir setzen .



Lemma  Lemma 11.7 ändern

Es sei ein Gitter und sei eine reelle Zahl.

Dann ist die Familie

summierbar.

Beweis  

Die Familie ist genau dann summierbar, wenn die Familie summierbar ist. Die Aussage kann man auf das Standardgitter zurückführen. Wir betrachten zu die endlichen Teilfamilien (Quadrat mit Seitenlänge )

Diese besteht aus

Summanden und diese sind . Die Summe dieser Teilfamilie ist also

wobei der Exponent ist. Die Summe existiert also und daher ist nach dem großen Umordnungssatz die Ausgangsfamilie summierbar.




Lemma  Lemma 11.8 ändern

Es sei ein Gitter.

Dann ist die meromorphe Funktion

elliptisch und besitzt genau in den Gitterpunkten einen Pol der Ordnung .

Beweis  

Die Konvergenz für folgt aus Lemma 11.7 durch eine geeignete Abschätzung. Daraus folgt auch die Holomorphie auf . In ist konvergent und die Polordnung ist durch den fehlenden Term festgelegt. Die Funktion ist elliptisch, da sich die Summe nicht ändert, wenn man durch mit einem ersetzt.



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Es sei ein Gitter. Man nennt die meromorphe Funktion

die Weierstraßsche Funktion zum Gitter .

Wir werden gleich begründen, dass diese Funktion auf holomorph und in meromorph ist.



Lemma  Lemma 11.10 ändern

Es sei ein Gitter.

Dann ist die Weierstraßsche -Funktion elliptisch. Sie besitzt genau in den Gitterpunkten einen Pol der Ordnung . Ihre Ableitung ist .

Beweis  

Die Ableitung der Summanden für ist . Ferner ist die Ableitung des allerersten Summanden. Die summandenweise genommene Ableitung ist also bis auf den Faktor die Funktion , die nach Lemma 11.8 elliptisch ist. Damit ist meromorph mit der angegebenen Poleigenschaft. Ferner ist die Funktion gerade, da ihre Ableitung ungerade ist. Zum Nachweis, dass selbst elliptisch ist, sei ein Erzeuger des Gitters, und insbesondere . Dann ist

und ist konstant. Für ist der Wert dieser Funktion gleich



Lemma  Lemma 11.11 ändern

Es sei ein Gitter.

Dann nimmt die Weierstraßsche -Funktion zu jeden Wert auf der halboffenen Grundmasche (mit Vielfachheit gezählt) zweifach an.

Beweis  

Es sei , wir betrachten die Funktion , es geht um die Nullstellen dieser Funktion. Da es auf einer verschobenenen kompakten Masche

nur endlich viele Nullstellen gibt, kann man so wählen, dass es auf den Rand weder eine Nullstelle noch einen Pol gibt. Es gibt dann in nach Lemma 11.10 genau eine Polstelle mit der Ordnung . Nach Lemma 11.5 muss es zwei Nullstellen mit Ordnung oder eine Nullstelle mit der Ordnung geben.




Lemma  Lemma 11.12 ändern

Es sei ein Gitter.

Dann wird der Körper der elliptischen Funktionen von und erzeugt, d.h. jede elliptische Funktion kann man als eine rationale Funktion in und schreiben.

Beweis  

Jede elliptische Funktion kann man als eine Summe einer geraden und einer ungeraden elliptischen Funktion schreiben, siehe Aufgabe 11.4. Eine ungerade elliptische Funktion kann man mit multiplizieren und erhält eine gerade elliptische Funktion. Es genügt also zu zeigen, dass jede gerade elliptische Funktion eine rationale Funktion in ist.

Sei eine gerade elliptische Funktion. Die Ordnung von in einem Punkt stimmt mit der Ordnung von in überein. Wenn dabei ist, also , so ist die Ordnung in einem solchen Punkt gerade. Es sei , die zugehörige Fundamentalmasche und . Es seien die Punkte in , in denen eine Pol- oder eine Nullstelle vorliegt. Aus diesen Ordnungen basteln wir die elliptische Funktion

wobei die Ordnungen sind. Diese Funktion besitzt überall außer eventuell im Nullpunkt die gleichen Ordnungen wie . Aus Lemma 11.5 folgt dann, dass auch im Nullpunkt die Ordnungen gleich sind. Daher ist holomorph und somit nach Lemma 11.3 konstant. Daher ist , da nach Konstruktion dazugehört.