Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 26/kontrolle

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Der Reduktionstyp einer elliptischen Kurve

Definition  Referenznummer erstellen

Es sei eine elliptische Kurve über mit einem homogenen kubischen ganzzahligen Polynom und sei eine Primzahl. Man sagt, dass gute Reduktion modulo besitzt, wenn glatt ist, und andernfalls, dass schlechte Reduktion modulo besitzt.

Da wir mit einer fixierten Gleichung (und nicht mit den sogenannten global minimalen Gleichungen über ) arbeiten, hängt das Reduktionsverhalten nicht nur von der elliptischen Kurve über , sondern von der Gleichung selbst ab. So gesehen sind diese Eigenschaften keine Eigenschaften der Kurve über , sondern der (relativen) Kurve über .


Beispiel  Referenznummer erstellen

Die elliptische Kurve zur Fermatkubik

besitzt für alle Primzahlen nach Lemma 4.7 gute Reduktion und bei ist wegen

die Kurve eine nichtreduzierte Kurve und insbesondere in jedem Punkt singulär. Geometrisch ist es die durch gegebene Gerade, aber mit einer verdickten algebraischen Struktur.


Im Fall von schlechter Reduktion sind weitere Unterscheidungen nötig, je nachdem, was für Singularitäten auftreten.

Zumeist betrachtet man ganzzahlige Weierstraßgleichungen für die elliptische Kurve, bei denen der Koeffizient zu und zu gleich ist. Dies sichert nach Aufgabe 25.2, dass die Kurve modulo irreduzibel bleibt. In diesem Fall kann nur ein einzelner singulärer Punkt auftreten, und zwar ist dieser singuläre Punkt schon über sichtbar (und nicht erst über einer endlichen Erweiterung ).

Für diesen singulären Punkt gibt es dann zwei Möglichkeiten, nämlich, ob eine Spitze (Kuspe) oder ob ein Überkreuzungspunkt auftritt. Im letzteren Fall können die Tangenten in diesem Punkt über definiert sein oder erst in einer endlichen Erweiterung von .

Wir erinnern kurz an das Konzept einer Tangente in einem singulären Punkt.

Es sei ein Körper und sei ein von verschiedenes Polynom. Es sei ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve. Indem man in den verschobenen Variablen schreibt, so erhält man ein neues Polynom mit . Es sei

die homogene Zerlegung von mit und , . Dabei ist der Grad der Kurve und heißt die Multiplizität der Kurve im Punkt . Die Kurve besitzt genau dann eine Singularität in , wenn ist. Bei einer Faktorzerlegung in lineare Faktoren, die eventuell erst nach einer endlichen Körpererweiterung vorliegt, nennt man die Geraden , die Tangenten an im Punkt . Im kubischen Fall ist in einem singulären Punkt , wobei bei keine irreduzible Kurve vorliegt. Im irreduziblen Fall ist und dort gibt es eine Faktorzerlegung , wobei die beiden Faktoren gleich oder verschieden sein können.


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Es sei eine elliptische Kurve über mit und sei eine Primzahl. Man sagt, dass additive Reduktion modulo besitzt, wenn irreduzibel ist und einen singulären Punkt mit einer Tangentenrichtung besitzt.

Im Fall von additiver Reduktion liegt (affin) im Wesentlichen eine Neilsche Parabel vor.


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Es sei eine elliptische Kurve über mit und sei eine Primzahl. Man sagt, dass multiplikative Reduktion modulo besitzt, wenn irreduzibel ist und einen singulären Punkt mit zwei Tangentenrichtungen besitzt.

Man beachte, dass die Tangentenrichtungen erst nach einer endlichen Erweiterung des Körpers sichtbar werden können. Diese Sprechweisen haben folgenden Hintergrund: Im singulären Fall liegt keine Gruppenstruktur auf der Kurve mehr vor. Allerdings gibt es eine Gruppenstruktur außerhalb des singulären Punktes. Wenn die Singularität eine Kuspe ist, so ist das Komplement isomorph zur affinen Geraden mit der additiven Struktur, siehe Aufgabe 26.10. Wenn die Singularität ein Kreuzungspunkt ist, so ist das Komplement eine punktierte affine Gerade (man denke an die Normalisierung der Kurve, wo ja zwei Punkte oberhalb des singulären Punktes liegen) und isomorph zur multiplikativen Gruppe .


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Es sei eine elliptische Kurve über mit und sei eine Primzahl. Man sagt, dass spaltende multiplikative Reduktion modulo besitzt, wenn irreduzibel ist und einen singulären Punkt mit zwei Tangentenrichtungen besitzt, die über definiert sind.

Andernfalls spricht man von nichtspaltender multiplikativer Reduktion.


Beispiel  Referenznummer erstellen

Wir betrachten die elliptische Kurve , die durch die affine Gleichung

gegeben ist. Die partiellen Ableitungen sind

Bei verschwinden die beiden partiellen Ableitungen nur im Punkt , doch dies ist kein Punkt der Kurve. Für ist die Kurve also glatt und es liegt gute Reduktion vor. Bei liegt in ein singulärer Punkt der Kurve vor. In den lokalen Koordinaten wird das beschreibende Polynom zu . Das ist eine Neilsche Parabel und es liegt eine Kuspe, also additive Reduktion vor. Bei liegt in ein singulärer Punkt der Kurve vor. In den lokalen Koordinaten wird das beschreibende Polynom zu . Das ist wieder eine Neilsche Parabel und es liegt wieder additive Reduktion vor.



Beispiel  Referenznummer erstellen

Wir betrachten die elliptische Kurve , die durch die affine Gleichung

gegeben ist. Die partiellen Ableitungen sind

Bei verschwindet die erste partielle Ableitung nur bei . Wegen der Kurvengleichung ist dann doch dann verschwindet die zweite partielle Ableitung nicht. Für ist die Kurve also glatt und es liegt gute Reduktion vor. Bei liegt in ein singulärer Punkt der Kurve vor. In den lokalen Koordinaten wird das beschreibende Polynom zu . Wir schreiben dies mit als

und somit ist dies eine Neilsche Parabel. Es liegt also additive Reduktion vor.



Beispiel  Referenznummer erstellen

Es sei eine Primzahl. Wir betrachten die elliptische Kurve , die durch die affine Gleichung

gegeben ist. In Charakteristik ist ein singulärer Punkt der Kurve, die Gleichung wird zu

bzw. zu

Bei gilt für den quadratischen Term

wobei eine Quadratwurzel aus sei. Diese beiden lineare Terme sind verschieden und beschreiben die verschiedenen Tangenten, es liegt also multiplikative Reduktion vor. Das Spaltungsverhalten hängt davon ab, ob die in eine Quadratwurzel besitzt oder erst in einer endlichen Erweiterung (und zwar dann in ). Nach Satz 6.8 (Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)) besitzt eine Quadratwurzel in genau dann, wenn ist. Unter dieser Bedingung liegt also modulo spaltender multiplikativer Typ vor und andernfalls nichtspaltender multiplikativer Typ.




Die -Reihe einer elliptischen Kurve

Es sei eine elliptische Kurve über , gegeben in ganzzahliger Darstellung. Für fast alle Primzahlen ist dann modulo eine elliptische Kurve über . Es sei die Anzahl der -Punkte von , die ja endlich ist. Aufgrund der Abschätzung von Hasse erwartet man eine Größenordnung von . Es fällt einem zunächst mal kein Grund ein, warum die Zahlen zu verschiedenen Primzahlen etwas miteinander zu tun haben sollten. Deshalb packt man diese Daten in eine -Reihe und hofft, dass sich dadurch Gesetzmäßigkeiten ergeben (bzw. dieser Zugang ist sinnvoll, weil dadurch Gesetzmäßigkeiten sichtbar werden). Statt mit direkt arbeitet man mit , da diese Terme um schwanken. Für Primzahlen mit schlechter Reduktion müssen besondere Festlegungen getroffen werden.


Definition  Definition 26.9 ändern

Zu einer elliptischen Kurve über in ganzzahliger Darstellung und einer Primzahl definiert man


Definition  Definition 26.10 ändern

Zu einer elliptischen Kurve über in ganzzahliger Darstellung und einer Primzahlpotenz definiert man unter Verwendung von und der Definition 26.9 von rekursiv

Nach Aufgabe 23.9 erfüllen bei guter Reduktion die Zahlen ebenfalls diese rekursive Relation, allerdings erst für , für gilt dort .


Definition  Definition 26.11 ändern

Zu einer elliptischen Kurve über in ganzzahliger Darstellung und einer natürlichen Zahl setzt man unter Verwendung der Definition 26.10


Definition  Referenznummer erstellen

Zu einer elliptischen Kurve über in ganzzahliger Darstellung definiert man die Reihe unter Verwendung der Definition 26.11 durch

Reihen von dieser Bauart nennt man Dirichletreihen, man fasst sie als Funktion in der einen komplexen Variablen auf, wobei das Konvergenzverhalten von den Koeffizienten abhängt. Die bekannteste Reihe von dieser Form ist die Riemannsche -Funktion, die durch

gegeben sind, dort sind also sämtliche Koeffizienten gleich .

Für die Riemannsche -Funktion gilt

nach Satz 11.5 (Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)). Ebenso besitzt die -Reihe zu einer elliptischen Kurve neben der additiven Darstellung auch eine multiplikative Darstellung, bei der die Weilschen Zeta-Funktionen zu eine wichtige Rolle spielen. Gemäß Satz 24.4 gilt im Falle guter Reduktion

d.h. das beschreibt vollständig die Zeta-Funktion der Reduktion . Wenn man in die obige Zeta-Funktion einsetzt, so erhält man

Wenn man versucht, darüber das Produkt über alle Primzahlen zu bilden, so fällt zunächst auf, dass das Produkt über den linken Faktor im Nenner ergibt und dass das Produkt über den rechten Faktor ergibt. Man kann sich also auf den Zähler konzentrieren.

Die folgende Aussage beschreibt die multiplikative Version der -Reihe.



Lemma  Referenznummer erstellen

Für eine über definierte elliptische Kurve gilt für die -Reihe für

die Produktdarstellung

Beweis  

Aufgrund von Definition 26.11 sind die Koeffizienten der -Reihe

multiplikativ, daher gibt es nach Lemma Anhang 7.8 eine Produktdarstellung mit den lokalen Faktoren

Wir müssen zeigen, dass diese Faktoren mit den im Satz formulierten Faktoren in den beiden Fällen übereinstimmen.

Bei guter Reduktion wird

behauptet. Wir schreiben den letzten Bruch unter Verwendung von Satz 9.13 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) als geometrische Reihe, es ist also

Wenn man hier (siehe Aufgabe 26.15 mit ) die Terme zusammenfasst, die sich auf beziehen, so erhält man Koeffizienten, die die Anfangsbedingungen und die rekursiven Bedingungen erfüllen, also mit den Koeffizienten aus den Definitionen übereinstimmen.

Der Fall von schlechter Reduktion folgt direkt aus der geometrischen Reihe.


Wenn man die Zeta-Funktion für die Primzahlen mit schlechter Reduktion als

bzw.

ansetzt, so erhält man die Darstellung

und die -Reihe ergibt sich bis auf die zwei Vorfaktoren, die von der Riemannschen Zetafunktion herkommen, als ein Produkt von invertierten Zetafunktionen.



Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer

Bemerkung   Referenznummer erstellen

Es sei eine elliptische Kurve über und sei die -Reihe zu . Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer besagt, dass die Nullstellenordnung von in (was voraussetzt, dass es eine holomorphe Fortsetzung in diesen Punkt gibt, siehe Satz 28.6) mit dem Rang von übereinstimmt. Die Nullstellenordnung nennt man auch den analytischen Rang der elliptischen Kurve, so geht es bei der Vermutung also darum, dass der (gruppentheoretische) Rang mit dem analytischen Rang übereinstimmt. Dieses Problem gehört zu den sogenannten Milleniumsproblemen. Es ist bekannt (Ergebnisse von Kolyvagin, Gross, Zagier), dass wenn der analytische Rang gleich ist (die -Funktion also keine Nullstelle in besitzt), dass dann der Rang gleich ist, und dass, wenn der analytische Rang gleich ist, dann auch der Rang gleich ist.

Ein Spezialfall dieser Vermutung ist die Behauptung, dass genau dann eine Nullstelle in besitzt, wenn der Rang ist, was äquivalent dazu ist, dass unendlich viele rationale Punkte besitzt. Davon ist die Rückrichtung bekannt.


Bemerkung   Referenznummer erstellen

Eine heuristische Überlegung, die zumindest einen Zusammenhang zwischen einem positiven gruppentheoretischen Rang und einem positiven analytischen Rang vorstellbar macht, geht folgendermaßen. Die durch ganzzahlige Koeffizienten gegebene elliptische Kurve besitze einen positiven Gruppenrang, also neben der Torsion eine -Komponente. Unter der Reduktionsabbildung, siehe Lemma 25.1 und Korollar 25.5, wird auf die endliche Gruppe abgebildet. Die Anzahl von ist nach Satz 23.10 in der Größenordnung von mit einer Abweichung von maximal . Grundsätzlich gibt es keine Tendenz, ob die Anzahl sich eher oberhalb von oder eher unterhalb davon befindet. Bei kann man sich aber vorstellen, dass das Bild von tendenziell dazu führt, dass die Anzahlen sich eher oberhalb von bewegen. Wenn wir die Produktdarstellung für anschauen, so sind die Faktoren (es kommt nicht auf die endlich vielen Faktoren zu den Primzahlen mit schlechter Reduktion an) gleich

Wenn hier die Nenner tendenziell größer als sind, so sind die Faktoren tendenziell „deutlich“ kleiner als , was im unendlichen Produkt zu einer (höheren) Nullstelle führen könnte.


Unter der Bedingung, dass die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer stimmt, hat Tunnell eine überprüfbare Bedingung dafür angegeben, dass eine natürliche Zahl eine kongruente Zahl ist.


Satz

Es sei eine ungerade quadratfreie natürliche Zahl. Es sei vorausgesetzt, dass die Vermutung von Birch und Swinnerten-Dyer stimmt. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

  1. ist eine kongruente Zahl.
  2. Es gilt

Beweis

Wegen Satz 25.10 wissen wir, dass eine kongruente Zahl genau dann vorliegt, wenn die zugehörige elliptische Kurve einen positiven Rang besitzt. Unter der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer ist dies genau dann der Fall, wenn der analytische Rang positiv ist, d.h. die zugehörige -Reihe eine Nullstelle für besitzt. Dies führt dann über weitere schwierige Sätze zu der angegebenen Anzahlbedingung.



Satz Referenznummer erstellen

Es sei eine gerade quadratfreie natürliche Zahl. Es sei vorausgesetzt, dass die Vermutung von Birch und Swinnerten-Dyer stimmt. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

  1. ist eine kongruente Zahl.
  2. Es gilt

Dabei ist die Hinrichtung bekannt und unabhängig von der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, für die Rückrichtung genügt die schwache Version, und auch die nur für die für kongruente Zahlen relevanten elliptischen Kurven.

Das Entscheidende bei diesen Anzahlbedingungen für kongruente Zahlen ist, dass sie einfach und effektiv überprüfbar sind. Da nur Quadrate vorkommen, sind die möglichen Summanden auf beiden Seiten beschränkt und können somit durchprobiert werden. Schauen wir auf den ungeraden Fall: Bei der nicht kongruenten Zahl sind beide Anzahlen gleich , bei der nicht kongruenten Zahl sind beide Anzahlen gleich , in diesen Fällen stimmt die Bedingung nicht, bei der kongruenten Zahl sind beide Anzahlen gleich und die Bedingung stimmt. Interessant wird die Bedingung, wenn ist. Für liegt erstmals eine kongruente Zahl vor, wo beide Mengen nicht leer sind, siehe Aufgabe 26.20.