Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 11/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ die ${}\mathbb {R}$-wertige ${}1$- Differentialform

${}\omega =(xy+y^{2})dx+(3x^{2}-y)dy\,.$

Berechne ${}\omega ({\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-4\\5\end{pmatrix}})$.

Aufgabe Aufgabe 11.2 ändern

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}{\mathcal {E}}^{}(G,W)$ die Menge der ${}1$- Formen auf ${}G$ mit Werten in ${}W$. Zeige die folgenden Eigenschaften.

1. ${}{\mathcal {E}}^{}(G,W)$ ist mit den natürlichen Operationen versehen ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum.
2. Zu einer Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{}(G,W)$ und einer Funktion

   $f\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   ist auch ${}f\omega \in {\mathcal {E}}^{}(G,W)$, wobei ${}f\omega$ durch

   ${}(f\omega )(P):=f(P)\omega (P)\,$

   definiert ist.

3. Jede ${}C^{1}$- differenzierbare Abbildung

   $f\colon G\longrightarrow W$

   definiert über das totale Differential eine ${}1$- Differentialform

   $df=Df\colon G\longrightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(V,W\right)},\,P\longmapsto \left(Df\right)_{P}.$

   Dies ergibt eine Abbildung

   $d\colon C^{1}(G,W)\longrightarrow {\mathcal {E}}^{}(G,W),\,f\longmapsto df.$

4. Die Abbildung ${}d$ aus (3) ist ${}{\mathbb {K} }$- linear.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}{\mathcal {E}}^{}(G,W)$ die Menge der ${}1$- Formen auf ${}G$ mit Werten in ${}W$. Zeige, dass die Menge der exakten Differentialformen ein ${}{\mathbb {K} }$- Untervektorraum von ${}{\mathcal {E}}^{}(G,W)$ ist.

Aufgabe Aufgabe 11.4 ändern

Zeige, dass die holomorphen Differentialformen ${}{\frac {dz}{z^{n}}}$ auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ für ${}n\geq 2$ exakt sind.

Aufgabe Aufgabe 11.5 ändern

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen sei, und sei ${}U\subseteq V$ eine offene Menge. Zeige, dass die ${}{\mathbb {K} }$-wertigen ${}1$- Differentialformen auf ${}V$ in natürlicher Weise den (zeitunabhängigen) Vektorfeldern auf ${}U$ entsprechen.

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum, ${}U\subseteq V$ offen und

$h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion. Dann nennt man die Abbildung

$U\longrightarrow V,\,P\longmapsto \operatorname {Grad} \,h(P),$

das zugehörige Gradientenfeld.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Korrespondenz aus Aufgabe 11.5 im reellen Fall. Zeige, dass dabei die exakten Differentialformen den Gradientenfeldern entsprechen.

In der vorstehenden Aufgabe entspricht eine Stammform einem Potential.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Vereinfache in ${}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$ den Ausdruck

$e_{1}\wedge (e_{2}-4e_{3})-e_{2}\wedge (5e_{1}+3e_{2}-4e_{3})+{\left(7e_{3}\right)}\wedge e_{1}-4{\left(5e_{1}\wedge 2e_{3}\right)}+(2e_{1}-8e_{2})\wedge (2e_{1}-8e_{2}).$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Drücke das Dachprodukt ${}{\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}3\\5\\-6\end{pmatrix}}$ in der Standardbasis von ${}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$ aus.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Drücke das Dachprodukt ${}{\begin{pmatrix}-2\\5\\-4\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}7\\-2\\4\end{pmatrix}}$ in der Standardbasis von ${}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$ aus.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}W$-wertige differenzierbare ${}1$- Differentialform auf ${}U$. Zeige, dass die äußere Ableitung von ${}\omega$ wohldefiniert (als Abbildung von ${}U$ nach ${}\operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(\bigwedge ^{2}V,W\right)}$) ist, also unabhängig von der gewählten Basis auf ${}V$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume und sei ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Zeige, dass die Geschlossenheit einer ${}1$- Form auf ${}G$ mit Werten in ${}W$ eine lokale Eigenschaft ist, d.h. ${}\omega$ ist genau dann geschlossen, wenn es eine offene Überdeckung ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart gibt, dass die Einschränkungen ${}\omega {|}_{U_{i}}$ geschlossen sind.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass die ${}1$- Differentialform ${}\omega =(2x-\sin y)dx-x\cos ydy$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ geschlossen und auch exakt ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die ${}1$- Differentialform

$-ydx+xdy$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ nicht geschlossen ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die ${}1$- Differentialform

$-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}$ geschlossen, aber nicht exakt ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die äußere Ableitung der ${}1$- Differentialform

${}\omega =(x^{2}-y^{3})dx+x^{3}y^{2}dy\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne die äußere Ableitung ${}d\omega$ der ${}1$- Differentialform

${}\omega ={\frac {x^{2}}{y}}dx-{\frac {x}{y^{2}}}dy\,$

auf ${}U={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y\neq 0\right\}}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}{\mathcal {E}}^{}(G,W)$ die Menge der ${}1$- Formen auf ${}G$ mit Werten in ${}W$. Zeige, dass die Menge der geschlossenen Differentialformen einen ${}{\mathbb {K} }$- Untervektorraum von ${}{\mathcal {E}}^{}(G,W)$ ist.

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und

$G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein differenzierbares Vektorfeld. Man sagt, dass ${}G$ die Integrabilitätsbedingung erfüllt (oder lokal integrabel ist), wenn

${}{\frac {\partial G_{i}}{\partial x_{j}}}(P)={\frac {\partial G_{j}}{\partial x_{i}}}(P)\,$

für alle ${}P\in U$ und alle ${}i,j$ gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Korrespondenz aus Aufgabe 11.5 im reellen Fall. Zeige, dass dabei die geschlossenen Differentialformen den Vektorfeldern entsprechen, die die Integrabilitätsbedingung erfüllen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine differenzierbare ${}1$- Differentialform auf ${}U$ mit Werten in ${}W$. Es sei ${}b_{1},\ldots ,b_{\ell }$ eine Basis, und ${}\omega$ besitze die Darstellung

${}\omega =\sum _{k=1}^{\ell }\omega _{k}b_{k}\,$

mit ${}{\mathbb {K} }$-wertigen Differentialformen ${}\omega _{k}$.

1. Zeige, dass ${}\omega$ genau dann exakt ist, wenn alle ${}\omega _{k}$ exakt sind.
2. Es sei nun ${}\omega$ stetig differenzierbar. Zeige, dass ${}\omega$ genau dann geschlossen ist, wenn alle ${}\omega _{k}$ geschlossen sind.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion. Zeige

${}d(df)=0\,,$

wobei ${}d$ die äußere Ableitung bezeichnet.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$

eine stetig differenzierbare Funktion und es sei ${}\omega =g(s)ds$ eine ${}1$- Differentialform auf ${}\mathbb {R}$. Bestimme ${}f^{*}\omega$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}1$- Differentialform auf ${}U$ mit Werten in ${}W$. Es sei ${}U'\subseteq U$ eine offene Mengen in ${}V$. Zeige, dass der Rückzug von ${}\omega$ auf ${}U'$ einfach die Einschränkung ist.

Aufgabe * Aufgabe 11.23 ändern

Es seien ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen und sei

$\psi \colon W\longrightarrow U$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass

${}d(\psi ^{*}f)=\psi ^{*}(df)\,$

gilt, wobei ${}\psi ^{*}$ das Zurückziehen von Differentialformen bezeichnet.

Aufgabe Aufgabe 11.24 ändern

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und sei ${}f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$, ${}z\longmapsto f(z)=w$, eine nullstellenfreie holomorphe Funktion. Zeige, dass

${}f^{*}\left({\frac {dw}{w}}\right)={\frac {f'(z)}{f(z)}}dz\,$

gilt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und sei

$\varphi \colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(u,v)\longmapsto \varphi (u,v)=\varphi _{1}(u,v)+{\mathrm {i} }\varphi _{2}(u,v)=x+{\mathrm {i} }y=z,$

eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass für den Rückzug ${}\varphi ^{*}dz$ gilt (mit ${}w=u+{\mathrm {i} }v$)

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}(dz)&={\frac {\partial \varphi }{\partial u}}du+{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}dv\\&={\frac {\partial \varphi }{\partial w}}dw+{\frac {\partial \varphi }{\partial {\overline {w}}}}d{\overline {w}}.\end{aligned}}$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und sei

$\varphi \colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(u,v)\longmapsto \varphi (u,v)=\varphi _{1}(u,v)+{\mathrm {i} }\varphi _{2}(u,v)=x+{\mathrm {i} }y=z,$

eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass für den Rückzug ${}\varphi ^{*}d{\overline {z}}$ gilt (mit ${}w=u+{\mathrm {i} }v$)

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}(d{\overline {z}})&={\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial u}}du+{\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial v}}dv\\&={\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial w}}dw+{\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial {\overline {w}}}}d{\overline {w}}.\end{aligned}}$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Differentialform

${}\omega =ydx+zdy+xdz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$ und die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,\left(u,\,v\right)\longmapsto \left(u^{2},\,v^{2},\,uv\right).$

1. Berechne die äußere Ableitung von ${}\omega$.
2. Berechne den Rückzug ${}\varphi ^{*}\omega$ von ${}\omega$ unter ${}\varphi$.
3. Berechne die äußere Ableitung von ${}\varphi ^{*}\omega$ auf ${}\mathbb {R} ^{2}$.
4. Berechne den Rückzug ${}\varphi ^{*}d\omega$ von ${}d\omega$ unter ${}\varphi$ unabhängig von (3).

Aufgabe Aufgabe 11.28 ändern

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}1$- Differentialform auf ${}U$ mit Werten in ${}W$. Es seien ${}U'\subseteq V'$ und ${}U^{\prime \prime }\subseteq V^{\prime \prime }$ weitere offene Mengen in endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräumen ${}V'$ bzw. ${}V^{\prime \prime }$. Es seien

$\psi \colon U^{\prime \prime }\longrightarrow U'$

und

$\varphi \colon U'\longrightarrow U$

total differenzierbare Abbildungen. Zeige

${}(\varphi \circ \psi )^{*}\omega =\psi ^{*}{\left(\varphi ^{*}(\omega )\right)}\,.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ die ${}\mathbb {R}$-wertige ${}1$- Differentialform

${}\omega =(5xy^{2}-y+x^{2})dx+(4x^{2}y-x^{3})dy\,.$

Berechne ${}\omega ({\begin{pmatrix}-1\\-6\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}})$.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die äußere Ableitung der ${}1$- Differentialform

${}\omega =xy^{2}dx+yzdy+x^{3}dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe (5 (2+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}V',V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, es seien ${}U'\subseteq V'$ und ${}U\subseteq V$ offene Mengen und sei ${}\omega$ eine ${}W$-wertige differenzierbare ${}1$- Differentialform auf ${}U$. Es sei ${}\varphi \colon U'\rightarrow U$ eine differenzierbare Abbildung.

1. Es sei ${}\omega$ exakt. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ exakt ist.
2. Es sei ${}\omega$ geschlossen. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ geschlossen ist.